基于EWT-ARMA的短期电离层TEC预测模型

鲁铁定 黄佳伟 鲁春阳 贺小星 钱文龙

1 东华理工大学测绘工程学院，南昌市广兰大道418号，330013 2 河南城建学院测绘与城市空间信息学院，河南省平顶山市龙翔大道，467036 3 华东交通大学土木建筑学院，南昌市双港东大街808号，330013

学者们对TEC预测模型进行了大量研究[1-9]。常用的短期预测方法主要包括经典数学统计法[1-2]和人工智能法[4-6]。但由于电离层复杂的时空变化特性[7]，经典数学统计方法难以得到理想的预测效果[8]。而人工智能法受主观因素的影响，缺乏客观理论依据，稳定性较差[4]。

灰色预测模型在短期预测中运用较广，但无法精确地预测具有非线性特征的TEC数据[6]。人工神经网络在电离层非线性预测中具有较高的精度，但其预测参数的选取较为复杂，网络算法优化较为困难[4]。ARMA预测模型方法较为简单，但其在极值点附近的预测精度较差[3]。因单一模型难以满足TEC预测所需要的精度要求，本文基于ARMA模型，结合经验小波变换(empirical wavelet transform，EWT)，提出一种短期组合预测模型EWT-ARMA。

1 模型原理

1.1 EWT方法

EWT是一种新型的自适应信号处理方法[10]，其核心思想是根据信号划分的结果选择合适的滤波器组，提取出具有傅里叶频谱特性的调幅-调频(amplitude modulated frequency modulated，AM-FM)组件。首先对信号频谱进行自适应分割[11]，然后对分割的信号频谱特征构造合适的正交小波滤波器组，提取出AM-FM组件，最后利用Hilbert变换对不同的AM-FM组件进行处理，获取相应的瞬时频率和瞬时幅值[12]。具体过程可参考文献[10]。

最终，重构的原始信号f(t)表达式为：

(1)

1.2 EWT-ARMA模型的电离层TEC预报方法

针对TEC含量的随机特性，在ARMA预测模型的基础上，结合EWT方法，组成电离层短期预测模型。首先对电离层数据进行EWT分解，得到具有不同特征的若干分量，然后对各分量进行ARMA模型预测，预测结果进行重构得到最终的电离层TEC预测值。具体步骤如下[7]。

1)利用EWT方法将TEC数据时间序列x(t)进行分解，得到N+1个模态分量，其中包含1个经验尺度分量和N个经验小波分量。

2)对N+1个模态分量进行ARMA(p,q)模型预测。设xt(t=1,2,3,…)为电离层TEC值组成的时间序列数据，对于任意的t，满足：

xt-φ1xt-1-φ2xt-2-…-φpxt-p=

εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

(2)

式中，xt由1个经验尺度分量f0(t)和N个经验小波分量fk(t)组成，即xt={fk(t),k=0,1,2,…,N}，ε={εt,t=0,±1,…}是均值为0、方差为δ2的白噪声序列。xt表示滑动平均序列ARMA(p,q)过程，其中p为移动模型(AR)的阶数，q为滑动模型(MA)的阶数，当p=0时，它是MA(q)模型，当q=0时，它是AR(p)模型。

引进后移算子B，式(2)可表达为：

伴随着全球气候变暖和《联合国气候变化框架公约》的制定，能源消耗与科学发展等问题越来越受到国际社会的关注，“低碳经济”“低碳发展”等新型理念也愈发得到人们的认同。长久以来，如何实现经济与环境的协调发展一直都是学术界关注的热点，且中国现阶段处在经济转型发展的关键时期，正面临着前所未有的能源和碳排放的双重压力。作为一种剔除了碳排放环境成本之后的全要素生产率改进，低碳全要素生产率将能源消耗和碳排放纳入到经济增长的核算框架当中，因而对其进行科学准确地测算必将有助于经济发展质量与综合效益的客观评价，且对于中国工业的低碳转型发展意义重大。

Bxt=xt-1,Bkxt=xt-k

(3)

记算子多项式为：

φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp

θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

(4)

则式(3)可表示为：

φ(B)xt=θ(B)εt

(5)

ARMA属于线性模型，根据电离层TEC时间序列数据，采用AIC定阶准则选定p、q，使其满足：

(6)

3)根据步骤2)，对经验尺度分量和经验小波分量进行预测，重构预测结果，得到最终的TEC预测值。

2 实例计算与分析

本文选用IGS提供的2 h时间分辨率的电离层格网点上的数据对组合模型进行实验分析。参考文献[7]，提取2018年年积日1～30、101～130、201～230、301～330等4个时间段内的低纬(5°N,120°E)、中纬(45°N,120°E)和(45°N,60°W)及高纬(85°N,120°E)4个不同地理位置共16组电离层数据进行分析。分别利用前25 d的TEC真实值预测后5 d的TEC值，后5 d的TEC真实值作为检测值与预测值进行对比，验证模型的预测效果。利用EWT方法对16组TEC真实数据进行模态分解，每组数据得到5～6个不同的经验小波分量和1个经验尺度分量，然后对各分量进行ARMA模型建模、预测，得到各分量的预测值，最后将各分量的预测值重构得到最终预测结果，并与真实值进行对比。为了验证本文组合模型预测结果的优劣性，采用均方根误差RMSE和平均相对精度P作为评定模型预测结果的指标，并与ARMA模型的预测结果进行对比：

(7)

(8)

选择2018年年积日1～30(45°N,60°W)的1组数据进行具体分析。首先提取该组电离层时间序列数据，利用EWT分解前25 d的TEC数据(图1)。可以看出，TEC原始数据被分解成了1个经验尺度分量f0和5个经验小波分量f1～f5，分解的分量呈现出从低频到高频变化的特点，且原有数据的能量分解后主要集中在经验尺度分量f0和经验小波分量f1、f2。对各分量25 d的数据进行ARMA建模，预测后5 d的数据，并与真实值对比(图2)。可以看出，经验尺度分量f0和经验小波分量f1、f2预测效果较好，预测值与真实值偏差很小，分量f3～f5预测效果较差，但其所占能量比重小，不会对最终预测效果产生较大影响。将所有分量的预测值重构得到最终的TEC预测值。图3为组合模型和ARMA模型的预测值与真实值的对比图。可以看出，采用ARMA模型进行预测时，在极值点附近偏差较大，达到2～3 TECu，而本文组合模型预测值与真实值趋势符合较好，在极值点附近的偏差也减小到1 TECu左右。

图1 年积日1～25(45°N，60°W)原始信号和信号分解图Fig.1 Original signal and signal exploded view of doy 1～25(45°N, 60°W)

图2 年积日26～30(45°N，60°W)各分量预测值与真实值的对比图Fig.2 Comparison between predicted TEC and true TEC of each component of doy 26～30(45°N,60°W)

图3 2种模型在年积日26～30(45°N，60°W)的TEC预测值对比图Fig.3 Comparison of TEC predicted values of two models of doy 26 ～ 30(45°N, 60°W)

为了从整体上检验组合模型的预测效果，引进残差绝对值Δ进行说明，其表达式为：

(9)

图4 2种模型在年积日26～30(45°N，60°W)的TEC预报残差绝对值对比图Fig.4 Comparison of TEC residual absolute values of prediction of two models of doy 26 ～ 30(45°N, 60°W)

图4为2种模型在2018年年积日26～30的TEC预报残差绝对值对比图。可以看出，ARMA模型预测的残差绝对值在1.5 TECu以内比重较大，部分超过2 TECu,而组合模型预测的残差绝对值大部分在1 TECu以内，极少部分超过1 TECu。从整体来看，组合模型比ARMA模型预测效果更好。

表1为2018年年积日26～30的4个不同地理位置的预报残差绝对值百分比统计表。表中显示，ETW-ARMA组合模型的残差绝对值均值小于1 TECu的占比为81.8%，相比ARMA模型提高了20.1%。ETW-ARMA组合模型的残差绝对值均值大于3 TECu的占比为0.6%，相比ARMA模型降低了5.2%。由此表明，本文组合模型的整体预测效果更优。同时，2种模型的残差绝对值均主要集中在2 TECu以内，符合IGS给出的3 TECu的精度范围[3]。

以2018年年积日201～230的TEC数据为例进行分析，表2给出了同一时间段5 d内不同经纬度的均方根误差和平均相对精度的实验结果。从表中可以看出，同一时段相同位置处，组合模型的预测效果普遍比ARMA模型好；同一时段相同经度下，纬度越高，2种模型预测的平均相对精度越大，均方根误差越小；同一时段相同纬度下，不同经度间预测的平均相对精度和均方根误差没有明显变化。2018年为太阳活动低年，为验证EWT-ARMA组合模型在太阳活动高年的预测效果，用相同方法对2014年(太阳活动高年)的数据进行实验。表3为2种模型在2014年年积日226～230的预测误差对比表。可以看出，2种模型在太阳活动高年的预测效果与太阳活动低年相同，组合模型的预测效果普遍优于ARMA模型的预测效果。

表4给出了2种模型在太阳活动低年和太阳活动高年的4个时段5 d内的整体预测误差情况对比。结果显示，4个不同时段中，EWT-ARMA组合模型的预测效果均比单一ARMA模型更好。在太阳活动低年和太阳活动高年，ARMA模型预测的平均相对精度分别为83.0%和86.3%，组合模型的则分别为87.8%和89.1%；ARMA模型预测的均方根误差分别为1.61和3.64，组合模型预测的则分别为1.22和2.93，证明组合模型比ARMA模型更优。对比太阳活动低年，2种模型在太阳活动高年预测时相对精度更高、均方根误差更大。

在表4的基础上，给出4个时段前1 d内整体的预测误差对比(表5)。结果表明，在前1 d内，太阳活动低年和太阳活动高年EWT-ARMA组合模型的平均相对精度比ARMA单一模型分别提高了7%和6.1%，均方根误差则分别降低了0.82和1.71。对比组合模型5 d内的平均相对精度87.8%和89.1%，前1 d内的平均相对精度为92.1%和94.5%，表明组合模型在前1 d内的整体预测效果更好。

表1 4个不同地理位置预报残差绝对值百分比统计

表2 2018年年积日226～230不同模型的预测误差对比

表3 2014年年积日226～230不同模型的预测误差对比

3 结 语

针对电离层预测模型中ARMA模型预测精度较低、极值点附近预测效果较差的问题，本文提出利用EWT-ARMA组合模型对电离层TEC数据进行预测分析，并与ARMA模型预测效果进行比较。对太阳活动低年和太阳活动高年的各16组数据进行实验，得出以下结论。

表4 4个时段5 d内的预测误差对比

表5 4个时段前1 d内的预测误差对比

1)利用ETW方法对电离层数据进行分解，对分解的各分量进行ARMA预测，预测结果重构得到最终的TEC值。与ARMA预测方法对比表明，组合模型整体预测精度更高。

2)太阳活动低年和太阳活动高年的实验结果表明，相较于ARMA模型的平均相对精度，本文组合模型5 d内的平均相对精度分别提高了4.8%和2.8%，前1 d内组合模型的平均相对精度分别提高了7%和6.1%，表明本文预测方法效果更好，在前1 d内的预测精度更优。

本文将EWT方法应用到非线性、非平稳的电离层信号研究当中，给类似特性的信号提供了一种新的研究思路。但ARMA时间序列预测模型本身存在一定的局限性，结合经验小波变换的同时也增加了预测的工作量。此外，电离层复杂的时空变化特性也给预测带来一定的影响，建立一个更加完善的电离层预测模型还有待进一步的研究。

致谢：感谢IGS中心提供电离层TEC格网数据。