微分方程数值解之欧拉法在MATLAB下的应用

梁春叶 王桥明 孙远通 叶晓艳 曾宝莹

摘 要：微分方程在实际应用中十分广泛，涉及领域众多，但对于微分方程的数值解的计算仍然有很大挑战。本文着重对微分方程数值解求解的常用的一类基础方法——欧拉法进行在MAILAB的应用下的一个简单介绍。

关键词：数值解;欧拉法;MATLAB

1 概述

微分方程在实际的应用中非常广泛，目前存在很多微分方程满足解的存在定理的条件[1]，但方程的解不能表达成为初等函数的形式，对于这类微分方程的解的讨论除了稳定性、定性方法之外，最常用是对其进行数值求解，利用数值解来研究微分方程的意义与用途。通过数值解的图形轨迹曲线的探究对微分方程具有重大意义。本文着重简单介绍微分方程数值解在MAILAB的基本应用。

2 数值解相关理论

2.1 数值解的定义

微分方程数值解是求初值解的问题

2.3 改进的欧拉方法

若微分方程的解取积分形式：

通过观察运行结果可知，在0，6区间内，当h=0.1时，欧拉算法所得数值解与精确解所相差的平均值为13.4206;在6，10区间内，相同步长时，相差的平均值为851.22603。因此欧拉算法在部分区间可以近似的达到精确解，但在部分区间的求解与实解相差过大。

3 总结

通过以上两个例子可以直观欧拉算法的便捷，该算法能在有限的条件之下算出微分方程的数值解并且使其与精确解相差无几。但欧拉算法的精确程度很大一部分取决于区间的大小和计算步长的长短，当区间长度过大时，前部分区间的近似效果较好，后部分的区间计算结果偏差较大，因此选择计算区间需要进行一定的取舍。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006-07.

[2]朱思铭.常微分方程学习辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2009-01.

[3]薛定宇.MATLAB微分方程求解[M].北京：清華大学出版社，2020-01.

[4]谢舒，陈俊吉，陆海华.常微分方程初值问题的数值解法中三种算法的比较[J].数学大世界（下旬），2019（10）：6-8.