试论初中几何类比探究题型的教学策略

黄宜海

（广东省深圳市深圳中学初中部数学科组，广东深圳 518020）

引 言

“类比探究”指的是从某个或某几个对象本身的内容、方法、过程和结果出发进行相关类比和联想，将熟知的数学对象的特性迁移到另一个对象，从而获得某种特性的方法[1]。几何类比探究题就是建立在这种类比思想方法之上的题型。初中阶段的几何类比探究题型主要有图形变化引起的类比、图形变换引起的类比以及动点引起的类比三种。本文研究了初中几何类比探究题型的教学策略。

一、几何类比探究题的特征

初中数学类比探究题型具有主观性、拓展性和创新性等特点，其具体表现为以下几个主要特征：题目一般会有三问或多问；每问给出的条件、图形、结论等相识度较高，关联密切；题目给出的情况一般由特殊到一般，或由简单到复杂，逐步深入；题目解答的过程需要综合运用大量几何知识、几何模型、类比思想、逻辑推理、探究和创新精神等[2]。

类似于以下例题的问题即可判断为几何类比探究题型。

例1：如图1，在Rt △ABC中，∠B＝90°，BC＝2BA＝8，点D, E分别为CB和CA的中点，再把DE连接起来，将△CED绕点C按照顺时针方向对其进行旋转，其旋转的角度标记为角α（见图2）。问：

（3）当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，请直接写出线段BD的长。

图1

图2

二、初中生解答类比探究题的具体困难

（一）基础知识缺乏灵活应用，数学逻辑间类比受阻

类比探究题型有填空、计算、证明等多种形式。有些学生在解答这类题型时，由于基础知识不牢固，不能结合已知条件，将几何模型的平移、对称、旋转等知识与内在逻辑结合起来思考，不能厘清其中的关系而无法解答问题[3]。例如，有的学生不能区别菱形与平行四边形的差异；已知图形的边和面积，无法求高等，这些都是因为其未能正确理解、掌握和灵活应用相关概念、定理，逻辑思维能力欠缺。

（二）类比不当导致解题策略选择失误

在集合图形的计算或推理过程中的类比不当，或者不能恰到好处地类比，导致解题错误是学生在初中数学学习阶段常见的困难。类比不当产生的问题关键在于学生依据题目所提供的条件或图形，在自己的知识结构中找不到与之相对应的解题方法，或者建立不起来相对应的数学模型，出现类比障碍。具体来说，一种情况是学生不能用上一个问题的方法通过类比的手段来解决下一个问题；另一种情况是学生将两个问题结合起来分析，找不出其中的类比依据，形成类比不当，导致解题策略的选择失误，解不出题或解题错误。

（三）探究不当导致操作困难

类比探究题一般是综合性的压轴题，考查的知识面比较广。在几何图形的计算或推理过程中，学生需要使用数学语言、推理和证明等探究性的知识、方法和手段[4]。初中生如果缺失这些主动研究数学的探究精神，未掌握一定的方法，无法建立科学合理的类比探究过程、操作不当，就会在运作阶段遇到困难。此外，还有一些心理方面的因素也极容易造成学生操作不当，从而产生困难和错误。

三、初中数学类比探究题的教学策略

（一）把握好数学基础知识和解题技能

对于数学类比探究题型来说，每一个解答步骤都比较关键，学生需要依据解题逻辑逐步完成。而这些小步骤是由具体的数学基础知识组成的。因此，在教学中，教师不仅要强调定义、定理、概念等基础知识的重要性，帮助学生理解透彻，还要在传授几何知识的过程中就其特性归纳、分类常见的题型，有意识地训练学生的逻辑推理能力和数形结合的思维能力。

以上文中例题1（见图1）的解答为例，试题的考点为三角形、旋转相似和比例线段。这就需要学生掌握上述几个几何图形的基本知识、性质和变化特点。该题的综合性极强，充分展现了如何运用类比探究方法解决问题的特点。问题（1）解决后，问题（2）即可随之顺利解出。而问题（3）是利用类比探究法解决问题，并得到一般性的解题结论，值得总结和作为将来的解题参考。这一类类比探究题型解题的一般方法可以归结为以下几个步骤：首先，读题，结合题干和分支特殊条件，解决第一个问题；其次，利用第一个问题的解题方法类比解决下一问题；最后，结合分析、类比、结构、图形等性质，找出后面各小题的异同，依据不变的特性，探索后面较为复杂题目的解题方法。

（二）提升数学题目的阅读和理解力

培养细心读题和认真思考的习惯，是正确解答数学题的基础。学生如果没有读懂题目，仅凭经验答题；或者没弄明白试题中的条件和出题意图，就很难快速找到解题方法，正确解出相应题目[5]。要想认真阅读数学题目，学生就要将题目中的条件、图像、辅助线、结论（问题）等了解清楚，然后回忆相关的数学知识、技能和模型，探寻类比方法，理解试题的意图，找到解题的突破口。这些阅读和理解能力，需要学生平时的日积月累，通过熟记和引申，提高数学核心素养。同时，答题过程要符合数学逻辑与思维，不能任由自己的意愿乱写。学生要尽量做好难题、错题的笔记，并有意识地与原有经验进行类比，把自己的思路清晰、整洁地书写出来，从而使答题过程完整且整洁。

（三）培养类比的数学思想方法，分享解题技巧

培养类比的数学思想方法，可以帮助学生将所学的知识和技能有效结合，并转化成各种能力，也有利于学生加强记忆，便于今后的学习[6]。当前的初中数学教材中还有一部分概念、公式和定理没有给出具体的推理。因此，教师要在实际教学中让学生参与知识的推理、探索和结果的呈现，并在这一过程中推动师生、生生之间的交流与沟通，分享解题技巧，提高学生自主学习和思考的能力。同时，教师还要结合实际生活中的问题，分析类比探究方法在其中的应用范围，促进学生数学素质的提升。

结 语

几何类比探究题是初中数学中极为常见且重要的一类题。教师要引导初中生掌握一定的解题技巧和方法，学会从简单到复杂、从具体到抽象的领悟中逐渐积累经验，在面对陌生问题时能够有目的、合理化地进行“类比”和大胆“猜想”，深入分析和处理好这类探究性问题，并在特定的知识背景和情境下尝试创新，逐渐形成针对实际情况处理并解决问题的科学的思路和方法。