钢板弹簧刚度修正系数的取值分析

龙先军

（东风柳州汽车有限公司商用车技术中心，广西 柳州 545005）

0 前言

钢板弹簧作为卡车悬架系统使用最多的弹性元件，连接车架与车桥，传递车架与车轮之间的力和力矩，缓和路面对车架及车身的冲击载荷，衰减由此引起的振动，同时还具有导向及传递纵向力、侧向力的作用。钢板弹簧的刚度是悬架设计过程中最重要的性能参数之一，它直接关系到整车的承载能力、平顺性能的设计及确定。因此，准确计算钢板弹簧的刚度对悬架设计具有重要意义。

在钢板弹簧刚度设计计算时，一般都要引入刚度修正系数ζ，也称经验修正系数。引入该系数的主要原因有以下两点：1）在钢板弹簧的刚度计算模型中，假设钢板弹簧的端部受了弯矩，这与实际情况不符；2）在钢板弹簧的刚度计算模型中，将钢板弹簧截面简化成矩形，实际生产中钢板弹簧的两侧都会轧制成圆角，导致钢板弹簧断面惯性矩比理论要小，直接影响钢板弹簧的刚度。因此，计算钢板弹簧的刚度时，为了保证计算刚度的准确性，需要引入刚度修正系数ζ对理论计算的刚度进行修正，以保证理论计算刚度与实际刚度相符。

对于刚度修正系数的取值，目前并无统一的标准，文献[1]建议ζ=0.90～0.95；文献[2]建议ζ=0.90～0.94；文献[3]建议ζ=0.90～0.92。同时，多数文献建议钢板弹簧片数多，系数取下限；钢板弹簧片数少，系数取上限；并未对修正系数取值与板簧的类型、厚度、长度等因素做详细分析。本文通过实际设计工作中钢板弹簧理论计算刚度值与台架实测刚度值之间的对比，对刚度修正系数ζ的成因及影响做了分析，并对修正系数ζ取值与钢板弹簧的类型、规格的关系做了进一步探讨分析，总结了更为详细具体的刚度修正系数。

1 理论分析

1.1 钢板弹簧的刚度计算

1.1.1 等截面钢板弹簧的刚度计算

等截面钢板弹簧（多片簧）长度的一半模型如图1所示，l1、l2、l3……ln-1、ln分别是第1、2、3……、n-1、n片片长的一半。

图1 多片等截面钢板弹簧的一半

根据汽车设计[2]，钢板弹簧刚度计算方法主要有共同曲率法和集中载荷法。采用共同曲率法计算等截面钢板弹簧（多片簧）的刚度计算公式如下：

其中：E—材料弹性模量；ξ—修正系数；

ak+1=（l1-lk+1），l1是主片伸直长度半长；lk+1是第（k+1）片的半长，如图1所示；

Yk—第1片至第K片钢板弹簧的惯性矩之和的倒数，

Yk+1—第1片至第K+1片钢板弹簧的惯性矩之和的倒数

Ii—第i片钢板弹簧惯性矩；b是钢板弹簧各片宽度，t是钢板弹簧各片厚度，n是板簧总片数。

1.1.2 变截面钢板弹簧的刚度计算

变截面钢板弹簧单片簧的一半模型如图2所示：

图2 单片变截面钢板弹簧的一半

采用共同曲率法计算变截面钢板弹簧（少片簧）的刚度计算公式如下：

其中：E—材料弹性模量；n—钢板弹簧片数；

ξ—刚度修正系数；

I—钢板弹簧惯性矩：

b为钢板弹簧宽；t1为端部平直段厚度；t2为根部厚度；

l为钢板弹簧半长；l1为钢板弹簧端部平直段长度；l2为板变截面段与端部平直段长度之和；如图2所示。

钢板弹簧变厚度tx随长度的变化规律为：

公式中系数k"：

1.2 钢板弹簧的截面

钢板弹簧的刚度理论计算中，板簧的惯性矩形截面模型采用如图3（a）的矩形截面，而实际生产中为了消除材料应力，降低材料重量，将弹簧钢截面两侧轧制成圆角。根据汽车悬架系统用弹簧钢第1部分热轧扁钢[4]，弹簧钢截面主要有（b）平面半圆角扁钢、（c）平面矩形扁钢、（d）单面双槽扁钢三种。对于平面半圆角扁钢（b），侧面圆角r≈t/2；对于（c）平面矩形扁钢，厚度t＜40mm时，侧面圆角r=8±2mm；厚度t＞40mm时，侧面圆角r=12±2mm，单面双槽扁钢的侧面圆角r与半圆角扁钢相同。

图3 钢板弹簧的截面

图3 （b）、（c）、（d）弹簧钢截面相对于理论模型的矩形截面(a)，断面面积以及断面惯性矩均小于矩形截面，下面是矩形截面与半圆角扁钢的截面积与惯性矩的对比：

矩形截面的钢板弹簧断面积：F=bt；

半圆角扁钢的断面积：

矩形截面的惯性矩：

半圆角扁钢的惯性矩：

1.3 钢板弹簧截面对刚度的影响

由钢板弹簧的刚度计算公式（1）、（2）可知，钢板弹簧的刚度与截面惯性矩成正比，而截面惯性矩与钢板弹簧的截面形状直接相关。我们在钢板弹簧刚度理论计算模型中，把钢板弹簧的截当作矩形截面，采用公式（3）计算的惯性矩；实际上钢板弹簧的两端都轧制成圆角，截面惯性矩应为公式（4）；公式（3）计算的惯性矩要大于公式（4），直接导致计算的理论刚度大于实际刚度。因此，为了保证计算刚度与实际刚度相符，在刚度及应力计算公式（1）、（2）引入刚度修正系数ξ的概念，这是引入钢板弹簧刚度修正系数的主要原因。

根据钢板弹簧的刚度计算公式（1）、（2），钢板弹簧刚度与截面惯性矩成正比，可通过钢板弹簧截面惯性矩来分析钢板弹簧截面对钢板弹簧刚度的影响。

汽车悬架系统钢板弹簧采用平面半圆角扁钢，侧面圆角r≈t/2，假设两种钢板弹簧的宽度分别为70mm、90mm，厚度从10mm至35mm，分别计算矩形截面与半圆角截面的钢板弹簧惯性矩。

从表1中可知，90mm宽的钢板弹簧厚度10mm厚时，惯性矩比值系数0.976，钢板弹簧厚度35mm时，惯性矩比值系数0.916；即相同钢板弹簧宽度下，厚度越小，系数越大，圆角也就是对钢板弹簧刚度的影响也就越小；反之钢板弹簧厚度越厚，对惯性矩（刚度）影响也就越大。钢板弹簧片厚同是10mm时，90mm宽的钢板弹簧系数0.976，70mm宽的钢板弹簧系数0.969；同是片厚35mm，90mm宽的钢板弹簧系数0.916，70mm宽的钢板弹簧系数0.893；即钢板弹簧宽度越宽，系数越大，刚度受到圆角的影响越小。

表1 钢板弹簧宽度、厚度对惯性矩的影响

表1 常用厚度及宽度的钢板弹簧半圆角断面与矩形断面的惯性矩比值在0.89～0.98，各种文献推荐的刚度修正系数ζ推荐取值0.90～0.95，主要考虑了钢板弹簧断面圆角的影响，还有考虑弯矩假设的影响。但是，不同钢板弹簧的宽度、厚度的刚度修正系数差距也比较大，钢板弹簧片厚较厚，惯性矩比值较小；钢板弹簧片厚较薄，惯性矩比值较大。如果ζ取值不合适，如厚钢板弹簧系数取值0.95，将导致理论计算刚度大于实际刚度；而如薄钢板弹簧物质0.90，将导致理论计算刚度小于实际刚度。

1.4 钢板弹簧截面对应力的影响

钢板弹簧的应力计算公式：

其中：P—钢板弹簧的端部应力；

L—钢板弹簧作用长度；

WO—钢板弹簧断面系数。

矩形截面的钢板弹簧断面系数：

半圆角扁钢的钢板弹簧断面系数：

根据公式（5），钢板弹簧的应力与断面系数Wo成反比，根据公式（6）、（7）矩形截面的钢板弹簧断面系数要大于半圆角扁钢的钢板弹簧断面系数；因此，采用公式（5）钢板弹簧断面系数大于实际值，导致计算所得的应力偏小，将影响钢板弹簧的工作应力设计及判定，影响钢板弹簧的可靠性。因此，在计算板簧应力时，也需要引入刚度修正系数ξ进行修正。

2 试验及讨论

2.1 试验

钢板弹簧的刚度不仅受到钢板弹簧截面的影响，而且与钢板弹簧的制造工艺、钢板弹簧材料等有关。因此，钢板弹簧的刚度修正系数比考虑圆角的惯性矩比值还要小。通过对钢板弹簧台架试验刚度与理论刚度计算（系数ξ=1）进行比较，总结了各种钢板弹簧的刚度修正系数。

从表2、表3、表4可知，在理论计算中，如不引入刚度修正系数进行修正，钢板弹簧实测刚度与设计刚度的误差将会大于少片簧6%、多片簧8%[5]的设计误差要求。

表2 对9副等截面钢板弹簧（多片簧）的试验实测刚度与理论计算刚度进行对比，刚度修正系数在0.82～0.90，平均值0.86。

表2 等截面钢板弹簧刚度修正系数

表3 对12副变截面钢板弹簧（少片簧）的试验实测刚度与理论计算刚度进行对比，刚度修正系数在0.85～0.94，平均值0.90。

表3 变截面钢板弹簧刚度修正系数

表4 对5副平衡簧的试验实测刚度与理论计算刚度进行对比，刚度修正系数在0.77～0.87，平均值0.81。因为平衡簧的作用长度较短，厚度较厚，因此，刚度修正系数都比较小。

表5 中10副等截面钢板弹簧（多片簧）的理论刚度按公式（4）、（7）计算钢板弹簧的惯性矩、断面系数，试验实测刚度与理论计算刚度比值在0.89～1.01，平均值0.93。

表4 平衡簧刚度修正系数

表5 考虑圆角后钢板弹簧刚度修正系数

2.2 结果讨论

根据上述试验实测刚度与理论计算刚度的之比，等截面钢板弹簧试验实测刚度与理论计算刚度的之比的平均值0.86，因此，建议等截面钢板弹簧的刚度修正系数取值0.84～0.88；对于在刚度及应力计算中，已经在钢板弹簧惯性矩及断面系数中消除了钢板弹簧圆角因素影响的，刚度修正系数可以取0.91～0.95。变截面钢板弹簧试验实测刚度与理论计算刚度的之比的平均值0.90，建议刚度修正系数取值0.88～0.92；平衡簧试验实测刚度与理论计算刚度的之比的平均值0.81，建议刚度修正系数取值0.79～0.83。

3 结语

钢板弹簧截面影响是引入刚度修正系数的主要原因，影响到板簧刚度及应力的计算。在理论刚度及应力计算中，需要采用刚度修正系数进行修正，以保证理论计算与实测刚度的相符性。刚度修正系数取值直接影响到钢板弹簧的设计，取值不合适，将导致钢板弹簧的实测刚度值与理论设计值偏差超出设计规范允许的偏差要求，影响钢板弹簧承载能力及工作应力，导致设计失败，需要重新设计校核，影响设计效率及成功率。因此，选择合适的刚度修正系数对悬架系统的钢板弹簧设计具有重要意义。

文章通过大量的钢板弹簧理论计算刚度值与台架实测刚度值之间的对比，对刚度修正系数ζ的成因、影响、取值做了分析，总结了更为详细具体的刚度修正系数取值：建议等截面钢板弹簧的刚度修正系数取值0.84～0.88，如果已经在钢板弹簧惯性矩及断面系数中消除了钢板弹簧圆角因素影响的，刚度系数可以取0.91～0.95。变截面钢板弹簧刚度修正系数取值0.88～0.92，平衡簧刚度修正系数取值0.79～0.83。钢板弹簧厚度越厚，系数取值越小；钢板弹簧越宽，系数取值越大。