集合平均方法的建立及海洋动力系统耦合作用的性质分析

杨永增孙 盟

(1.自然资源部 第一海洋研究所,山东 青岛266061;2.青岛海洋科学与技术试点国家实验室 区域海洋动力学与数值模拟功能实验室,山东 青岛266061;3.自然资源部 海洋环境科学与数值模拟重点实验室,山东 青岛266061)

对于海洋与大气系统来说,系统组分之间的非线性相互作用决定着这个系统的内部结构,20世纪发展起来的系统论是我们从整体上认识、理解海洋与大气运动规律的一个有效方法论。Wunsch和Ferrari[1],Wang和Huang[2-3]基于能量分析的角度探讨了海洋运动类之间的能量通量及平衡关系。冒家友等[4]和Yuan等[5]基于海洋多时空尺度运动的拟线性色散特征,从“时-空特征尺度分析”和“控制力及其平衡状态分析”两个方面探讨海洋运动类的划分,前者着眼于运动的时空表象,但不能给出运动类的“不叠置-全覆盖”划分;后者按控制力及其平衡状态两个层次实现控制机制互不叠置和海洋运动全覆盖的运动类划分。此处的控制力包括黏性-传导-扩散分子力、重力、地转力和热学-化学力等,平衡状态包括动态平衡与静态平衡。按物理控制力及其平衡状态可将海洋运动分为湍流、波动、涡旋及环流四类子系统。在数学处理上,则基于前三类运动统计上的近各态历经性通过三重集合Reynolds平均(样本集合平均)实现系统间的层级,从而简洁、清晰地建立起了大尺度运动对小尺度运动的输运、剪切生成作用和小尺度运动对大尺度运动的混合作用框架。值得指出的是,后者的混合作用是概念性的,不同运动子集平均下的输运通量剩余量混合过程可产生不同物理意义下的层化或混合均匀性效应。

在不考虑耦合作用下,夏季中纬度海温模拟计算存在着海表温度偏高、海洋上混合层深度过浅的问题,这也是现今所有非耦合环流模式共同的缺陷[6-7]。研究试验表明,海浪生湍流混合作用是有效解决这个问题的关键机制。Yuan等[8]提出的海浪生湍流理论可以通过2种不同但相对一致的方式建立:一是类比经典Prandtl混合长理论的海浪混合参数化形式[9];二是基于高确定性二阶湍流闭合模型,通过海浪剪切作用下近各向同性饱和湍流的平衡解析解建立海浪生湍流对大尺度环流的混合作用理论。Babanin和Haus[10],Dai等[11]基于风-浪-流多功能实验水槽,开展了波-湍相互作用的实验观测验证。Yang等[12]估计了中国海夏季海浪的垂向混合强度。Qiao等[13-15],Xia等[16-17]通过浪-潮-流耦合数值模式显著改善了上层海洋温度结构。Yang等[18]提出了波浪尺度平均意义下波浪-湍流相互作用的混合模型。Huang和Qiao[19],Huang等[20]通过Stokes漂流引入了波-湍相互作用导致的湍动能耗散率,加入到Mellor-Yamada(M-Y)湍封闭模式中,结果表明波-湍相互作用可以有效地改正经典M-Y模式混合不足的问题。Qiao等[21]基于海上平台观测资料,利用EMD分析方法揭示了波浪对湍流的调制增强作用。Shi等[22]探讨了海浪生湍动能及湍动能耗散率对渤海冬季海水结冰、融冰过程的热力学影响。管长龙等[23]评述了近年来浪致混合研究进展,探讨了湍流、波浪驱动耗散的能量平衡等涉及物理本质的问题,并提出了可控实验室混合观测验证及满足一定相似律的外海应用设想。另外,Agrawal等[24],Craig和Banner[25],Terry等[26-28]等还考虑了波浪破碎对海洋湍动能、混合长度的影响,以此来改进对海洋上混合层的数值模拟。

Yuan等[5]所揭示的系统内部相互作用理论表明,小尺度海浪对大尺度涡旋/环流的混合作用表现为二阶矩平均的剩余量形式即输运通量剩余量形式,而后者对前者的剪切生成作用表现为驱动海浪诸源函数之一的波-流相互作用源函数[29]。但是,海浪输运通量剩余量的混合成因机制尚不清楚,Yang等[30]利用剪切流作用下的一阶近似波动解,建立了简化的海浪输运混合实用模型,揭示了强流剪切引起的波动扰动项的混合主导作用,同时估算对比了台风条件下海浪生湍流及海浪输运通量剩余量相对于海流对流强度的拟雷诺数。Shi等[31],张铁成等[32]分析了黑潮强流剪切区域波浪输运通量剩余量对海洋上层温度及混合层深度的影响。

海浪对大尺度环流的驱动作用还可以通过Hasselmann[33]提出的波浪诱导Coriolis-Stokes力来实现,Polton等[34],Lewis和Belcher[35]研究了其对海洋Ekman层剖面结构的影响。在国内,孙孚等[36]首先开展了此方向的机制研究,吴克俭等[37]在此基础上建立了波浪对Ekman层能量输入的理论模型,计算表明在中高纬度和风速较大的情况下,波浪对Ekman层的能量输入可达到与风能输入可比较的量级;吴克俭等[38]还研究了波浪诱导的Stokes漂经向输运对东赤道太平洋海表温度变化的影响,提出了波浪过程对厄尔尼诺影响的新观点;Shi等[39]探讨了南大洋涌浪输运与拉尼娜信号之间的关系,提出了一种拉尼娜事件的可能预测方法。

在近岸波流相互作用研究方面,Longuent-Higgins和Stewart[40],Mellor[41]提出并探讨了辐射应力的作用,McWilliam等[42]和Kumar等[43]则基于涡度力动力机制开展相关研究。丁平兴等[44]、郑金海和严以新[45]、尹宝树等[46]等提出了计算辐射应力的方法并应用于三维悬沙输运等实际问题和风险评估等。

以往针对海洋内部的相互作用过程进行了相当细致的研究,Yuan等[5]基于系统论方法构建了海洋动力系统框架,通过集合样本统计意义下的Reynolds平均实现物理量递级运算,在理论上是完备的,但其特性还缺乏深入探讨且在实际应用方面存在困难。本文针对集合平均概念提出了其更广泛的含义,分析了其基本属性,揭示了相互作用过程中重要因子的贡献效应;提出了一种简单实用的集合平均计算方法,可方便应用于实际物理量(观测值或模拟值)的平均计算。

1 集合平均概念及特性分析

文中提到的基本变量及有关变量均指海洋动力系统中的物理量函数,数学上满足海洋动力控制方程所要求的各阶求导。为表述方便,引入了代数学上的线性空间、代数域等概念。为简化讨论,将Yuan等[5]运动分解中提出的涡旋及环流暂归于一类,即将海水运动分解为三类集合:集合A和A*,集合B和B*,集合C和C*。其中,集合A为由湍流类运动变量组成的基本变量线性空间,集合A*为由湍流类运动导出量组成的变量代数域。集合B为由波动类运动变量组成的基本变量线性空间,集合B*为由波动类运动导出量组成的变量代数域;集合C为由涡旋/环流类运动变量组成的基本变量线性空间,集合C*为由涡旋/环流类运动导出量组成的变量代数域。这样,集合B⊕C={x|x=b+c,b∈B,c∈C}就表征了由波动/涡旋/环流类运动变量组成的基本变量线性空间,用集合B*⊗C*表征由波动/涡旋/环流类运动变量通过加法、乘法运算组成的变量代数域。用集合T表征海水运动所有基本变量的和集,即T=A⊕B⊕C={x|x=a+b+c,a∈A,b∈B,c∈C},用集合T*表征由集合A*,B*和C*中的变量经过通常的加法与乘法运算构成的变量代数域。海洋动力系统非线性相互作用中存在复杂的二阶矩形式,即关于变量相乘,有基本特性:

1)同类变量相乘则属于同类变量代数域,即:设a1,a2∈A*,b1,b2∈B*,c1,c2∈C*,有a1a2∈A*,b1b2∈B*,c1c2∈C*。

2)非同类变量相乘情况较为复杂,有:设a∈A*,b∈B*,c∈C*,则ab∈T*,ac∈T*,bc∈B*⊗C*;设a∈A,b∈B,c∈C,则ab∈A,ac∈A,bc∈B。

集合平均概念类似于大气海洋领域的Reynolds平均,但它有更广泛的含义。对于各类集合上的平均特性,可通过其所属集合类别来表征,即:

1)设a1,a2∈A(或A*),有

2)设b1,b2∈B(或B*),有

3)设a∈A(或A*),b∈B(或B*),c∈C(或C*),有

式(1)～式(3)中,〈·〉A*,〈·〉B*分别表示在集合A*,B*上的平均,这表明三类集合A*,B*,C*存在集合层级,由低到高为Lev(A*)＜Lev(B*)＜Lev(C*)。实际上,式(1)～式(3)也可以作为集合平均的更广泛定义,其具有以下基本性质:

1)若a∈A,b∈B,b*∈B*,c∈C,c*∈C*,即a,b,c分别为集合A,B,C中的基本变量,而b*,c*为相关导出 量,则 有

2)若b∈B,x∈B⊕C(或B*⊗C*),且x=x b+x c,其中x b∈B(或B*),x c∈C(或C*)。若〈bx〉B*≠0,由于,而x c对〈bx〉B*≠0没有贡献效应。

2 动力系统相互作用及贡献因子分析

2.1 湍流对涡旋/环流的混合作用

设x∈B*⊗C*代表湍流对波动及涡旋/环流的混合作用项,由于湍流过程由波动/涡旋/环流运动剪切生成,Yuan等[8]利用高确定性闭合假定的Fourier输运通量表示,变量x可写成形式,其中为进一步讨论贡献因子及其效应,将变量y写成B*上的平均〈x〉B*≠0代表了湍流对涡旋/环流的混合作用,即

则y b通过对〈x〉B*≠0起贡献效应,y c通过起贡献效应。另外,若,则;若,则

2.2 湍流对波动的混合作用与能量贡献效应

设x∈B*⊗C*代表湍流对波动及涡旋/环流的混合作用项,且则x在B*空 间 上 的 剩 余 量x-〈x〉B*代表了湍流对波动的混合作用,即

对于湍流对波动的能量贡献作用,设b∈B,x∈B*⊗C*,且x=yx′b,其中x′b∈B,y∈B*⊗C*,且y=y b+y c,y b∈B*,y c∈C*。若〈bx〉B*≠0,由于

则y b通过〈by b x′b〉B*对〈bx〉B*≠0起贡献效应,y c通过〈by c x′b〉B*对〈bx〉B*≠0起贡献效应。

2.3 波动对涡旋/环流的混合作用

对于波动对涡旋/环流的混合作用,设x∈B*,Yang等[30]给出了x=(b10+b11)(b20+b21)表示形式,即b10,b20代表波动的主要线性分量;b11,b21代表背景流场剪切生成的小扰动分量;由于

涡旋/环流对湍流、波动的输运、剪切生成作用及波动对湍流的输运、剪切生成作用可以统一用Uu′和u U′形式表示,其中u和u′为低层级集合基本变量,U和U′为高层级集合基本变量。该类相互作用表示结构简单,机制清楚,不再赘述。

3 一种实用的集合平均方法及应用分析

Yuan等[5]在湍流、波动、涡旋及环流四类运动集上定义的Reynolds平均可以写成

式中,f a,f b,f c分别为集合A*,B*,C*内的函数变量,t为时间;q am,q bm,q m分别为对应函数变量的Fourier系数;m为级数项序号,且m1＜m2≤m3＜m4≤m5＜m6;ω0为常数。时间缓变Fourier系数表示为

集合B*和A*上的集合平均定义为

我们将该平均处理方法应用于简单单波运动个例,讨论波生湍流及波动输运通量剩余量的变化性态。取具有天气尺度变化(周期T C=12 h)的海流过程u C=a1sin(m1ω0t),其中a1=1.0 m·s-1。取周期T B=8 s,波长λB=60 m的波动运动过程u B=c2u Csin(m3ω0t),其中c2=5.0。取特征时间尺度T A=1 s,特征长度λA=1 m的湍流运动过程u A=c3u Bsin(m5ω0t),其中c3=0.01。式中常数ω0设为s-1,则m1=1,m3=5 400,m5=12×3 600。

其中,ν0=1.5×10-6m2·s-1。

图1 a为一个波动周期内湍动能变化过程,周期性波动特征明显,实际上其蕴含着显著的天气尺度缓变趋势,可用其诸周期上的上包络反映(图1b)。在本文第2部分,我们对此进行了分解,以便揭示各分量的贡献效应。

图1 集合平均下的湍动能及其包络的变化Fig.1 The temporal variation of ensemble averaged turbulence kinetic energy and its upper envelope

利用式(16)和式(17),根据Yuan等[8],湍运动集合平均下的混合系数为

图2 a为其中一个波周期内湍流混合系数变化过程,同样其蕴含显著的天气尺度缓变趋势,其上包络如图2b所示。平均约为0.8 m2·s-1的混合强度对海洋垂向结构分布起着关键性作用,这为以往数值试验研究与现场观测所证实[13-17]。

图2 集合平均下的波生湍流混合系数及其包络的变化Fig.2 The temporal variation of ensemble averaged turbulence mixing coefficient and its upper envelope

我们进一步估算波动输运通量剩余量的作用,依据Yang等[30],其可简化为

式中,u′B=c20a1k Bcos(m1ω0t)sin(m3ω0t);c20=0.001。波动输运通量剩余量(Tr)的变化过程如图3所示,量值上具有6 h的天气尺度周期变化特征。实际海洋是复杂的多波非线性叠加运动,Tr的分布呈现多样的大尺度空间结构,比如台风路径两侧的正负值变化增强了物理意义下的层化或混合均匀性效应[30]。

图3 集合平均下的波动输运通量剩余量变化Fig.3 The temporal variation of ensemble averaged wave transport flux residue

4 结 语

海洋动力系统非线性相互作用决定着系统内部的分布结构与外观表征,其研究已成为海洋耦合数值模式与数值预报发展的关键科学问题。本研究针对集合平均概念进行了其属性分析,通过引入代数学上的线性空间、代数域等表示方法,揭示了其基本性质和运动集合的层级特征。

通过缓变Fourier系数的特殊积分处理,提出了一种实用的集合平均方法。分析了不同海洋动力过程之间的相互作用机理,重点揭示了湍流、波动对涡旋/环流的输运通量剩余量主要分量所起的作用,探讨了波动强剪切生成湍流的能量贡献效应等性质,为海浪-海流耦合实用模块的研发及数据资料处理提供了一种设计方法。