凸极式无刷直流电机全速段复合矢量控制策略

张泽宇， 罗欣， 沈安文， 徐金榜

(华中科技大学 人工智能与自动化学院，武汉 430074)

0 引 言

与标准永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor, PMSM)相比，非正弦气隙磁密的无刷直流电机(brushless DC motor,BLDCM)具有制造成本低、功率密度和效率高等优势，在工业领域得到了广泛的应用[1-2]。其中凸极式无刷直流电机(interior permanent magnet type brushless DC motor,IPM-Type BLDCM)的转子内置永磁体，机械结构坚固[2]，保证了电机在运行过程中可以获得较强的稳定性和鲁棒性。由于交直轴电感不对称而产生了额外的磁阻转矩，在需要较宽调速范围及较大输出转矩的工业应用中优势明显。通过最大转矩比 (maximum torque per ampere,MTPA) 控制可以充分利用磁阻转矩，对定子电流矢量转矩角进行控制以保证相同电流幅值情况下输出最大电磁转矩[3]。然而在运行过程BLDCM产生的转矩脉动(尤其是换相转矩脉动)在很大程度上限制了其在高精度场合的应用[4-5]。

常规的两相馈电模式通过逆变器向电枢绕组中注入近似120°电角度平顶的方波电流，但由于电机中感性元件的存在和直流母线电压的限制导致了开通相和关断相的电流变化率难以预测，从而产生换相转矩脉动[5-6]。文献[7]通过控制正比于电机瞬时转矩的合成电流来抑制转矩脉动。文献[8]中采用两相/三相馈电的混合切换模式来改善直接转矩控制下的电机性能。但是这些方法无法实现高低速区间及导通/换相周期间的控制策略统一，增加了算法的复杂性。此外对于凸极式电机，注入的方波电流难以消除由转子凸极性引起的转矩脉动分量。三相馈电模式可以灵活地控制逆变器的开管方式，从而能够向绕组中注入具有谐波分量的定子电流来匹配不同电机的实际运行情况[9-12]，且该模式下电流的变化率要低于方波电流，可以更有效地利用直流母线电压，也能避免控制算法在导通/换相周期的切换问题，从而有效控制转矩。

由于闭环调节过程中的PI控制器本身具有带宽限制，且对交流量跟踪性能有限(尤其是在高速区)[13]，难以保证电流中的谐波分量可以注入到电机绕组中。文献[14]利用磁滞控制器来注入电流，但因为开关频率不固定导致其在大功率场合的应用存在局限。还有一类通过转子定向引入各谐波分量的非同步旋转坐标系来匹配电机反电动势中的谐波分量[15-18]，包括使用传统d-q轴的谐振控制器或重复控制器来拓展带宽。这些控制器对频率选择较为敏感，因此在动态调节中易受干扰。文献[19]中通过离线反电势来构造隐极式电机的变换矩阵以使电流在新的坐标系下为恒定分量，并引入位置和幅度扰动来提高闭环响应。文献[20]中提出了直接功率控制方案，但磁通估算涉及到的直流偏置及检测误差等问题会影响控制效果。文献[9-10]提出了一种基于机电能量转换的控制策略，既可以应用于凸极式电机，也适用于隐极式电机。

基于对同步电机的机电能量转换原理进行分析，并结合转子运动过程中的矢量关系，本文采用一种复合矢量控制策略来实现电机全速区间的MTPA轨迹跟踪及转矩控制。为了同时满足电机调速范围及转矩控制的性能要求，当电机运行在中低速区间时使用近似MTPA模式，高速区则切换到实际MTPA模式，并通过适当的坐标变换提取出电流中的转矩分量加以控制从而提高闭环动态响应。针对电机运行过程中参数易受温升、负载突变等环境影响，且寄生耦合参数项也会影响转矩控制，引入了一种简化的等效辨识方案来快速准确地获取实时参数。最后，通过实验数据对本文所提方案加以验证和分析。

1 凸极式无刷直流电机的数学模型及MTPA控制策略分析

由于无刷直流电机内部的气隙磁密不是理想正弦型，导致其转子磁链等折算到定子侧d-q轴无法完全解耦，难以直接通过传统的转子磁场定向进行矢量控制。本文的电机数学模型需要结合静止坐标系进行分析。

1.1 静止坐标系下的电机模型及MTPA状态转矩角计算

三相同步电机的定子侧电压矢量可以表示为

us=uα+uβ=2(ua+ub+uc)/3。

其在α-β轴的方程为

(1)

(2)

式中：e为电机反电势矢量的幅值，eα、eβ为其在α-β轴分量；θemf为反电势矢量与α轴的夹角，也即q轴和α轴的夹角，满足θemf=θr+π/2，矢量关系如图1所示。ec在静止坐标系的分量可以表示为

图1 IPM-BLDCM坐标图Fig.1 IPM-BLDCM coordinate diagram

ecα=eccosθemf=-ecsinθr,ecβ=

ecsinθemf=eccosθr。

(3)

根据电机统一理论及机电能量转换关系[9-10]，电机运行过程中输出的瞬时转矩为：

(4)

Ec,αβ=Le,αβ+ec,αβ。

(5)

式中Le在α-β轴的分量为：

(6)

(A1+A2)|is|+|ec|cosβ=0。

(7)

式中：A1=sin2θiD(Lβ-Lα)/2,A2=cos2θiDLαβ；θi为电流矢量is与α轴的夹角；β=θi-θr为电流矢量的转矩角，也即is与d轴的夹角。根据式(7)可得MTPA状态下转矩角的参考值为

(8)

式中LΔ-=(Lβ-Lα)/2cos2θr。

1.2 基于机电能量转换原理的电机模型分析

理论上将式(4)中的Xe参考值置零可以消除无功损耗[9-10]，这种情况下瞬时电流矢量可以表示为

(9)

(10)

LΔ|is|cos2(ξ+δ)=eccos(ξ+δ)。

(11)

(12)

图2 2种MTPA状态下的矢量关系Fig.2 Vector relation of two MTPA states

由于Ec和is无法完全解耦，导致运行过程中其相位变化存在不确定性，因此，实际控制过程中理想的近似MTPA状态是否存在需要验证。如果Ec和is的相位永远无法相同，或者在运行过程中计算出的转矩角ξ*超出函数域有效范围，则理想情况下的近似MTPA状态便不存在。在1.3节中，将对近似MTPA状态的存在性及有效性进行分析证明。

1.3 动态过程中的近似MTPA转矩角存在性分析

图3 不同状态下和能量转换相关的矢量关系Fig.3 Relationship of vectors related to energy conversion in different states

图3(a)中，is在Ec方向和q轴的投影分量分别为iE=iscosθ2、isq=iscosθ1。电机的电磁转矩可以表示为

(13)

(14)

式中：iA为is在A轴方向的投影；γ=β*-ξ*。将常规转矩方程与式(13)中计算得到的公式联立可得

|Ec|cosθ2=[-2LΔisd+|ec|]cosθ1。

(15)

图3(b)为理想近似MTPA状态下的矢量关系示意图，结合式(15)可知这种情况下满足

|Ec|=[-2LΔisd+|ec|]cosδ。

(16)

(17)

图4为负载3 N·m和6 N·m时MTPA状态的定子电流幅值，可以看出相同负载条件下2种状态的电流幅值几乎相等，这说明对应的β*和ξ*偏差较小。在工程应用中有时会出现短期的过载运行(一般小于3倍过载)，由于实际MTPA状态下的|isd|更大，因此在高速重载运行时其转矩控制效果更佳，调速范围也更宽。

图4 不同负载条件下近似和实际MTPA状态的电流幅值Fig.4 Current amplitudes of approximate and real MTPA states under various load conditions

从式(14)中可以看出通过Ec或is定向的坐标变换，2种模式下的电机转矩都可以和对应的电流相关，这样就可以更为直接地进行转矩控制。根据式(5)可知Ec主要包含LΔ和ec,αβ2组电机参数，以及理想状态下的电流矢量，因此在电机运行过程中需要实时获取这些参数。

2 可变电机参数的等效辨识方案

2.1 复杂电机参数对电磁转矩控制的影响

常规模型中，实际MTPA状态下的电机参数和电流，满足如下关系[9,23-25]

(18)

式中：iT=isdMTPA/isqMTPA。isdMTPA和isqMTPA分别为电机运行在MTPA状态下的d-q轴最优电流分量;M=|ec|/2LΔ为电机组合参数项。考虑到凸极式电机驱动过程中isd/isq<0，为了使电机状态方程更直观，重新定义iT=-isdMTPA/isqMTPA,则MTPA状态下的转矩方程[24]为

(19)

如果瞬时值|ec|已知，以iT为自变量，则转矩Te和iT满足正相关关系，且该方程具有奇函数性质。这意味着在闭环控制中iT的大小可以反映负载转矩的实际变化情况，也即速度外环的PI输出与iT具有对应关系。一旦获取到实时M和iT的数值，那么对应的最优电流幅值及相位关系也可以同时计算出，反之亦然。该等效关系可以避免计算中存在式(8)和式(12)的开方等复杂运算。实际电机运行过程中由于|ec|会随着转子位置的变化而变化，因此对于凸极式无刷直流电机而言，其在稳定MTPA状态下的电流转矩角并非理想固定，而是会出现周期性波动，电流值也会存在波动。此外，不同结构的电机在控制效果上也会存在差异。

考虑交叉耦合效应和定子电流对电机参数(不对称电感项及转子磁链项)的影响，文献[23]对电机在MTPA状态下的约束条件进行了分析。电机运行过程中MTPA电流轨迹不仅取决于常规参数，而且也受寄生耦合项及参数相对于电流的偏导项的影响。单独对每个电机参数进行辨识计算的过程较为繁琐，需要通过实际的预测量实验来获取部分精确数值进行记录，作为后续电机运行过程中通过等效关系快速辨识其他数值的依据。

2.2 简化的电机参数等效辨识方案

(20)

由于具有对外部扰动不敏感，以及动态性能好等优势，滑模观测器广泛应用于电机控制[21-22]。因其参数鲁棒性较强，对凸极性较低的电机而言，隐极式电机的滑模状态方程可以沿用,但不适用于凸极性较高的电机。结合式(1)～式(3)及凸极式电机扩展反电势的计算方案[21]可得

(21)

(22)

对于反电势平顶部分较大的电机或对控制精度要求严格的场合，也可以通过预测量实验来直接获取|ec|数值并存储在芯片中，但是要考虑温度对永磁体磁链的影响[18]。尽管随温升等变化永磁体磁链会变化，将导致|ec|值跟着改变而产生控制偏差，不过在工程应用中是可以接受的[9]。

图4结果表明，2种MTPA模式下的电流幅值偏差很小，为了简化式(8)和式(12)中的计算，可以将等效辨识获得的Ec用于近似MTPA模式下的坐标运算。图5所示为简化的电机可变参数等效辨识方案，可以快速获取数值并降低运行过程中复杂参数及环境因素对于运动控制精度的影响，避免了对离线参数的过度依赖而导致无法与受温升、磁路饱和等影响而变化的实际参数相匹配的弊端。经过等效辨识方案获得的参数可直接应用于电机的复合矢量控制方案。

图5 简化的电机可变参数等效辨识机制Fig.5 A simplified equivalent identification scheme for motor variable parameters

3 最优分配的复合矢量控制方案

通过等效辨识方案获取相关参数之后，需要通过全速范围调节的复合矢量控制方案来有效控制电机。式(14)中近似MTPA模式下的转矩方程中的交流量较少也较为直观，这意味着在闭环控制中可以获得更高的控制精度及响应速度。结合前面的分析，当电机运行在中低速区或轻载条件下时通过近似MTPA模式控制，可以保证在简化计算及提高闭环动态响应的同时输出较高的电磁转矩并实现换相转矩脉动抑制；在高速区或应用场合对电机转矩转速要求较高时切换到实际MTPA模式进行控制，计算步骤会增加，但是可以保证电机运行在更宽的调速范围和输出转矩范围。

中低速区运行在近似MTPA模式，从式(14)中可以看出电机转矩公式中包含随转子位置变化的交流量|Ec|，因此对于给定的输出转矩，iA并不是一个常量，这也会导致闭环控制中电流跟踪性能的下降，且对转矩控制产生影响。所以变换矩阵中需要将交流量|Ec|也考虑在内，这样经过变换后在新的坐标系下就可以对和转矩直接相关的电流进行控制[9]。简化后的坐标变换矩阵及其逆矩阵分别为

(23)

高速区则切换到实际MTPA模式，结合上述分析，该模式下对应的改进型变换矩阵及其逆矩阵为

(24)

图6所示为电机复合矢量控制方案框图，以保证在不同速度段及负载条件下匹配到合适的控制方案。通过引入等效辨识策略，近似和实际MTPA模式都可以通过部分实测的数据来重构电机运行过程中的完整参数曲线，避免了单纯依赖初始离线参数的数学计算所带来的误差，从而实现了考虑不确定性因素在内的凸极式电机宽转速转矩范围的矢量控制。

图6 复合矢量控制方案框图Fig.6 Block diagram of the compound vector control scheme

4 实验分析

用于测试本文所提策略的实验装置如图7中所示。微处理器采用主频为72 MHz的ST芯片，控制频率为16 KHz。实验结果由PC上位机及数字示波器记录，负载由对拖PMSM提供。为了对控制方案进行验证，实验将从稳态和动态性能2个方面入手，对采用常规矢量控制方案(下简称比较方案1)、基于GSRF的矢量控制方案[9-10](下简称比较方案2)以及本文所提方案进行对比试验分析。实验电机参数如表1所示。

图7 实验装置图Fig.7 Experimental setup

表1 电机参数Table 1 Parameters of motor

4.1 矢量控制方案的稳态性能分析

实验中分别将电机的给定转速和转矩设定为1 000/3 000 r/min及2/7 N·m，不同控制方案对应的定子电流幅值及电磁转矩波形如图8所示。可以看出在不同转速区间的相同负载条件下，本文所提方案的定子电流幅值低于另外2种方案，这说明在相同定子电流幅值情况下可以输出最大的电磁转矩。从图中的稳态转矩波形也可以看出复合矢量控制方案的电磁转矩脉动要小于另外2种，这表明通过适当的坐标变换后可以提取出电机定子电流中的转矩分量，并通过闭环矢量控制有效抑制凸极式电机的换相转矩脉动。需要说明的是文献[9-10]都是基于GSRF(generalied synchronous reference frame)来进行电机矢量控制，文献[9]中改进的GSRF矢量控制策略，在动态响应特性及转矩控制精度等方面明显优于文献[10]中的方案，但由于未考虑电流和机电能量转换矢量之间的耦合性，因此单纯依靠采样瞬时电流值进行变换矩阵的计算会存在偏差，无法定位到给定负载下的最小电流参考值。

图8 不同转速及负载条件下3种矢量控制方案的定子电流幅值及电磁转矩波形Fig.8 Stator current amplitudes and torque waveforms of three control schemes under different speeds and loads

4.2 矢量控制方案的动态性能分析

为了验证所提方案的动态性能，首先通过3-7-3 N·m的阶跃负载突变实验进行测试，将比较方案2[10]及本文所提方案在相同工作环境下进行实验，电流响应结果如图9中所示。图中箭头所指即为不同负载条件下的MTPA电流值。从图9(b)可以看出，在阶跃负载扰动过程中，系统可以从初始MTPA状态调整到与突变负载对应的MTPA状态，且调整后系统状态平稳。因此，所提方案显示出良好的动态性能和对外界扰动较强的鲁棒性。与所提方案相比，基于GSRF的控制方案[10]的电流与理想MTPA状态的电流存在偏差，如图9(a)所示。

图9 不同方案在阶跃负载扰动为3-7-3 N·m时的电流响应Fig.9 Current response results of different schemes with step load disturbance 3-7-3 N·m

当给定转矩突变时，如图10所示，所提方案的输出转矩可以快速跟踪其给定值，这是因为该方案可以将电机电流中的转矩分量直接提取出来并加以控制，因此实现了输出转矩的快速响应。图11所示为所提方案通过逆变器注入到电机绕组中的三相电流波形。与两相馈电方波电流不同，该方案可以根据电机实际情况注入含有一定谐波分量的近似正弦相电流以实现转矩控制，从而将抑制转矩脉动的有效谐波分量注入到电机中。因此，所提方案增强了电机转矩的稳态控制性能及动态响应特性。

图10 不同方案在阶跃负载为3～6 N·m的转矩响应Fig.10 Torque waveforms of various schemes with step reference torque from 3 to 6 N·m

图11 所提方案的三相电流波形Fig.11 Three-phase currents waveforms of the test motor with the proposed scheme

5 结 论

本文基于机电能量转换理论及运动控制中的矢量分析，并通过简化的可变参数等效辨识机制来实时获取电机运行过程中的实时参数，提出了一种可以实现电机的MTPA轨迹追踪及换相转矩脉动抑制的全速段复合矢量控制策略。该策略在减少运算量的同时避免了传统电机离线参数建模时难以考虑复杂参数项的问题，提升了电机的控制精度。为有效控制电机转矩并提高闭环动态响应，同时满足电机较宽调速范围的性能要求，当电机运行在中低速区间时通过近似MTPA模式来简化计算并实现较大电磁转矩输出，在高速区则切换到实际MTPA模式以进行高转速转矩的运动控制。实验证明通过合适的坐标变换可以将电机定子电流中的转矩分量直接提取出来，从而达到像常规永磁同步电机矢量控制那样实用性强的效果。将不对称电感产生的磁阻转矩项置零，则该控制方案同样适用于隐极式同步电机的最大输出转矩控制。