岩土类工程材料 平面的蛋形强度准则

蒋佳琪 徐日庆 俞建霖 陈文祥 詹晓波 汪悦 裘志坚 成广谋

(1．浙江大学 滨海和城市岩土工程研究中心，浙江 杭州 310058；2. 浙江省城市地下空间开发工程技术研究中心，浙江 杭州 310058；3. 宏润建设集团股份有限公司，浙江 杭州 310000；4. 中天建设集团有限公司，浙江 杭州 310008；5. 杭州市地铁集团有限责任公司，浙江 杭州 310020)

大量真三轴试验结果表明中主应力σ2对于岩土类工程材料(黏土、砂土以及岩石等)的强度均有着显著影响[1- 3]。天然土体及岩石等大多处于三维应力状态，许多强度模型均试图反映这一特征。然而一些经典的强度理论诸如Drucker-Prager准则、Hoek-Brown准则以及Mohr-Coulomb准则明显在这方面存在劣势，而以SMP(Spatially Mobilized Plane)强度理论为代表的三剪应力强度准则不仅能表征三维应力状态，而且在应力空间内连续可微，便于数值计算[4]。

近年来，众多学者致力于岩土类材料偏平面强度特性的相关研究，以建立符合三维应力状态的强度准则[5- 9]。为实现这一目的，较为常见的方法包括：1) 在经典强度准则基础上加以拓展，Mortara[10]曾提出并发展了一种广义的SMP准则，该准则同时还涵盖了Lade-Duncan准则，使其在偏平面中具有更加广义的形状表达；2)g(θ)法，即构建独立的偏平面角隅函数g(θ)，本文所采用的也属于该种方法；3)转换应力法[11- 14]。

1 蛋形函数的基本性质

蛋形函数最早由任放等[15]提出并应用于岩土类材料的屈服理论中，后又由徐日庆等[16]进一步发展至边界面模型。其基本表达式可以概括为

(1)

图1 蛋形屈服面(子午面)

一般地，参数a≥1，并且从图1中可以看到蛋形屈服面顶点多数情况下不位于坐标原点。当a=1时，屈服面顶点则会退化至坐标原点，这种情形下屈服函数难以模拟岩土类材料的抗拉性能或者说是胶结特性。因此，一些强度理论都针对这方面做了改进[17- 19]。从力学的角度看，蛋形屈服函数中参数a就是一个可以描述材料抗拉性能的参数，其值受到材料抗拉与抗压强度之比的影响，当考虑岩土类材料的抗拉性能时需有a>1。参数b>0，描述的则是材料的抗剪能力。参数a、b均可以通过室内三轴试验结果拟合得到[20]。

2.1 g(θ)法

(2)

式中，φ为岩土类材料的内摩擦角。

Bardet[24]曾经指出，作为独立的角隅函数，g(θ)一般需要满足以下3个条件：

鉴于蛋形函数的前述基本性质及该函数在整个定义域内具有2阶连续导数，且呈外凸状，这就使得蛋形函数具有成为角隅函数的潜力，下面就此进行具体的论证。

2.2 基于蛋形函数的g(θ)法实现

图2 平面上蛋形屈服函数示意图

需要说明一点，根据θ定义，当σ1>σ2>σ3时，洛德角的范围为-30°～30°。为了方便讨论，将θ的范围重新定义在0°～60°，这样做对整体的研究结论并无任何实质影响。

(3)

(4)

对隐式方程(4)进一步微分并代入dρ/dθ=0，可得3次方程：

(5)

图3 ρ(θ)在[0,]上的变化趋势

可以证明式(5)在(0,1)内有且仅有唯一实数解x*，对应于θ*。由一元三次方程的Cardano求根公式可知，该解可以表示为

(6)

式中：

(7)

将式(6)代入式(4)联立求解最终可以得到：

(8)

及

(9)

(10)

2.3 参数讨论

图4 参数β对于平面强度曲线的影响

根据Bardet的定义，参数β可以表示为内摩擦角φ的函数：

(11)

由式(11)可知，当内摩擦角φ从0°增长到90°时，β从1单调递减为0.5。据笔者所知，对于大部分的岩土类材料，其内摩擦角一般不超过45°，对应的β值也一般不小于0.62，这种情况下，对照图4，蛋形强度包线的凹凸性基本可以得到保证。

图5 参数α2对于平面强度曲线的影响

3 模型验证

3.1 与其他角隅函数的比较

将本文所提出的蛋形角隅函数与文献中已有的部分g(θ)函数作比较[26- 28]，如图6所示。所采用的g(θ)表达式分别如下。

文献[26]：

图6 与其他角隅函数g(θ)的比较

(12)

文献[27]：

(13)

文献[28]：

(14)

从图6中可以看到，只要选取适当的模型参数，文中模型与其他模型均可得到较好的一致性。

3.2 与真三轴试验结果的比较

图7 不同强度准则对Toyoura砂试验结果比较分析

图8 不同强度准则对粉质黏土试验结果比较分析

图9 不同强度准则对上海软土试验结果比较分析

尹光志等[32]对3种复合岩石的真三轴强度进行了试验研究，以其中细砂岩为例，其6条应力路径所对应的洛德角分别为0°、10.9°、23.4°、36.6°、49.1°、60°，相应的比较结果如图10所示。

图10 不同强度准则对细砂岩试验结果比较分析

在模型使用过程中，参数β可根据材料内摩擦角φ由式(11)加以确定，而参数α2严格来讲需要通过相关试验加以标定，但考虑其较β而言相对影响较小，建议取值在0.3～0.6的范围内即可。对于岩石类等的抗拉强度比较大的材料，α2取值可以略大一点。

4 结论

(2)根据不同的模型参数，偏平面蛋形强度包线形状可以从曲边多边形变化至圆形。参数β越小，角隅函数就越内凹；β越大，强度包线就越外凸。而参数α2对于强度包线形态的影响则与β相反，即α2越小，曲线则越外凸。

(3)从对不同类型岩土类材料真三轴试验结果以及文献中已有其他强度模型的比较结果来看，当β相同时，蛋形强度准则与其他g(θ)函数，包括SMP准则，均较好地反映试验结果。当α2趋向于0时，蛋形强度包线与SMP准则趋于一致；而当α2趋向于1时，蛋形强度包线与Mohr-Coulomb准则趋于一致。