机械能守恒中的绳索问题

厉浚宇

(浙江省慈溪中学，浙江 慈溪 315300)

图1

例题.如图1所示,总长为L,质量为m的光滑匀质绳索跨过一个光滑的轻质小滑轮,开始时下端A、B相平齐,当略有扰动时其一端下落,则当绳索刚脱离滑轮的瞬间,绳索的速度为多大?

对于这一类绳索,铁链问题,由于它们会发生形变,其重心位置并不是固定不变的,因此在考虑的时候,我们首先需要确定其重心位置,然后抓住重心位置的变化而得到重力势能的变化,再根据机械能守恒来求得最终的速度.

常规的解法: 绳索刚离开滑轮时,相当于原来的BB′部分移到了AA′的位置．由于滑轮很小,我们可以通过对折来求重心,也可以分段求出各部分的重力势能,再求出代数和作为总的重力势能.

图2

从初始位置到绳索刚离开滑轮,

重力势能的减少量为

动能的增加量

根据机械能守恒定律有

-ΔEp=ΔEk.

解得绳索刚脱离滑轮时的速度为

图3

初始位置绳的质心坐标为

根据机械能守恒,可以得到

即

解得此时绳子的运动速率为

下面利用微元法和质心运动定律求解滑轮对绳索的作用力F,在t时刻和t+Δt时刻系统动量分别为

对绳索进行受力分析,绳索受到竖直向下的重力和竖直向上的滑轮对绳索的作用力,因此有

解得

当绳索与滑轮脱离时,F=0,即

解得

因为

所以得

也就是说,当绳索右侧长0.85L时,绳索已脱离滑轮．此时绳索速度应为

所以对于此类问题,应该从更严谨的角度去求解,不能用一般习惯性的思维.