蠕变和中间主应力影响下围岩变形分区弹塑性分析

经来旺，陈飞宇，经 纬，郝朋伟，赵 翔

(安徽理工大学 力学与光电物理学院，安徽 淮南 232001)

巷道围岩变形分区的弹塑性分析由来已久，早期的FENNER和KASTNER将围岩视作理想弹塑性材料，基于Mohr-Coulomb(M-C)准则和弹塑性两分区模型求得了塑性区围岩应力及半径的解析解；张小波、曾钱帮等[1，2]分别基于Drucker-Prager准则和Hoek-Brown准则求得了弹塑性两分区模型圆形巷道(硐室)围岩的理想弹塑性解析解。近年来，随着巷道埋深的增加，围岩峰后阶段的应变软化和扩容特性的影响已不容忽视，部分学者考虑上述因素的影响[3，4]，基于弹塑性三分区模型展开研究，取得了若干重要的研究成果。然而在上述及若干相关研究中所依据的理论分析模型中围岩的峰值应力常是岩石的瞬时极限强度[5-11]，没有考虑岩石材料显著的蠕变特性的影响。实际上，在现有的大量的工程软岩和地质软岩巷道中，围岩进入塑性状态后常发生不同程度的蠕变变形，待巷道稳定后围岩的峰值应力将不再是岩石的瞬时极限强度[12，13]。文献[12]认为巷道变形在岩石的蠕变特性的影响下趋于稳定后围岩的峰值应力应为对应围压下岩石的长期强度值，并分别以对应围压下岩石的稳定蠕变上、下阈值和残余强度作为围岩各分区应力的临界值构建了4阶段应变软化模型，基于M-C准则求得了各分区围岩的弹塑性统一解析解。然而该领域目前存在考虑中间主应力和不考虑中间主应力的两大研究体系，文献[12]的研究是基于M-C准则展开的，属于不考虑中间主应力的研究体系。而工程实际和理论研究均表明中间主应力对围岩的应力和变形分布规律有重要影响[7，8，13]。为此，基于统一强度理论讨论围岩变形分区弹塑性新解，并结合工程实例对比分析蠕变和中间主应力对围岩应力与变形分布规律的影响。

1 理论分析模型

1.1 力学模型

力学模型如图1所示。为便于研究假设围岩为连续、匀质、各向同性材料；巷道开挖断面为圆形，开挖半径为Rr；原岩应力σ0与支护阻力Pi均为均布压力；侧压系数λ=1；巷道无限长度可按照平面应变问题对待。巷道变形稳定后，围岩中出现弹性区e、塑性软化区s和塑性流动区w。围岩的变形状态与该点的切向应力和径向应力有关：当切向应力达到对应径向应力(围压)岩石的长期强度时，围岩出现塑性软化状态；当切向应力达到对应径向应力(围压)岩石的残余强度时围岩出现塑性流动状态[12]。

图1 力学模型

1.2 软化模型

董方庭、郑颖人等[14，15]学者的研究表明围岩峰后阶段的软化主要与粘聚力c有关。粘聚力c的软化模型如图2所示。

图2 粘聚力的变化规律

cs=c0-Mc[(εθ)r=Rs-εθs]

(1)

求得的相应的应变的解析解，最终得：

式中，K为比例系数，K=Rs/Rw，Rs和Rw分别为塑性软化区和塑性流动区半径，m；ηs为塑性软化区围岩的扩容系数，ηs=(1+sinψ)/(1-sinψ)，ψ为塑性软化区围岩的扩容角，(°)。本例中围岩的塑性流动遵循关联流动法则，数值上内摩擦角φ与膨胀角ψ相等。

1.3 扩容模型

岩石材料在塑性变形阶段不适用金属等材料的体积不变假设。研究表明可用图3所示的扩容模型反映围岩塑性阶段的变形特性[3-5]。

图3 扩容模型

在塑性软化区内：

在塑性流动区内：

1.4 统一强度理论

统一强度理论由双剪理论发展而来，考虑了中间主应力对材料破坏的影响，适用于岩石类材料，主应力表达式为[7，16]：

式中，σ1、σ2和σ3分别为第一、第二和第三主应力，MPa；b为统一强度理论参数，主要反映中间主应力的影响程度，且0≤b≤1；c为岩石的粘聚力，MPa；φ为岩石的内摩擦角，(°)。

本例中，切向应力σθ为第一主应力、径向应力σr为第三主应力、第二主应力用σz表示。在平面应变状态下σz=(σθ+σr)/2[7]，第一、二、三主应力满足判别式(6)，得到适用于本例的统一强度理论的表达式为：

σθ=Nσr+S

(7)

2 巷道围岩的弹塑性解析

巷道变形稳定后，围岩应力满足平衡微分方程，变形满足几何方程。结合本例特点，求解过程适宜在极坐标系中进行。极坐标系中，应力平衡微分方程为：

dσr/dr+(σr-σθ)/r=0

(8)

几何方程为：

εr=du/dr；εθ=u/r

(9)

式中，εr和εθ分别径向应变和切向应变；u为位移，mm。

2.1 弹性区分析

本例中侧压系数λ=1。力学模型远处受均布原岩应力作用，近处受均布支护压力作用。参照弹塑性力学中的厚壁圆筒力学模型的解析过程得弹性区围岩应力、应变和位移的解析解为：

{ue=(σ0-σrp)R2sr-1/2G

(12)

式中，σ0为原岩应力，MPa；σrp为弹性区与塑性软化区交界处的径向应力，MPa；Rs为塑性软化区半径，m；G为围岩的剪切模量，GPa。

2.2 塑性软化区分析

2.2.1 塑性软化区外边界处应力解析

依据应力连续边界条件，塑性软化区外边界处围岩的径向应力大小为σrp，切向应力设为σθp，则σrp=(σre)r=Rs；σθp=(σθe)r=Rs，进一步得σrp+σθp=2σ0，同时如前文所述：σθp为对应径向应力σrp(围压)围岩的长期强度，即[12]：

σθp=Nσrp+S0

(13)

联立式(13)和σθp+σrp=2σ0得：

式中，σθp为弹性区与塑性软化区交界处的切向应力，MPa。

2.2.2 塑性软化区内应力解析

塑性软化区内围岩的粘聚力满足式(1)，另联立统一强度理论式(7)和应力平衡微分方程式(8)，并结合应力边界条件：(σrs)r=Rs=σrp，得塑性软化区应力的解析解为：

2.2.3 塑性软化区位移及应变解析

塑性软化区围岩的总应变由弹性应变和塑性应变共同组成[8，13]，可表示为：

式中，εrs和εθs为塑性软化区的径向和切向总应变；(εre)r=Rs和(εθe)r=Rs为塑性软化区外边界处的径向和切向弹性应变。

联立应变增量关系式(3)、几何方程式(9)和弹性应变解析式(11)得塑性软化区位移协调方程为：

dus/dr+ηsus/r=T(ηs-1)

(17)

式中，us为塑性软化区位移，mm；T为中间变量且T=(σ0-σrp)/2G。

求解式(17)并结合位移边界条件：(us)r=Rs=(ue)r=Rs，得塑性软化区围岩的位移的解析解为：

式中，D1和D2为中间变量，D1=(ηs-1)/(ηs+1)；D2=2/(ηs+1)。

另由几何方程得应变的解析解为：

2.3 塑性流动区分析

2.3.1 塑性流动区应力解析

塑性流动区围岩的粘聚力为常数，联立统一强度理论式(7)和应力平衡微分方程式(8)，并结合应力边界条件：(σrw)r=Rr=Pi，得塑性软化区应力的解析解为：

式中，σrw和σθw分别为塑性流动区的径向和切向应力，MPa；Pi为支护阻力，MPa；Mw为中间变量，Mw=Sw/(1-N)。

2.3.2 塑性流动区位移及应变解析

塑性流动区围岩的总应变主要由塑性应变组成[8，9]。联立应变增量关系式(4)和几何方程式(9)得塑性流动区位移协调方程为：

duw/dr+ηwuw/r=0

(21)

式中，uw为塑性流动区位移，mm。

求解式(21)并根据位移边界条件：(us)r=Rw=(uw)r=Rw，得塑性流动区位移的解析解为：

另由几何方程得应变的解析解为：

式中，εrw和εθw分别为塑性流动区的径向和切向应变。

2.4 围岩变形分区范围的确定

确定围岩变形分区范围即确定Rw和Rs。塑性软化区与流动区交界处围岩的径向应变和径向应力满足连续性条件[10]，即：(εrs)r=Rw=(εrw)r=Rw；(σrs)r=Rw=(σrw)r=Rw。联立应变解析式(19)和式(23)中的第一式得：

联立应力解析式(15)和式(20)中的第一式得：

将Rw代入式(24)中得：

Rs=KRw

(26)

3 实例分析

淮南矿区潘一东矿-848m充电整流硐室开挖半径Rr=2.95m，初始地应力为21.861MPa，距硐室轴线15m范围内为同一岩层，岩层钻孔窥视仪观测显示距硐室轴线5.5～15m范围内围岩均质完整无破裂带，以初始地应力作为原岩应力进行计算；室内实验测得围岩弹性模量E=4.01GPa，泊松比μ=0.25，内摩擦角φ=27.83。围岩瞬时极限强度对应的初始粘聚力为11.753MPa，考虑蠕变时，由图解法求得围岩的长期强度和残余强度对应的粘聚力为5.578MPa和0.724MPa。

3.1 蠕变的影响分析

为了探究蠕变的影响，分别将巷道围岩的瞬时极限强度和相应的长期强度作为围岩的峰值应力进行计算，两种强度对应的初始粘聚力分别为11.753MPa和5.578MPa。另取b=0，此时统一强度退化为M-C准则；支护阻力pi=0.25MPa；塑性流动区围岩的扩容系数ηw=1.3。计算结果表明：当以瞬时极限强度作为围岩的峰值应力时，塑性流动区和塑性软化区围岩的半径分别为2.92m和3.05m，相比于硐室开挖半径2.95m，说明围岩中不存在塑性流动区而塑性软化区范围仅为0.1m，两者皆与现场实测结果相差较大；而当考虑蠕变的影响，以相应的长期强度作为围岩的峰值应力时，塑性流动区和软化区围岩的半径分别为5.21m和5.68m，与距硐室轴线5.5m范围内为松动圈的现场探测结果基本一致。两种峰值应力条件下围岩的应力和位移分布状态对比分别如图4、图5所示。由图4、图5可知：当忽略蠕变的影响时，距巷道内壁一定范围内，围岩的应力与位移呈弹性分布状态，两种强度条件下，距硐室轴线5.68m范围外均为弹性区，但当忽略蠕变影响时，弹性区围岩第三主应力(σr)偏大而第一主应力(σθ)和位移偏小，此时围岩更不容易破坏，一定程度上高估了围岩岩性。

图4 巷道围岩的应力分布

图5 巷道围岩的位移分布

3.2 中间主应力的影响分析

由式(18)、式(22)、式(25)和式(26)可知，进入塑性状态的围岩位移与分布范围与中间主应力影响程度参数b有重要关系。围岩位移与塑性流动区半径随b变化的曲线如图6、图7所示。其中，当b取不同数值时围岩位移均在硐室内壁位置(横轴原点位置)达到最大值，且沿围岩深部方向而逐渐减小；实际中深部围岩较浅部围岩受开挖、支护、采动等扰动影响的程度很小，其位移自然较浅部围岩位移小得多。同一位置处围岩的位移除与原岩应力和围岩岩性等影响因素有关外还与参数b有密切联系，且当参数b较大时围岩的位移较小，如图6所示，正如前文所述，参数b反映的正是中间主应力的影响程度，当b取值越大时表示中间主应力影响程度越大。同样的塑性流动区半径与参数b也有类似关系，如图7所示。总之，中间主应力对塑性围岩的位移级塑性流动区范围的扩展能有明显的抑制作用[1，13]。

图6 巷道围岩的位移变化

图7 塑性流动区半径变化

4 结 论

1)巷道围岩塑性区的扩展与变形受围岩峰后阶段的扩容特性、软化特性、蠕变特性和中间主应力等诸多因素的影响，其中以受蠕变特性因素的影响更为显著，而当以一定围岩下岩石的长期强度作为围岩的峰值应力时，一定程度上考虑了蠕变因素的影响，并通过工程实例验证了其合理性与适用性。

2)中间主应力能够抑制塑性流动区的扩展与围岩的变形，增大中间主应力有利于增强支护效果和提高巷道的长期稳定性，可将其作为一种支护设计思路。