2021年高考“坐标系与参数方程”专题命题及解题分析

杨爱正 薛红霞

摘  要：針对2021年高考数学全国甲卷、全国乙卷中的“坐标系与参数方程”试题，分析其命题特点，从解法的角度对其进行欣赏. 在此基础上提出了2022年高考“坐标系与参数方程”专题的复习备考建议，并编拟了模拟题.

关键词：坐标系与参数方程;命题分析;解法欣赏;复习建议

在2021年高考数学全国甲卷和全国乙卷中，分别有1道“坐标系与参数方程”试题，依然围绕着参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化、注重计算能力考查等特点进行命制，却又有着常考、常新的魅力.

一、考查内容分析

1. 考点与内容覆盖全面

根据《普通高中数学课程标准（实验）》及考试大纲，“坐标系与参数方程”要求是“能”或“理解”的知识点有：坐标系的作用，选择适当坐标系的意义，用极坐标表示点的位置，极坐标与直角坐标的互化，简单图形的极坐标方程，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，等等. 2021年高考数学全国甲卷考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，根据圆的参数方程确定圆的圆心和半径. 全国乙卷考查了圆的参数方程，并考查了直线的直角坐标方程和与极坐标方程的互化.

2. 思想方法分析

（1）考查坐标法.

坐标法是“坐标系与参数方程”试题求解的基本思想方法. 利用坐标法求解点的轨迹方程需要先建立坐标系，写出动点所满足的规律的几何表达，代入点的坐标将此规律代数化，通过化简求出动点的轨迹方程.

全国甲卷文（理）科第22题的第（2）小题为：设点[A]的直角坐标为[1，0]，[M]为[C]上的动点，点[P]满足[AP=][2AM]，写出点[P]的轨迹[C1]的参数方程. 这就是典型的考查坐标法.

（2）考查数形结合的思想方法.

“坐标系与参数方程”的研究对象是现实世界中存在的曲线，采用的是坐标法，其中蕴涵着丰富的数形结合思想.

全国甲卷文（理）科第22题的第（2）小题要求判断两条曲线是否有公共点，基本的求解方法有两种：一种是代数法，联立两条曲线的方程，根据解的个数判断其是否有公共点;另一种是几何法，根据方程判断两条曲线都是圆，只需要比较两个圆的圆心距与其半径之间的关系即可.

同样，全国乙卷文（理）科第22题的第（2）小题要求的是圆的两条切线的极坐标方程，显然可以用代数法求解，也可以用几何法求解.

采用几何法，计算量显然较小，这就是数形结合思想方法优势的体现.

（3）考查数学运算素养.

数学运算素养的主要表现是：在理解运算对象的基础上，选择相应的运算法则. 此处表现为选择相应的方程，探究运算思路，最后求得运算结果. 全国乙卷文（理）科第22题的第（2）小题可以有多种求解思路，选择利用直角坐标方程表示所给曲线，那么在计算时，就要注意观察，选择方法，整体求解，优化计算，这就是数学运算素养的具体体现.

二、命题思路分析

1. 凸显高考试题的基础性

2021年高考数学全国甲卷文（理）科第22题的第（1）小题设置了曲线（圆）的极坐标方程转化为直角坐标方程，考查学生对极坐标与直角坐标对应关系的转换公式的掌握程度. 第（2）小题给出动点满足的关系，考查利用坐标法求动点的轨迹方程，在此基础上判断两条曲线是否有交点. 该题求解思路简单易得，自然顺畅. 但是不同学生会有不同的选择，可以利用普通方程求解，也可以利用参数方程求解.

2021年高考数学全国乙卷文（理）科第22题的第（1）小题设置了根据圆心和半径写出圆的参数方程.

可以看出，其中涉及的都是“坐标系与参数方程”的基础知识和基本方法，凸显了试题的基础性.

2. 注重考查思维的灵活性

2021年高考数学全国乙卷文（理）科第22题的第（2）小题给出圆外一点，要求求出过该点的圆的切线的极坐标方程. 这个设问给学生留下了极大的思维空间. 很好地考查了学生思维的灵活性.

“极坐标系与参数方程”不仅为描述现实世界与数学对象提供了除直角坐标之外的手段，而且让学生看到了用直角坐标描述几何对象或者其他对象并不总是简单而有效的，因此遇到实际问题时可以在直角坐标与极坐标、普通方程与参数方程之间进行适当选择.

2021年高考数学全国乙卷文（理）科第22题的第（1）小题考查圆的参数方程，第（2）小题要求的是极坐标方程，信息非常丰富. 学生可以选择用极坐标方程求解，也可以选择用基于直角坐标系的普通方程求解，还可以选择用参数方程求解. 选用普通方程求解时，既可以选择几何方法，也可以选择代数方法. 求解的切入点非常多，适合不同学生的思维特点，是一道非常好的过程开放的试题.

三、试题解法欣赏

例1 （全国甲卷·文 / 理22）在直角坐标系[xOy]中，以坐标原点为极点、[x]轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线[C]的极坐标方程为[ρ=22cosθ].

（1）将[C]的极坐标方程化为直角坐标方程;

（2）设点[A]的直角坐标为[1，0]，[M]为[C]上的动点，点[P]满足[AP=2AM]，写出点[P]的轨迹[C1]的参数方程，并判断[C]与[C1]是否有公共点.

解：（1）由题意，知将圆[C]的极坐标方程化为直角坐标方程为[x-22+y2=2]. 具体过程略.

（2）（方法1）设点[Px，y，Mx1，y1].

因为点[A]的直角坐标为[1，0]，

所以[AP=x-1，y]，[AM=x1-1，y1].

因为[AP=2AM]，

所以[x-1=2x1-1，y=2y1.]

解得[x1=2x-12+1，y1=2y2.]

因为点[Mx1，y1]在圆[C]上，

所以[x1-22+y12=2].

代入、化简，得[C1： x+2-32+y2=4].

所以[C1]的参数方程为[x=3-2+2cosθ，y=2sinθ]（[θ]为参数，且[θ∈R]）.

于是，两圆的圆心距为[d=2-3-2=3-22]，半径差为[s=2-2].

因为[d

所以两圆没有公共点.

【评析】这种解法的思路朴素自然，根据已知条件建立点[P]与圆上的点[M]的坐标之间的关系，即可求得圆[C1]的方程. 进而利用几何法判断两个圆的位置关系. 当然，也可以用代数法判断.

（方法2）设点[Px，y，Mx1，y1].

因为点[A]的直角坐标为[1，0]，

所以[AP=x-1，y]，[AM=x1-1，y1].

因为[AP=2AM]，

所以[x-1=2x1-1，y=2y1.]

因为点[Mx1，y1]在圆[C]上，

所以[x1=2+2cosθ，y1=2sinθ]（[θ]为参数，且[θ∈R]）.

代入，得[x=3-2+2cosθ，y=2sinθ]（[θ]为参数，且[θ∈R]）.

下同方法1.

【评析】这种解法本质上与方法1是一样的，只是采用了圆的参数方程来求解，可以说是殊途同归. 这也体现出学习“坐标系与参数方程”的优势，可以选择不同的表示方法表示曲线，并在此基础上解决问题.

例2 （全国乙卷·文 / 理22）在直角坐标系[xOy]中，圆[C]的圆心为[C2，1]，半径为1.

（1）写出圆[C]的一个参数方程;

（2）过点[F4，1]作圆[C]的两条切线. 以坐标原点为极点、[x]轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

解：（1）根据题意，得圆[C]的直角坐标方程为[x-22+y-12=1].

令[x-2=cosα，y-1=sinα     ]（[α]为参数），

则圆[C]的参数方程为[x=2+cosα，y=1+sinα     ]（[α]为参数）.

【评析】该题第（1）小题考查的是圆的参数方程的基础知识. 先依据所给条件写出圆的标准方程，再通过换元得到圆的参数方程. 体现了在同一坐标系中用不同形式的方程表示同一条曲线，以及根据实际需要选择方程的意识.

（2）（方法1）设[FP，FQ]为圆[C]过点[F4，1]的两条切线，[P，Q]为切点，如下图所示.

则有[CP=CQ=1].

因为[CF=2]，

所以[∠CFP=∠CFQ=π6].

设直线[FP，FQ，FC]与[y]轴的交点分别为[M]，[N，G]，

则[MG=NG=433].

所以[OM=433+1， ON=433-1].

则两条切线的极坐标方程为[ρsinπ6+θ=OMsinπ3]和[ρsinπ6-θ=ONsinπ3]，

即[ρsinπ6+θ=2+32]和[ρsinπ6-θ=2-32].

【评析】这种解法的思路是直接在极坐标系中分析，利用几何法找到所求切线上点的极径和极角满足的几何特征，再将之代数化. 这种解法充分应用了圆和三角形的几何性质，是数形结合思想的具体应用.

（方法2）设[FP，FQ]为圆[C]过点[F4，1]的两条切线，[P，Q]为切点，

则[CP=CQ=1].

因为[CF=2]，

所以[∠CFP=∠CFQ=π6].

所以两条切线的斜率为[k=±33].

所以两条切线的方程为[y-1=±33x-4].

相应地，两条切线的极坐标方程为[ρsinθ-1=][±33ρcosθ-4].

【评析】这种解法与方法1的相同之处是充分应用了圆的几何性质;不同之处是该解法的基本思路是先求切线的直角坐标方程，然后利用公式将之转化为极坐标方程.

（方法3）设所求切线的方程为[y-1=kx-4]，即[kx-y+1-4k=0].

由点到直线的距离公式，得[2k-1+1-4k1+k2=1].

解得[k=±33].

下同方法2.

【评析】不同于前面两种解法，这种解法的基本思路是从代数角度入手，结合圆的切线的几何特征进行求解. 因此，先设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求得斜率. 在这样的思路下，也可以选择用代数方法求出斜率，即联立方程，利用“直线与圆相切，则判别式等于0”求解. 此处不再赘述.

当然，该题中已经知道直线上一点，只要能求出直线的斜率，就可以求出直线的方程. 在这样的思路之下，结合方法1还可以设法求得切点坐标，进而求出直线的斜率得解. 或者利用参数方程求切点坐标. 总之，思考方向对了，解法就丰富多彩，对试题的研究也乐在其中.

四、复习建议

根据以上分析，对“坐标系与参数方程”专题的高考复习提出如下建议.

1. 回归教材，落实基础

注重基础知识和基本技能，这是亘古不变的真理. 例1相对容易，例2的第（2）小题有一定难度，但无论试题难易程度如何，总是要从基础入手，将其转化为基本问题去解决. 例2的第（2）小题虽然有一定难度，但思路也是容易获得的，并且利用数形结合思想得到了多种解法. 除如上提供的三种解法之外，该题还有其他解法，有的解法计算量比较大，但如果选择了就必须算对，這就是对基本计算技能的考查，也是对数学运算素养的考查.

因此，在复习过程中要做到对基础知识的正确记忆、准确理解，对基本技能（识别基本图形的特征、计算）的熟练运用.

2. 梳理总结，优化方法

例1的第（2）小题至少有两种解法，例2的第（2）小题的解法远不止如上三种. 可以看出，不同解法涉及的知识点、计算量是不一样的. 选择不同的解题路径，在繁简方面已经对学生做了隐性的区分. 因此，在复习过程中要引导学生对同一问题的解法进行梳理、总结，遇到一个问题时能从多个角度分析，并选择相对简洁的方法进行求解.

五、模拟题欣赏

1. 在平面直角坐标系[xOy]中，曲线[C1：x2+y29=1]，以坐标原点为极点、[x]轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线[C2]的极坐标方程为[ρ2-8ρcosθ+15=0].

（1）求曲线[C1]的参数方程与曲线[C2]的直角坐标方程;

（2）设点[A，B]分别为曲线[C1]与曲线[C2]上的动点，求[AB]的取值范围.

解：（1）曲线[C1]的参数方程为[x=cosα，y=3sinα]（[α]为参数）.

由[x=ρcosθ，y=ρsinθ]，得曲线[C2]的直角坐标方程为[x2+y2-8x+15=0].

所以曲线[C2]的直角坐标方程为[x-42+y2=1].

（2）由（1），可知[C24，0].

设[Acosθ，3sinθ]，

则[AC22=cosθ-42+9sin2θ=-8cosθ+122+27].

因为[-1≤cosθ≤1]，

所以[9≤AC22≤27]，

解得[3≤AC2≤33].

所以[2≤AB≤33+1].

故[AB]的取值范围是[2，33+1].

2. 在平面直角坐标系[xOy]中，直线[l]的参数方程为[x=-43+tcosα，y=-73+tsinα]（[t]为参数，[α]为直线[l]的倾斜角），以原点[O]为极点、[x]轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线[C]的极坐标方程为[ρ2=43-cos2θ].

（1）求曲线[C]的直角坐标方程;

（2）若点[P-43，-73]，直线[l]与曲线[C]相交于[A，B]两点，且[PA=2PB]，求直线[l]的方程.

解：（1）因为[ρ2=43-cos2θ=42+2sin2θ]，

所以[2ρ2+2ρ2sin2θ=4].

因为[ρ2=x2+y2，ρsinθ=x]，

所以[2x2+4y2=4].

所以曲线[C]的直角坐标方程为[x22+y2=1].

（2）将[x=-43+tcosα，y=-73+tsinα]代入[x22+y2=1]，得

[-43+tcosα2+2-73+tsinα2=2].

化简，得

[3cos2α+6sin2αt2-42cosα+7sinαt+32=0].

设[A，B]两点对应的参数分别为[t1，t2]，

根据根与系数的关系，得

[t1+t2=42cosα+7sinα3cos2α+6sin2α]，[t1t2=323cos2α+6sin2α].

因为[PA=2PB]，

所以[t1=2t2].

所以[t1+t22t1t2=t1t2+t2t1+2].

因此[2cosα+7sinα26cos2α+12sin2α=92].

化簡，得[5tan2α-28tanα+23=0].

解得[tanα=235]或[tanα=1].

故直线[l]的方程为[x-y-1=0]或[69x-15y+57=0].

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]周妍，吴丽华. 2020年高考“选考内容”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（11）：51-58.

[3]赵岩. 2020年高考“选考内容”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（11）：59-64.