双星编队构形保持抗干扰容错控制

陈高杰 ，常 琳 ，杨秀彬 ，杨春雷 ，黎艳博

（1. 中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春130033；2. 中国科学院大学，北京 100049；3. 中国科学院天基动态快速光学成像技术重点实验室，吉林长春130033）

1 引 言

卫星编队凭借其可靠性高、灵活性强、适应性广的特点，拥有极高的应用价值，已经被广泛应用于科学实验、近地观测、深空探测、干涉测量等诸多领域［1-4］。卫星工作于真空失重状态，长期受到强辐射及高低温等恶劣空间环境的影响，并且卫星自身元器件工艺水平、老化磨损均会导致执行器发生故障。若卫星发射入轨后发生故障，一般难以修复，需要使用星上冗余元器件保证卫星继续工作。但受到卫星研发和发射成本的限制，难以在卫星系统上安装过多元器件，另外，卫星运行过程中，受到地球质量分布不均和非球形、日月三体引力、大气阻力、太阳光压等影响，导致编队构形发生变化，故需设计合理的故障估计以及容错控制策略，进行构形保持控制，以提高卫星编队系统的可靠性和安全性［5］。

针对故障估计与容错控制，众多学者进行了大量研究，其中一些方法已广泛应用于卫星编队轨道控制系统［6-8］、航天器姿态控制系统［9-11］、无人机飞行控制系统［12-13］及电力电子控制系统［14-15］等领域。文献［6］为解决碰撞避免、障碍规避的问题，设计了结合势函数制导方法的滑模协同控制策略，同时在所提控制算法中引入自适应律，提高了执行器故障容错控制、参数自适应能力，使航天器编队在进行目标跟踪和构形保持的同时，防止编队航天器间碰撞并具备躲避障碍物的能力。文献［16］基于H∞最优理论和矩阵奇异值分解技术，使用分散状态反馈方法，对卫星轨道保持系统进行容错控制研究，提出了允许执行器故障和传感器故障的两种分散控制方法，在保持故障系统渐近稳定的同时，使控制性能在H∞范数意义下达到次优。文献［17］设计了非线性增广观测器，此观测器考虑多种故障形式，而不局限于常值或缓变故障，进一步针对一般情况下的系统，设计了鲁棒增广观测器，可以进行更精确的故障估计，且适用于多个故障并发情况。文献［18］针对推进器堵塞或关闭等故障情况，提出基于H∞/H-的滤波器的故障估计方案，仿真表明，该滤波器在航天器存在测量噪声、测量延迟、传感器失调的情况下，能够进行故障的精确诊断，并隔离故障。文献［19］通过故障辨识模块和辅助系统模块进行故障估计，通过反步容错控制方法，使编队存在拓扑故障、舵面故障、执行器故障和不确定性的情况下，依然可以使编队稳定飞行。另外，编队卫星长期在轨运行，可能发生故障的同时，亦会受到多种内部或外部摄动干扰的作用，这些干扰均会严重影响编队卫星正常轨道运动，导致卫星编队实际构形偏离预设构形［20］。然而，少有文献综合考虑包括模型误差、卫星故障以及外部干扰等在内的安全问题，并且当此类飞行要求与设计的构形保持控制目标相结合时，将进一步增加控制器的设计难度［6，17］。

故本文在对卫星编队系统进行故障估计的基础上，考虑未知扰动及系统模型参数不确定性，对卫星编队进行抗干扰容错控制研究。首先设计可以综合估计系统模型误差、外部干扰以及执行器故障的观测器系统，对系统未知信息进行估计，另外在观测器设计时，加入残差微分模块，提高估计准确度。然后基于相关估计信息，引入H∞方法，减弱不可建模干扰部分对系统的影响，设计闭环反馈抗干扰容错LQR 控制策略。最后仿真结果表明，所提基于观测器的控制策略具有更精确的控制性能。

2 卫星编队动力学模型

2.1 坐标系定义

2.1.1 地心赤道坐标系（惯性坐标系）Oe-XiYiZi

坐标系原点Oe为地心，以赤道面作为基准面，Xi轴指向春分点，Yi轴在轨道面内由Xi轴向东转90°，Zi轴垂直赤道面指向北极。

2.1.2 参考星质心轨道坐标系（相对运动坐标系）O-XoYoZo

坐标原点O位于参考星质心，Xo轴与参考星地心矢量rm重合，Yo轴在参考星轨道面内垂直于Xo轴并以指向参考星运动方向为正向，Zo轴和Xo，Yo轴构成右手系。坐标系示意图见图1。

图1 坐标系示意图Fig.1 Coordinate system schematic diagram

2.2 相对运动动力学模型

双星编队由参考星和跟随星组成，两星沿飞行方向相隔一段距离，以设计构形运行于同一太阳同步轨道上。假设卫星运动轨道为圆轨道，将两颗卫星均视为质点，采用经典C-W 方程相对运动动力学模型［21］表示：

其中：x，y，z分别为两星相对距离沿X轴，Y轴，Z轴分量，n为参考星轨道角速率。

考虑对编队卫星进行控制的情况，相对运动方程组（1）可转化为方程组（2）：

其中，μx，μy，μz分别为控制力在轨道坐标系下的 3个坐标轴分量。

由式（2）可得系统状态空间方程：

其中：状态变量χT(t)=[x y z x˙y˙z˙]T表示三轴相对位置和速度，输出变量ζT(t)=[x y z]T表示传感器测量值；A，B，C矩阵取：

此外，考虑参数摄动、外部扰动、执行器故障等模型不确定因素，则双星编队控制系统可描述为：

其中：f(t)表示执行器故障；ω(t)表示外部扰动变量，如空间干扰力；Φ(t)表示因参数摄动、外部扰动等引起的等效未知干扰向量；ΔA表示由地球质量分布不均和非球形、日月三体引力、大气阻力、太阳光压等参数不确定导致的摄动矩阵，且满足ΔAχ(t)=Dd1(t)+Δ，其中D表示具有参数摄动结构信息的已知矩阵，d1(t)和Δ 分别表示具有参数摄动能量信息的可建模干扰与不可建模干扰。

基于上述模型，给出以下假设：

假设1.故障范数有界且可微，满足‖f(t) ‖≤η1，其中η1与η2为有界正实数。

假设2. 外部干扰具有如下形式：

其中：Ddd2(t)= Δ+ω(t)，Dd表示干扰分布矩阵，d2(t)表示不可建模干扰，如随机噪声、模型不确定性。假设d2(t)是范数有界的，同时，可建模干扰d1(t)可等效为以下外系统的输出：

其中：ρ(t)表示外系统的状态，HA和HC是具有适当维数的已知矩阵。

假设3. 系统（4）能控且能观。

系统（4）可转化为如式（7）的形式：

3 观测器设计

本节主要给出自适应观测器的设计方法及存在条件，进行稳定性与鲁棒性分析，同时给出其证明过程，以及求解观测器设计参数的LMI（线性矩阵不等式）算法。

3.1 自适应观测器设计

基于系统（7），设计如式（8）所示的自适应观测器：

其中：L为观测器增益，F1与F2为故障估计权重，G1与G2为干扰估计权重，以上均为待设计参数变量表示估计状态表示估计输出，表示估计故障表示外系统（6）估计状态。

定义如下变量：

其中：eχ(t)表示状态估计误差，eζ(t)表示输出残差，ef(t)表示故障估计误差，eρ(t)表示外系统（6）状态估计误差，ed(t)表示干扰估计误差。

由系统（7）和观测器系统（8），可以得到动态误差系统：

将系统（10）增广为如式（11）的形式：

对于任何F2C和G2C，均为非奇异矩阵，则系统（11）可转化为：

对系统进行Laplace 变换，可以得到系统动态误差：表示估计干扰

注1.对系统（8）中的自适应律进行积分，有：

其中：ts为系统未发生故障时的某一时刻，在不考虑外扰等条件下有eχ(ts)=0。此时故障估计器与干扰估计器均包含比例与积分两个模块，相较于常规的自适应算法，增加的比例单元，一方面增加了算法设计的自由度，另一方面也能有效提高故障与干扰估计的快速性和精度，这在后文仿真对比实验中得到验证。

首先给出本文要用到的一些引理。

引理1. 存在对称正定矩阵P使得对满足βTβ≤υTCTCυ的所有υ≠ 0 和β，有：

成立当且仅当存在标量τ，使得：

其中：符号A S表示A+AT，*表示该矩阵的对称元素。

引理2. 给定矩阵A，A的全部特征值均位于圆形稳定域C(c，r)，其中c与r分别为圆形稳定域的圆心与半径，当且仅当存在正定对称矩阵P，使得：

3.2 稳定性与鲁棒性分析

为设计观测器增益矩阵L，权重矩阵F1，F2，G1，G2使所提鲁棒自适应观测器能够快速精确地系统模型误差、外部干扰以及执行器故障，给出如下定理。

定理1. 考虑系统（7）、观测器系统（8），如果存在观测器增益L，故障估计权重F1与F2，干扰估计权重G1与G2，常数α＞ 0，ε＞ 0，当且仅当存在对称正定矩阵P，矩阵Y，使得：

证明：由于是非奇异的，对于对称正定矩阵P而言，易知矩阵也一定是对称正定的。可选取Lyapunov 函数为：

显然，V(t)是正定的。首先，讨论当=0时系统（12）的稳定性问题。求式（20）对时间的导数，有：

当式（22）满足时，系统（12）是渐近稳定的，状态估计误差eχ(t)，故障估计误差ef(t)和干扰估计误差ed(t)渐近收敛于0。

参考H∞性能指标，有：

则在零初始条件下，有：

能够保证式（27）的成立：

且存在T＞ 0，对于任意t＞t0+T，有：

这表示动态误差系统是渐近稳定的，且系统状态、故障、干扰的估计误差eˉT(t)最终一致有界。

由 Schur 补引理，式（25）可转化为如式（29）等价形式：

其中条件（29）的满足隐式地保证了条件（22）也成立。

给定圆稳定域C(c，r)，由引理 2，存在对称正定矩阵有：

对式做合同变换，得到：

得证。

4 抗干扰容错反馈控制策略

针对卫星编队构形保持控制系统，常用的控制方法主要有：LQR（Linear Quadratic Regulator）最优控制、滑模变结构控制、李雅普诺夫控制等方法。其中，LQR 最优控制形式简洁，方便设计而且物理意义明确，因此本文采用LQR 方法进行卫星编队构形保持容错控制，并结合故障估计、干扰补偿项来减小控制误差，提高控制精确度，控制系统结构图见图2。

二次型指标最优性能指标函数如式（32）所示：

图2 闭环控制框图Fig.2 Close-loop of satellite formation control system

其中：Q为半正定对称矩阵，表示状态x权重，影响控制过程中响应速度，R为对称正定矩阵，对控制能力的要求，决定控制过程中能量消耗，u0为控制输入。

根据最优控制理论，反馈控制律是：

其中K为最优反馈矩阵，求解Riccati 微分方程：

得最优矩阵反馈矩阵K：

其中，P为Riccati 微分方程的唯一解。

设计如下基于观测器的动态输出前馈补偿容错抗干扰控制器：

其中，Kd由式（37）给定：

满足BKd=D，其中Z是适当维数的任意矩阵，B+表示矩阵的Moor-Penrose 逆矩阵。

5 仿真实验分析

为了验证本文所提方法在双星编队构形保持控制的有效性，本节进行仿真分析。为便于分析，假设参考星、跟随运行于圆轨道，进行协同遥感拼接成像任务，相较于单星遥感成像方式，双星拼接宽幅成像方式使用多颗卫星对相邻区域进行观测，使用图像拼接技术，可以获得超宽幅图像。使用LQR 控制器进行精确相对位置控制，使双星编队从初始构形恢复至期望构形。

极点配置取O(-30，29)，由定理 1 得到观测器设计参数：观测器增益矩阵L取：

故障估计权重矩阵F1与F2取：

干扰估计权重矩阵G1与G2取：

假设卫星编队系统在轨飞行过程中，受到的外部干扰d1(t)、d2(t)影响，其中，d1(t)为可建模干扰，d2(t)∈ [-1，1]，表示在 0～20 s 区间内的随机干扰。假设干扰的分布矩阵为：

外部干扰系统（6）参数矩阵：

执行器故障设计如下，同时考虑了无故障（x轴）、间歇性故障（y轴）、时变故障（z轴）三种情况：

其他相关参数选取见表1。

表1 控制器仿真参数设置Tab.1 Controller simulation parameters setting

根据上述条件，仿真结果如图3～图5。

图3 x 轴控制效果Fig.3 x-axis control effect

图4 y 轴控制效果Fig.4 y-axis control effect

图5 z 轴控制效果Fig.5 z-axis control effect

图3～图5 表示控制效果，从图中可以看出，在存在系统模型误差、外部干扰以及执行器故障的等复杂太空环境下，使用本文提出的基于观测器的容错控制方法，可以快速使编队恢复预设构形，并在较短的时间内使系统达到稳态，且构形恢复过程较为平稳，震荡较小且几乎没有波动。

图6 x 轴干扰估计Fig.6 x-axis disturbance estimation

图7 y 轴干扰估计Fig.7 y-axis disturbance estimation

图8 z 轴干扰估计Fig.8 z-axis disturbance estimation

图6～图8 表示干扰估计情况，从图中可以看出，本文设计的干扰观测器可以对外部摄动干扰进行估计。

图9 表示状态估计情况，从图中可以看出，状态跟踪误差保持在较小范围内，能够实现对状态的跟踪。

图9 状态估计误差Fig.9 State estimation error

图10 y 轴间歇故障估计情况Fig.10 y-axis intermittent fault estimation

分别在x轴、y轴、z轴添加无故障模块、间歇性故障模块、时变故障模块，图10～图11 分别表示故障观测器对故障的估计情况，图中表明，文献［23］和本文提出的观测器均可以对故障进行估计，但相对文献［23］提出的观测器，本文提出的观测器对故障估计更为精确，性能有明显提高。

图11 z 轴时变故障估计情况Fig.11 z-axis time varying fault estimation

图12 表示系统存在模型误差、外部干扰以及执行器故障的情况下，以y轴控制效果为例，分别使用文献［22］提出方法、文献［23］提出方法以及本文提出方法，结合LQR 控制器，并加入前馈补偿项，对系统进行反馈容错控制，仿真结果表现，在使用文献［22］所提方法，即无干扰观测器时，系统具有十分明显的波动，难以达到稳态，说明H∞技术无法抑制全部干扰；使用干扰观测器情况下，控制效果得到改善，相比文献［23］所提方法，由于本文提出的观测器对模型误差、故障和干扰进行估计时，引入残差微分模块，并在容错控制时加入前馈补偿项，超调量明显降低，控制器精度提高了49.93%，能够满足双星编队精确构形保持控制目标。

图12 控制效果对比Fig.12 Control effect comparison

6 结 论

本文对双星编队执行器故障估计的同时，考虑空间环境干扰的复杂性及轨道运动建模误差的影响，设计了一种可以综合估计系统模型误差、外部干扰以及执行器故障的增广观测器系统。另外，引入了残差微分模块，提高估计速度和准确度，采用了H∞方法，减小干扰中不可建模部分对控制系统的影响。最后，利用观测器对系统未知状态的估计信息，设计闭环反馈抗干扰容错LQR 控制律，并使用Lyapunov 稳定性理论证明了控制系统的稳定性。仿真结果表明，本文方法的控制精度提高了49.93%，证明了所提方法的有效性与优越性。