全息框架下带有整体磁单极电荷的AdS时空的范德瓦尔斯相变

李慧玲,陈 阳,林 榕

(沈阳师范大学 物理科学与技术学院,沈阳 110034)

0 引 言

霍金发现黑洞具有热辐射,人们由此把黑洞作为热力学系统,那么相应的,黑洞也应该具有相变行为。因为AdS时空的相变结构更加的丰富,人们大量研究的是AdS时空的相变行为。基于AdS/CFT对偶,用全息的角度来研究黑洞的相变行为,这能帮助人们更深入的了解黑洞。1999年,Chamblin等[1-3]首次在温度—熵平面发现了类范德瓦尔斯相变的存在。在2017年,曾晓雄等[4]在全息框架下用两点相关函数研究了典型的R-N AdS黑洞的相结构。

对Schwarzschild黑洞施加整体电荷等效于整体单极子破坏Schwarzschild时空的真空和渐近平直性,由于出现整体单极子,该黑洞具有了实心赤角[5-6]。因此,具有整体单极子的黑洞的某些性质值得进一步研究。1994年,余洪伟[5]通过表面重力和欧氏路径积分这两种方法研究了静态球对称系统—整体单极黑洞的热力学。Dadhich等[7]研究了整体单极电荷对粒子轨道和霍金辐射的影响,并在参考文献[8]中校正了整体单极黑洞的霍金辐射。2016年,Ahmed等[9]研究了单极参数的质量分数,发现它可以抑制最大吸积率。彭俊金和吴双清[10]通过采用不同的过程并执行各种坐标转换,通过要求消除地平线上的引力反常,应用RWs方法从具有整体单极子的Schwarzschild型黑洞中推导出Hawking通量。

在全息框架下,两点关联函数是一个研究黑洞相结构非常有用的工具,在以前的工作中,两点关联函数已经被广泛用来研究全息热化[11-12]、全息奇点[13-14]等。

基于上述动机,本文在全息框架下,用两点关联函数来研究带有整体磁单极电荷的AdS黑洞是否具有类范德瓦尔斯相变。

1 温度-熵平面的范德瓦尔斯相变

带有整体磁单极电荷的AdS弯曲时空度规为

(1)

其中

(2)

M为质量参数,Q为AdS黑洞的电荷,η为磁单极参数,L为AdS半径且L=(-Λ/3)-1/2,带有整体磁单极的黑洞的温度为

(3)

(4)

由上式可知相变结构不只取决于电荷Q,还取决于磁单极参数η。为了研究相变结构,可以通过上面公式求解相变结构的临界值

(5)

可以得到临界熵

(6)

此时的临界温度为

(7)

图1 温度T与熵S之间的关系图像Fig.1 The relationship between temperature T and entropy S

由此可以得到温度T与熵S之间的关系,如图1所示。在图1中,令L=1,η=0.1,对应曲线从上到下电荷的取值依次为QQCr。

从图1中很明显的看到,电荷的数值对相变有很大的影响。当Q=QCr时,图像存在拐点,说明此时存在二阶相变。当QQCr,温度随着熵的增加单调增加,无相变的产生。在温度—熵平面,有着与普通热力学中液-气体系类似的范德瓦尔斯相变的产生。

2 两点关联函数的范德瓦尔斯相变

根据AdS/CFT的对应关系,等时两点关联函数如下[15]:

〈Ο(t0,xi)Ο(t0,xj)〉≈e-ΔL

(8)

上式中的Ο是标量算子,且Δ是标量算子的共形维数。L是AdS边界上的点(t0,xi)和(t0,xj)间的本体测地线的长度。考虑到黑洞的时空对称性,假设xi=θ且设边界为θ0,这里用θ来参数化轨迹。因此,测地线长度可以表示为

(9)

f′(r(θ))(r′(θ))2-2f(r(θ))r″(θ)+2r(θ)f(r(θ))2=0

(10)

利用边界条件r′(0)=0,r(0)=r0来数值求解r(θ)。值得注意的是,测地线长度对于固定的θ0来说是发散的,因此,需要减去纯AdS具有同样边界θ0的测地线长度L0进行重整化,重整化的测地线长度就变成δL=L-L0。设置一个UV截断θC(无限接近θ0)。本文将以θ0取值0.38,0.45和0.50为例,对应的θC取值0.379,0.449和0.499,可以绘制出温度T与两点关联δL之间的关系图像,如图2所示。其他参数的取值分别为L=1,η=0.1。

(a) θ0=0.38;(b) θ0=0.45;(c) θ0=0.50图2 温度T与δL之间的关系Fig.2 The relationship between temperature T and δL

图2中3个图像同图1中的曲线进行比较可知,T-δL图像中的相位结构与T-S平面中的相位结构完全相似,证明在两点关联函数中有类范德瓦尔斯相变的产生。

考虑到磁单极参数对两点关联函数的影响,以θ0取值0.38为例,改变η的取值,通过图像展示出磁单极参数对两点关联函数的影响,如图3所示。其中电荷Q的取值与图2相同。

将图2(a)同图3中3个图像比较可知,随着η取值的增加,二阶相变转折点对应的温度值也在增大,说明η值的改变会影响相变的行为。但T-δL图像中的相位结构与T-S平面中的相位结构完全相似,证明在磁单极参数的影响下两点关联函数中仍然有类范德瓦尔斯相变的产生。

(a) η=0.05;(b) η=0.2;(c) η=0.4图3 温度T与δL之间的关系Fig.3 The relationship between temperature T and δL

3 结 论

本文在全息框架下,用两点关联函数研究了带有整体磁单极电荷的AdS黑洞的相变行为。我们首先研究了在温度-熵平面的相变行为,结果表明,在温度-熵平面存在类范德瓦尔斯相变,而且,电荷Q对相变的行为有影响。当Q=QCr时,图像存在拐点,说明此时存在二阶相变。当QQCr,温度随着熵的增加单调增加,无相变的产生。在T-S平面,有着与普通热力学中液-气体系类似的范德瓦尔斯相变的产生。随后,利用两点关联函数对带有整体磁单极电荷的AdS黑洞的相变进行研究。观察图2中3个图像可知,在全息框架下,改变θ0的值,曲线的相位结构与图1相似,因此在T-δL平面中仍然有类似的范德瓦尔斯相变的产生。为了探讨磁单极参数对相变的影响,令θ0的值固定,改变磁单极参数η的值,由图3可知,随着η值的增大,二阶相变转折点对应的温度值也在增大。说明η对相变的行为有一定的影响。但曲线的相位结构仍与图1中相似,故在T-δL平面中仍然有类似的范德瓦尔斯相变的产生。