δ-BiHom-Jordan-李超代数的阿贝尔扩张和T*-扩张

郭双建

（贵州财经大学数学与统计学院，贵州贵阳550025）

作为李代数的推广，Hom-李代数的引入源于物理学和李代数的双重需要，其概念由HARTWIG等在研究拟李代数时引入，并将其作为研究Witt 代数和Virasoro 代数变形的一部分［1-4］。

文献［5］引入了Hom-李超代数的概念，给出了Hom-李超代数的允许分类，验证了Hartwig-Larsson-Silvestrov 定 理 的 分 次 情 形。 随 后，文献［6］研究了Hom-李超代数的表示和上同调理论，计算了Witt 超代数的导子和第二上同调群。文献［7-9］也研究了Hom-李超代数的相关性质。

BiHom-代数是一种其定义结构上的恒等式被2 个同态α，β扭曲的代数。这类代数作为一种范畴方法被引入，是对Hom-代数的推广。文献［10］得到BiHom-代数的基础概念和结果。文献［11］使BiHom-代数得以延续和发展。随后，BiHom-李代数、BiHom-李超代数、BiHom-李着色代数和BiHom-Novikov 代数在文献［12-14］中有更多的应用。

作为Jordan-李超代数的推广［15］，文献［16］引入δ-Hom-Jordan-李超代数的定义，并详细研究其表示和T*-扩张。文献［17］引入δ-BiHom-Jordan-李超代数的定义，并研究其表示。本文继续研究δ-BiHom-Jordan-李超代数的性质，引入δ-BiHom-Jordan-李超代数的阿贝尔扩张，证明与任意阿贝尔扩张相关联的表示和2-余循环。利用上同调理论和表示δ-BiHom-Jordan-李超代数的T*-扩张，证明特征不为2 的代数闭域上的有限维幂零二次δ-BiHom-Jordan-李超代数与幂零δ-BiHom-Jordan-李超代数的T*-扩张等距。另外，从上同调角度给出了T*-扩张的等价性。

1 预备知识

定义1［17］δ-BiHom-Jordan-李超代数为由向量超空间L、双线性映射[⋅，⋅]：L⊗L→L和2 个线性映射α，β：L→L组成的四元组(L，[⋅，⋅]，α，β)，对任意的x，y，z∈L，有

当δ=1 时 为BiHom-李超代数；当δ=−1 时 为BiHom-Jordan-李超代数。

定 义2［17］（i）若α和β为代数态射，则称δ-BiHom-Jordan-李代数(L，[⋅，⋅]，α，β)是保积的，即对 任 意 的x，y∈L，有α([x，y])=[α(x)，α(y)]，β([x，y])=[β(x)，β(y)]。

（ii）若α和β为代数自同构，则称δ-BiHom-Jordan-李代数(L，[⋅，⋅]，α，β)是正则的。

定 义 3［17］设(L，[⋅，⋅ ]，α，β) 为 保 积δ-BiHom-Jordan-李超代数。L上的表示为四元组(M，ρ，αM，βM)，其中M是线性空间，αM，βM：M→M是2 个交换线性映射，ρ：L→End(M)是线性映射，使得对所有u，v∈L，有设(L，[⋅，⋅]，α，β)为正则δ-BiHom-Jordan-李超代数，Ck(L；M)表示L上具有M值的K-上链集，且是从L×…×L（k个）到M的线性映射：

定义L上具有M值的BiHom-上链为K-上链f∈Ck(L；M)，使得其与α，β和αM，βM相容，即

所以

定义线性映射

2 δ-BiHom-Jordan 李超代数的阿贝尔扩张

定 义4设(L，[⋅，⋅]，α，β)，(V，[⋅，⋅]V，αV，βV)和为δ-BiHom-Jordan 李超代数，为δ-BiHom-Jordan 李超代数的态射 。 如果 Im(i)=Ker(p)，Ker(i)=0，且Im(p)=L，则有δ-BiHom-Jordan 李超代数的正合序列：

称为L对V的扩张，用表示。如果V是ˆ的阿贝尔理想，即对所有的u，v∈V，有，则称V为阿贝尔扩张。ˆ→L的截面σ由线性映射σ：L→ˆ组 成，使得p∘σ=idL，σ∘α=，σ∘β=。

定义5如果存在δ-BiHom-Jordan 李超代数的态射F：˜，使得

可换，则δ-BiHom-Jordan 李超代数的2 个扩张是等价的。设为L对V的阿贝尔扩张，为截面，则θ：L→End(V)的映射

对所有x∈L，v∈V均成立。

定理1设(V，αV)和(L，α)为保积δ-BiHom-Jordan 李超代数，则(V，αV，βV，θ)是(L，α，β)的表示，且不依赖于截面σ的选取。同时，等价阿贝尔扩张有相同的表示。

证明首先，如果选择另一个截面，则存 在u∈V，使得p(σβ(x)−σ′β(x))=β(x)−β(x)=0⇒σβ(x)−σ′β(x)∈V⇒σ′β(x)=σβ(x)+u。 注意到对所有的u，v∈V均成立，所以

表明θ与截面σ的选取无关。

其次，证明(V，αV，βV，θ)是(L，α，β)的 表 示。对任意的x，y∈L，v∈V，有

因此，可得式（1）和式（2）。

最后，

因此，可得式（3）。

接下来，验证等价阿贝尔扩张有相同的θ。

假 设ELˆ和EL˜是等价的阿贝尔扩张，且是 满 足F∘i=j，q∘F=p的δ-BiHom-Jordan 李超代数态射。分别选取p和q的线性截面σ和σ′，则有qFσ(x)=pσ(x)=x=qσ′(x)，因此，

且

对所有的x1，x2，x3∈L成立。

定 理2设为L对V的阿贝尔扩张，则式（6）中的ω是以V为系数的L上的2-余循环，式（5）中的θ为L上的表示。

证明在式（4）中，令f=ω，ρ=θ，对任意的x，y，z∈L，有

因此，ω是2-余循环。

3 δ-BiHom-Jordan 李超代数的T*-扩张

定理3设(L，[⋅，⋅]，α，β)为δ-BiHom-Jordan李超代数，若

为αβ-不变量，对任意的x，y，z∈L，

对称，且

则称L上的双线性形式f是非退化的。

若I⊆I⊥，则称L的子空间I是迷向的。

定 义 6设 (L，[⋅，⋅]，α，β) 为δ-BiHom-Jordan-李超代数，如果L具有非退化不变对称双线性 形 式f，则 称(L，f，α，β)为 二 次δ-BiHom-Jordan李超代数。

设(L′，[⋅，⋅]′，α′，β′)是 另 一 个δ-BiHom-Jordan李超代数，如果存在δ-BiHom-Jordan 李超代数同构φ：L→L′，使得

则称2 个二次δ-BiHom-Jordan 李超代数等距。

引理1设ad 是δ-BiHom-Jordan 李超代数(L，[⋅，⋅]，α，β)的伴随表示，考虑L的对偶空间L∗，定义2 个同态为

则映射π：L→End(L∗)，

为L在上的表示当且仅当

并称π为L的余伴随表示。

证明首先，由于

类似地，有

于是，

则

因此，π是L在上的表示。

引 理 2设 (L，[⋅，⋅]，α，β) 为δ-BiHom-Jordan-李超代数，ω：L×L→L∗为双线性映射。假设存在余伴随表示

则(L⊕L∗，[⋅，⋅]，α′，β′)为δ-BiHom-Jordan-李超代数当且仅当ω：L×L→L∗是2-余循环。

证明对任意的x+f，y+g，z+h∈L⊕L∗，有

类似地，有

于是

当且仅当

容易验证 Jacobi 等式成立当且仅当δd−1，1ω(x，y，z)=0。

显然，L∗为(L⊕L∗，[⋅，⋅]，α′，β′)的交换BiHom-理想，L与L⊕L∗/L∗同构。设qL在L⊕L∗上具有对称双线性形式，对所有x+f，y+g∈L⊕L∗，有

引理3设L，L∗，ω，qL同前，则(L⊕L∗，qL，α′，β′)为二次δ-BiHom-Jordan-李超代数当且仅当ω是Jordan 循环的，即存在x，y，z∈L，使得

证明如果x+f与L⊕L∗中的元素y+g正交，那么有f(y)=0 和g(x)=0，即x=0 和y=0。因此，对称双线性形式qL是非退化的。

对任意的x+f，y+g，z+h∈L⊕L∗，一方面，

另一方面，

证毕。

对于Jordan 循环的2- 余循环ω，称二次δ-BiHom-Jordan 李超代数(L⊕L∗，qL，α′，β′)为L的T∗-扩张，并用表示。

引理4设(L，[⋅，⋅]，α，β)为δ-BiHom-Jordan李超代数 。 定义 导出级数(L(n))n≥0：L(0)=L，L(n+1)=[L(n)，L(n)]，中 心 递 减 级 数(L(n))n≥0：L(0)=L，L(n+1)=[L(n)，L]，称L是可解性和幂零性的（长度为k）当且仅当存在（最小）整数k，分别使得L(k)=0 和Lk=0。

定理4设(L，[⋅，⋅]，α，β)为δ-BiHom-Jordan李超代数。

（i）如果L可解的长度为k，则T∗-扩张可解（幂零）的长度为r，其中k≤r≤k+1(k≤r≤2k−1)。

（ii）如果L可被分解为L的2 个δ-BiHom-理想的直和，则平凡的T∗-扩张T∗0L也如此。

证明（i）首先，假设L可解的长度为k。由于意 味着由于L∗是阿贝尔的，可得T∗ω L可解的长度为k或k+1。

假设L幂零的长度为k。 由于设

有

（ii）假设0 ≠L=I⊕J，其中I和J为L的2 个δ-BiHom-理想。令I∗（或J∗）表示在J（或I）上等于零的L∗中所有线性形式的子空间。由

那么

则是L的BiHom-理想，也如此。

证毕。

为证明δ-BiHom-Jordan 李超代数的T∗-扩张准则，需要以下引理。

引理5设(L，qL，α，β)为维数为n（偶数）的二次δ-BiHom-Jordan 李超代数，I是L迷向的n/2 维子空间。 如果I是L的 BiHom- 理想，则[β(I)，α(I)]=0。

证 明由 于dimI+ dimI⊥=n/2+ dimI⊥=n，I⊆I⊥。如果I是L的BiHom-理想，那么

则[β(I)，α(I)]=[β(I)，α(I⊥)]⊆α(L)⊥=0。

引理6设(L，qL，α，β)为特征不等于2、维数为n的二次δ-BiHom-Jordan 李超代数，则(L，qL，α，β)与(，qB，α′，β′)是等距的当且仅当n是偶数且(L，qL，α，β)包含维数为n/2 的迷向的BiHom-理想I。特别地，

证明充分性。由于dimB= dimB∗，dim是偶数，则dimqB(B∗，B∗)=0，即B∗⊆(B∗)⊥和B∗是迷向的。

必要性。假设I为L上一个n/2 维迷向的BiHom-理想。由引理5，有[β(I)，α(I)]=0。设和p：L→B是典范投影 。 由 于char(K)≠2，在L中取一个迷向的补子空间B0，即L=B0+I和B0⊆B0⊥，则有B0=B0⊥。

设满足

容易验证是线性同构的。此外，具有以下性质：

定义齐次线性映射：ω：B×B→B∗，

设φ：L→B⊕B∗，

容易验证φ是代数同构的。

下证φ是等距的。事实上，

表明qB是一个非退化不变对称的双线性形式，因此(B⊕B∗，qB，α′，β′)是 二 次δ-BiHom-Jordan 李 超 代数，从而可得B的T∗-扩张，于是有(L，qL，α，β)与是等距的。

设(L，[⋅，⋅]，α，β)为δ-BiHom-Jordan 李超代数，ω1：L×L→L∗和ω2：L×L→L∗是2 个不同的Jordan 2-余循环。如果δ-BiHom-Jordan-李超代数的同构是BiHom-理想L∗上的恒等式，并由此导出因子δ-BiHom-Jordan 李超代数上的恒等式，则称T∗-扩张是等价的。如果T∗-扩张和等价，且φ等距，则称它们是等距等价的。

引理7设(L，[⋅，⋅]，α，β)为特征不等于2 的δ-BiHom-Jordan 李超代数，ω1和ω2是2 个 不同 的Jordan 2-余循环，则有

则z的对称部分定义为

zs可诱导出L上的对称不变双线性形式。

（ii）与等距等价当且仅当z∈C1(L，L∗)使得式（11）成立，且z的对称部分zs等于零。

证 明（i）与等价当且仅当δ-BiHom-Jordan 李超代数的同构

满足Φ|L∗=1L∗和x−Φ(x)∈L∗，x∈L。

另一方面，

由于Φ同构，则式（11）成立。

必要性。如果存在z∈C1(L，L∗)，满足式（11），定义

满足Φ(x+f)：=x+z(x)+f。

易证Φ是δ-BiHom-Jordan 李超代数的同构，存在x∈L，使得Φ|L∗=1L∗，x−Φ(x)∈L∗，则与等价。

考虑由zs诱导的对称双线性形式

且

由于ω1和ω2都是Jordan 2-余循环，所以此两个方程的右边相同。因此

即

由于char(K)≠2，因此

即证明了zs诱导的对称双线性形式qL是不变性的。

（ii）同构Φ的定义同（i），对任意的x+f，y+g∈L⊕L∗，有

因此，Φ是等距的当且仅当zs=0。