平均数计算中的几种误解

黄发胜

【摘要】平均数计算是中小学数学中最常见、最基本的计算，是每个学生都必须牢固掌握的计算，但在实际教学中，学生在解有关平均数的计算题时却常常出现错误.本文收集了一些常见错误题型，详细分析了错误原因，并形成理论知识，定义了三种平均数，给出了计算公式，以便于师生应用推广.

【关键词】平均数;计算;误解

平均数是统计中的一个重要概念.在现行数学教材中，统计学知识在小学教材中零散出现，到初中数学中才系统地呈现.作为统计学中最基础的平均数，其定义及计算也是逐渐扩展的.小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商.在统计中，算术平均数通常反映一组数据的集中趋势，它是描述数据集中程度的一个统计量，用来反映一组数据的“重心”.平均数有直观、简明的特点，可以反映出一组数据最直观的分布情况，所以在日常生活中使用广泛，如平均成绩、平均质量、平均身高等.

[JP2]在小学数学中，把两个数的和除以2后所得的数叫作这两个数的平均数，这一定义一直延续到初三.在初三“统计初步”一章中，把两个数x1，x2的平均数定义为x-=12（x1+x2），[JP]推广后得到n个数x1，x2，x3，…，xn的平均数为x-=1n（x1+x2+…+xn）.简而言之，小学到初中，求平均数的方法是：几个数的平均数等于这几个数的和再除以几.然而正是这种传统的习惯求法，导致学生不具体分析问题，机械地乱套公式，这不利于培养学生解决问题的能力.下面我们通过几个例子分析学生在平均数计算中常出现的错误及产生错误的原因.

一、计算平均数的实例

例1 某乡镇企业的产值，去年比前年增长20%，今年又比去年增长30%，问：这两年的平均增长率是多少？

例2 有一不等臂天平，把某一物体置于左盘，称得质量为1千克;把此物体置于右盘，称得质量为0.81千克，求此物体的实际质量.

例3 某同学骑自行车从家去县城，去时速度为10千米/时，返回时速度为20千米/时，求此同学往返的平均速度.

二、平均数计算中常见的误解

上面三例都是平均数计算问题，例2虽没提出计算平均质量，但根据有关物理知识可知，也是求平均数问题.受传统平均数概念的影响，学生出现了下面解法.

例1 平均增长率x-=12×（20%+30%）=25%.

例2 实际质量m=12×（1+0.81）=0.905（千克）.

例3 平均速度v=12×（10+20）=15（千米/时）.

三、上面三例的正确解法及推广

对待任何问题都要具体分析，抓住问题的主要矛盾.这一原理反映在数学上就是要弄清题意，抓住问题涉及的定理或定义，从而找到解决问题的方法.下面我们把提出的问题加以讨论，得出一般性的结论.

1.若去年的增长率为a，今年的增长率为b，设这两年的平均增长率为x.

把前年的产值看作“1”，则去年产值为1+a，今年的产值为（1+a）（1+b）.又因为年平均增长率为x，故今年产值为（1+x）2.于是有方程：

五、平均数计算中的错误辨析

1.例1中，错误解法为：x-=20%+30%2=25%，现在分析一下产生错误的原因：

① 两次增长的百分率不能简单地相加，由于增长前后每年的基数不同，即今年比前年的增长率不是20%+30%=50%，而是（1+20%）（1+30%）-1=56%.

② 平均增长率也不能用增长率除以2计算，即50%÷2=25%是错误的，且56%÷2=28%也是错误的，由公式（1） 知：1+x是1+a与1+b的几何平均数，而几何平均数根本不需除以2，故正确解为：

x=（1+20%）（1+30%）-1≈24.9%.

③ 囿于习惯算法，误把几何平均数问题当成算术平均数问题，因而出现理论性错误.

2.例2中，错误解法为m=1+0.812=0.905（千克），产生错误的原因有以下几点：

① 没有抓住问题的关键——杠杆平衡原理，是产生错误的根本原因.

② 对物理课本中的论述“多次测量取平均值，这样可减小误差，使测量结果更接近真实值”没有理解透彻，而错误地把两次测得的值的平均值当成真实值.

③ 本题求的是几何平均值，正确的结果是m=m1m2=0.9（千克），即使算术平均数也巧合为0.9千克，理论上仍是错误的.

3.例3中求平均速度出现错误的原因是：

① 对平均速度概念不理解是产生错误的根本原因.平均速度=总路程/总时间，而不等于来去速度的算术平均值.

② 对“平均”片面的、习惯的理解是产生错误的另一个原因，根据公式（4），本题的平均速度v是v1与v2的调和平均数，

即v=2110+120=403（千米/时），难怪v=10+202=15（千米/时）错了.

从上面分析的结果看，产生误解的一个重要原因是：没有对具体问题进行具体分析，囿于习惯定式，思维狭隘，乱套公式.因此，我们在教学中要更加注重培养学生分析问题和解决问题的能力，适当扩展学生的知识面，如引入几何平均数、调和平均数的概念，这样学生就不会把平均数简单理解为算术平均数，既可防止平均数计算中出现类似错误，又能培养学生解决实际问题的能力，推动素质教育的发展.

六、平均数计算中出现误区的原因分析

1.在平均数概念界定上的误区

现在仍然有不少学生认为“平均数”就是“算术平均数”，把平均数计算程序化、机械化.造成这个局面的原因既有教师教的原因，如没有把概念讲透或没有对比不同类型的平均数计算，也有学生不认真学习的原因，如对概念理解粗糙.

2.相关学科知识重点的理解偏移

虽然平均数计算已经不是教学中的难点，但如果学生对各学科中相应知识的理解不够，如物理学中的平均速度、平均质量，统计学中的增长率问题等，他们仍然会把理解的重点放在算术平均数的概念上，把相应学科中的概念理解偏了，比如平均速度是指在一段时间内通过的总距离除以总时间，而不能理解成几个速度的平均值.

3.对“平均数的求法”只顾算法，没有方法

关于平均数的求法，大多数学生死套公式，不做具体分析，大部分教师在课堂上只讲解题模式，为后面的平均数应用题服务.这就造成一个学习理解的误区，学生只是想如何套用老师讲的解题模型，而不是探究怎样得出解决这个问题的方法，因此常常出现一些错误解法.

七、平均数计算拓展练习

1.某厂1月份产值为12万元，2月份比1月份增长10%，3月份又比2月份增长14%，求每月的平均增长率.

2.有一个杠杆（支点固定），当从左端下压撬起一重物时，用100牛的力，从右端下压撬起同一重物时，用900牛的力，问：这一物体的质量是多少？

3.某市举报中心的信件处理员每天都要处理一定量的信件，已知处理员小李第一天处理信件的速度为6封/时，第二天处理的速度为12封/时，问：小李这两天平均的处理速度是多少？

4.“十一”长假期间，小李一家从天水出发到兰州去旅游，前一半路上的速度为40千米/时，后一半路上的速度为60千米/时，试问：整段路上的平均速度是多少？

5.如果一个正方形与一个矩形的面积相等，那么正方形的边长是矩形长与宽的什么平均數？