用COMSOL实现圆波导中电磁波的可视化

卫 延， 郑晶晶， 申 艳

(北京交通大学 1.全光网与现代通信网教育部重点实验室，2.电子信息工程学院，北京100044)

0 引言

金属圆波导具有低损耗，双极化等特点，且加工方便，常用作天线馈线和微波谐振腔[1]。圆波导是常见的传输TE波和TM波的导波装置，根据电磁场理论，圆波导中电磁场的各种分布形态，即模式场，具有解析解，但是各模式电磁场的空间分布复杂，从解析解中不能看出电磁场分布的宏观概况与细节变化。为直观描述圆波导中电磁场的性质，对其中的电磁场传输模式进行可视化是非常必要的。近年来已经有多种软件可以用来对电磁场进行可视化，如Mathematica、Matlab[2～7]等。文献[2～3]中作者用Mathematic绘制了圆波导TM01模式和TM22模式的横截面图，但没有指出TE模式和TM模式图的区别，也没有绘制纵向图。文献[4]用Matlab对矩形波导TE01模式的电场矢量、磁场矢量和管壁电流的纵向图，并制作了动画，为圆波导模式的可视化提供了良好参照。

为达到理想的可视化效果，对于各模式，应制作以下几种图形或动画：横截面电磁场矢量分布图、纵向中截面电场或磁场振幅图、纵向中截面上的电场、磁场矢量图，管壁电场、磁场矢量和管壁电流图等。

COMSOL Multiphysics是COMSOL公司针对多物理场建模与仿真解决方案的旗舰产品，其核心是有限元计算方法，不仅具有强大的计算能力，而且有卓越的后处理能力，可用来对电磁场和电磁波进行计算仿真，绘制清晰精美的图形，制作生动形象的动画，是进行电磁场与电磁波可视化的一种有力工具[8～9]。本文利用COMSOL Multiphysics，以下简称COMSOL，对圆波导中的三种典型模式TE11、TE01和TM01进行三维仿真，用图形和动画描述其模式电磁场分布的精细结构。

1 圆波导的结构和电磁场模式

圆波导是横截面为圆形的空心金属波导管，结构如图1所示，内半径为a，管内填充介电常数为ε，磁导率为μ的理想介质。圆波导具有轴对称性，宜采用圆柱坐标来分析。对于TM波，纵向磁场分量为零，电场分量为[1]：

(1)

(2)

(3)

图1 金属圆波导结构示意图

(4)

对于TE波，纵向电场分量为零，各电场分量可表示为[1]：

(5)

(6)

Ez=0，

(7)

每一组m,n值对应一个P'mn，且kc=P'mn/a，kc是TE的截止波数，其中P'mn为m阶第一类贝塞尔函数的一阶导函数的根。利用式(8)可求出对应的传播常数k'z，从而形成一种TEmn模式。

(8)

2 电磁场仿真参数设置

在COMSOL中选择电磁波模组，进行3D建模，绘制圆柱体，设定正确的边界条件后，进行数值计算即可求出圆柱体中任意点的电场和磁场分量。边界条件的设置如图2所示，圆柱面上边界条件设置为PEC，即理想导体；电磁波输入的底面设置为Port，即输入端口；电磁波输出的底面设置为PML，即理想匹配层，将电磁波完全吸收。对于TE11、TE01和TM01三种模式，Port边界条件设置各不相同。

计算圆波导中的电磁场时，需要求解电场3分量或磁场3分量的波动方程。在COMSOL中，求解的是电场3分量Ex、Ey和Ez在空间各点的数值。Port边界，就是设定电场初始值的边界，在此边界上设置电场分量的初始值。TE11模式，需要用到公式(5-7)，令m=n=1，将Eρ、Eφ进行坐标变换，转换成Ex、Ey。为呈现真实的波传输效果，需要将电场分量乘以因子cos(ωt)。TE01模式的Port边界设置类似于TE11模式，不同的是m=0,n=1。TE01模式的Port边界设置方法与此类似，除了令m=0,n=1外，要用到公式(1)-(3)。

图2 边界条件设置

3 圆波导电磁场的可视化效果

3.1 TE11模式的可视化

假定a=8.737 mm，L=6a，频率f=12.07 GHz，计算得到某时刻基模TE11的电磁场分布如图3所示，从中可观察到电场、磁场分布的细节。图3(a)为中截面上的电场强度的模值图，呈现明显的基模的波动形态；图3(b)为纵向中截面上的电场、磁场矢量图，其中与中截面垂直的箭头代表电场矢量，中截面内的箭头代表磁场矢量，电场和磁场相互垂直；图3(c)为管壁电流密度矢量和磁场矢量图，圆波导内表面上沿着圆柱轴线方向的箭头代表磁场矢量，沿着圆弧方向的箭头代表管壁电流密度矢量，管壁电流和磁场相互垂直，为呈现好的图形效果，图中隐去了里侧四分之一圆柱面上的电流和磁场矢量图。

(a)电场强度的模值图

将一个周期内各个不同时刻的图形在时间轴上串联起来后，制作成3D帧动画，可更清楚、形象地展示出TE11模式的电磁场在圆波导中的传输过程的宏观形态和细节变化。

3.2 TE01模式的可视化

假定a=8.737 mm，L=3a，频率f=25 GHz，计算得到某时刻模式的电磁场分布如图4所示。图4(a)为中截面上的电场强度的模值图，呈现明显的二阶模的波动形态；图4(b)为纵向中截面上的电场、磁场矢量图，其中与中截面垂直的箭头表示电场，中截面内的箭头表示磁场，电场和磁场相互垂直；图4(c)为管壁电流和磁场矢量图，圆波导内壁上沿着波导轴线方向的箭头代表磁场矢量，沿着圆弧方向的箭头代表管壁电流密度矢量，管壁电流和磁场相互垂直。图4展示出了圆波导 模式的电磁场细节分布。将不同时刻的图形串联起来，可制成3D动画，可更清楚、形象的展示出 模式的电磁场在圆波导中的传输过程的宏观形态和细节变化。

(a)电场强度的模值图

3.3 TM01模式的可视化

假定a=8.737 mm，L=3a，频率f=25 GHz，计算得到某时刻模式的电磁场分布如图5所示。图5(a)为纵向中截面上的磁场强度的模值图，呈现明显的二阶模的波动形态；图5(b)为纵向中截面上的电场、磁场矢量图，其中与中截面垂直的箭头代表磁场矢量，中截面内的箭头代表电场矢量，电场矢量和磁场矢量相互垂直；图5(c)为管壁电流和磁场矢量图，圆波导内壁上沿着圆柱轴线方向的箭头代表管壁电流密度矢量，沿着圆弧方向的箭头代表管磁场矢量，管壁电流和磁场相互垂直。从图中可明显看出TM01模式与TE01模式电场、磁场矢量在空间分布上的区别。根据图5，选择不同的时间点，串联起来可做出3D动画。

(a)磁场强度的模值图

4 结语

利用COMSOL有限元分析软件，可以对圆波导中的电磁场进行可视化，绘制清晰的图形和制作生动、形象的动画。这使学生对圆波导中的电场、磁场分布看的更准确、全面、细致，既开拓了视野，又加深了对波导模式和电磁场规律的理解，提高了学习兴趣。与Matlab、Mathematic等相比，COMSOL绘图效果更清晰绚丽，可对更一般的无解析解的电磁场问题进行可视化，功能更强，软件使用更简便，不需要编制程序，仅需设置适当的参数。COMSOL有望作为一种有效的辅助手段，在电磁场教学领域广泛采用。