从整数视角到分数视角

王凌

摘要：在“分数的初步认识”第二个阶段的学习中，学生要把一些物体看作一个整体平均分成若干份，知道其中的一份或几份可以用怎样的分数表示。这时，由于整数视角与分数视角的混用，学生会把平均分的份数与每份的个数、整体的个数纠缠在一起，从而引发错误。对此，教师在教学中，不能只关注整体（单位“1”）和平均分的份数，同时也要关注整体的个数和每份的个数;进而，引导学生通过比较发现同一对象的两种表示方式，在比较的过程中达成认知平衡，即认识率与量的对应关系。

关键词：分数的初步认识;整数视角;分数视角

三年级学生学习“分数的初步认识”时，通常要经历两个阶段：第一个阶段，把一个物体或一个图形平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示;第二个阶段，把一些物体看作一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示。

在多年的听课过程中，笔者发现，学生在第二个阶段的学习中，经常出现这样的错误：用24或28表示图1中的涂色部分。即便教师反复强调平均分的份数与涂色部分所表示的份数，这样的错误也还是反复出现。

为什么学生会出现这样的错误呢？笔者尝试基于学生的已有经验做出分析。

在学习分数之前，学生都是用整数表示生活中物体的个数，即表示具体的量的多少的。他们看到2个苹果时会自动想到“2”，看到5个皮球时会自动想到“5”。此外，学生也会用整数表示两种量的倍数关系。这时，他们眼中看到的是两种量，脑中有着明确的比较意识，因而，知道所用的整数与用于表示物体个数的整数在意义上是不同的。通常来说，学生更擅长用整数表示物体的个数。我们不妨称之为儿童认识世界的整数视角。

在“分数的初步认识”第一阶段的学习中，学生通常是根据部分与整体之间的关系认识分数的，即通过比率的倍数关系理解分数。比如，苏教版小学数学教材引导学生把一个蛋糕平均分成2份，知道每一份是它的12，这里的12反映的是1份与整体之间的关系。当然，分数也可以表示量，如一个蛋糕的12就是12个蛋糕。但是，这像绕口令一样的描述，并不能让三年级学生区分出其中的不同，反而会让他们愈发迷茫。因此，教材在这里并不突出分数意义中量的属性，而是通过平均分的份数与要表示的份数之间的关系，让学生初步理解分数。这样的安排在“分数的初步认识”第一阶段的学习中，不会对学生产生干扰，因为这一阶段学习的都是将一个物体（图形）平均分成若干份，其中的1份或几份既是这个物体（图形）的几分之一或几分之几，又是几分之一或几分之几个这个物体（圖形）。这时，学生不需要具体地区分所写的分数究竟是表示倍数关系的分率还是表示具体的量的数值，因为写出的分数是同一个分数。

但在“分数的初步认识”第二阶段的学习中，情况发生了变化：表示1份的分数与这1份中物体的个数不相等了。比如，苏教版小学数学教材引导学生把一盘（6个）桃平均分成2份，知道每一份是这盘桃的12，但学生同时也知道每一份有3个桃。这样，观察同样的对象就有了不同的视角，会得到不同的结果：（1）整数视角，即6÷2=3（个）桃;（2）分数视角，即部分与整体之间关系的视角，也就是把一盘桃平均分成2份，每一份是这盘桃的12。正是同一对象的两种观察视角和观察结果，导致学生的认知冲突，进而导致上述用分数表示时的错误。具体来说，用24表示的原因在于：等分的份数是4份，1份中有2个。也就是说，观察1份时，整数视角在发生作用，看到了其中的2个。用28表示的原因在于：整体中有8个，1份中有2个。也就是说，观察整体与观察1份时，整数视角都在发生作用。可以看出，整数视角的干扰，让学生在用分数表示时，把平均分的份数与每份的个数、整体的个数纠缠在了一起，引发了错误。

那么，教师在教学中如何应对这样的错误呢？

从根本上说，就是不能只关注整体（单位“1”）和平均分的份数，同时也要关注整体的个数和每份的个数;进而，引导学生通过比较发现同一对象的两种表示方式，在比较的过程中达成认知平衡，即认识率与量的对应关系。

具体来说，可以设计表1，引导学生逐步填写、不断比较，并重点观察每份的个数与每份表示的分数，从而体会到虽然平均分后每份的个数是客观存在的，但是用分数表示时“论份不论个”，即不管有多少个桃，只要是1份，就是这盘桃的几分之一。

参考文献：

[1] 杨凯.数学教学要克服前摄抑制——《分数的意义》教学尝试与改进[J].教育研究与评论（课堂观察），2018（4）.