两有趣数学问题的优解探析

江西省萍乡中学 (337000) 贺 江

有这样两个有趣的数学问题：

问题1一个合唱团共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员.如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案.

方案一：逐一通知，需要15分钟才能通知到每一个队员.

方案二：把学生分成两组，一组8人，一组7人，两分钟后组长通知组员，最快8分钟才能通知到每一名队员.

方案三：把学生分成三组，一组6人，二组5人，三组4人，最快7分钟才能通知到每一名队员.

方案四：把学生分成四组，一组4人，二组4人，三组4人，四组3人，最快5分钟才能通知到每一名队员.

思考：是不是组分得越多，用的时间越少？(因为每组的组长也需要通知)怎么分组才能使得所需时间最少呢？

分析:在上面的方法中，存在老师或者学生在有空档的时间里面没有打电话给别人.最优方案是：所有得到通知的师生，在下一分钟都通知给另外的不知情的学生，才能使总时间最短.此时，每一分钟后知情的人数(包括老师)会增加一倍.

解析：老师第一分钟打给任意一个学生，第二分钟老师和学生打给另外的学生，此时有4人(包括老师)知道通知了，第三分钟4人均打给不知情的4人，共有8人(含老师)得到通知了，第四分钟8人均打电话给剩下不知情的8人，到4分钟后15人全部通知到位.

老师把合唱团15名同学编号，第一分钟老师通知1号；第二分钟老师通知3号，1号通知2号；第三分钟，老师通知7号，1号通知5号，2呈通知4号，3号通知6号；第4分钟，4号通知8号，2号通知9号，5号通知10号，1号通知11号，6号通知12号，3号通知13号，7号通知14号，老师通知15号，全部通知完毕.

推广1一个合唱团共有m人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，n分钟至多可以通知2n-1个人.如下表：

需要通知的人数至少需要打电话的次数112～324～738～15416～315…………2n-1～2n-1n

变式1一个合唱团是50人，如果按问题1的通知方式，最少花多长时间就能通知到每个人？

解析：因25=32,26-1=63,32<50<63，所以最少花6分钟就可以通知到每个人.

问题2.1有3瓶钙片，其中1瓶少了粒，你能用天平把它找出来吗？

分析:记3瓶钙片为1，2，3，先选1，2称，如果平衡，3是次品；如果不平衡，1，2中轻的是次品，所以3瓶钙片只需一次就能把次品找出来.

问题2.28个零件里有1个是次品(次品重一些)，假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？

解析:用1，2，3，4，5，6，7，8表示零件.如果分成两组，每组4个，一次后就能知道次品在哪4个零件里面，4个零件里面找次品，不管怎么称，至少需要两次，才能确保找到次品，即需要三次才能找出；如果分成三组，4，2，2，也需要3次才能找出 ；如果分成三组，分为(3，3，2)，则至少需要2次才能找出.所以本问题中我们发现如果3件产品(含1件次品)至少需要1次测出次品；9件产品(含一件次品)则分组成3组，记为(3，3，3)，只需2次可以找出次品；27件产品(含一件次品)，只需分组成(9，9，9)，只需3次可以找出次品……

推广2有m件产品，里面有1件次品，用天平找次品，n次检测，至多可以找出3n件产品中的次品，即3n-1+1≤m≤3n时，把m件产品分成3组(每组不超过3n-1件)，其中至少有两组的产品数目一样多，就可以至少需要n次找出次品.如下表：

要辨别的物品数目保证能找出次品至少需要的次数2～314～9210～27328～81482～2435…………3n-1+1～3nn

变式2有70个零件，其中有1个次品(质量轻一些)，则用天平进行称量，至少称多少次才能保证找出这个次品？

解析：因为33+1=28,34=81,28<70<81，所以至少称4次就可以保证找出这个次品.

变式3把上述问题中70改成23，则至少需要n次才能保证找出这个次品，怎么分组？

解析：因为32+1=10,33+1=28,10<23<28，所以至少称3次就可以保证找出这个次品.并且可用分组法分成(9，9，5)，(8，8，7)，(7，7，9)等方案.

推广3有m个零件，其中有1个次品，若3n-1+1≤m≤3n，则至少需n次才能保证找出这个次品，且每一次分组应该保证：①分成三组，每组的数字不大于3n-1；②至少有两组是相同的；③分组方法可能不唯一.