纤维增强复合材料结构的多尺度随机动响应分析

中北大学理学院 王学斌

纤维增强复合材料在结构上具有多尺度特性与空间随机性，其尺度结构、组份材料性能参数均会影响到材料的力学性能。本文建立了一种基于PCE与Vine Copula方法的多尺度随机力学性能预测方法，能够为CFRP材料的力学性能预测与受力、变形状态评估提供参考价值。

1 材料特性与方法选择

1.1 碳纤维复合材料

碳纤维复合材料又称为碳纤维增强聚合物基复合材料（CFRP），是一种密度低、比模数大、比强度高的轻质复合材料，具备良好的力学性能，在当前电子产品轻量化趋势下被广泛应用于微型电路芯片、锂电池电极等电子产品的制造生产领域。CFRP材料因其制备工艺、存储条件、组成相成分等均具有不确定性特征，这种特征反映在材料性质上主要体现为多尺度力学性能的随机性，最终将作用于材料的随机性能，因此本文拟针对CFRP材料的随机力学性能进行测定，并分析影响材料宏观力学性能预测结果的主要因素。

1.2 多尺度分析方法

当前国内外学者在针对复合材料随机力学性能预测的研究方面取得了一系列进展：一方面从研究纤维束的尺度入手，现有研究成果主要通过调节纤维的角度、位移等参数，通过改变其约束条件生成所需的材料结构。例如有学者建立了一种序列随机扰动算法，结合有限元分析方法判断改变纤维的随机分布结构后，纤维束的力学性能将发生哪些变化；有学者采用随机序列展开方法，以介观尺度作为研究切入点，运用图像分析方法与数学统计学方法建立具有随机性RVE结构，并利用仿真软件实现对结构特征的直观分析；有学者针对影响材料结构排列特征的参数进行相关性分析，运用混合高斯随机序列进行算法重构，重新生成符合随机性特征的RVE模型。

另一方面以解析细观力学方法作为切入点，结合计算细观力学存在的计算代价高等缺陷，将解析细观力学方法运用在不确定性预测研究领域，用于提高计算效率。例如有学者选取复合材料层合板作为研究对象，利用多项式与函数进行材料随机自由振动分析，并运用随机有限元方法进行该材料微观结构的预测；有学者运用Copula函数表示出材料参数对于时复合材料结构、性能的影响，采用摄动法进行材料微观结构的不确定性分析；有学者提出基于PCE的层级传递方法，针对材料微观结构的分布形态进行分析，进而实现对宏观材料力学性能的预测。

然而通过将现有研究方法进行归纳与分析后可以发现，当前针对CFRP材料的研究多局限于选取特定尺度的随机参数，并利用随机有限元法、摄动法等不确定性方法进行研究，研究结果缺乏全面性与普遍性；同时，未能考虑不同随机参数之间的相关性，无法保证材料力学性能预测结果的准确性。基于上述问题，本文拟建立一种基于混沌多项式展开（PCE）与Vine Copula函数的纤维增强复合材料（CFRP）多尺度随机力学性能预测方法，分别基于微观、介观两种尺度建立自上而下层级传递的研究方法，利用非嵌入式PCE方法保证不确定性传递的顺利实现，基于Vine Copula函数实现对随机参数间的相关性对于材料力学性能响应情况的分析，致力于实现对CFRP材料力学性能参数的精确预测。

2 基于解析细观力学方法的材料力学性能预测

2.1 建立CFRP多尺度特征模型

2.1.1 材料多尺度特征分析

本文基于解析细观力学方法进行预测，将CFRP材料各组分的力学性能指标、不同尺度上的几何参数等因素纳入考虑范围中，其中在尺度界定上将CFRP材料划分为微观、介观与宏观三种尺度，分别对应纤维丝、纤维束与单胞。基于连续介质力学模型与平均场均匀化理论，建立自上而下的多尺度串行策略，用于针对CFRP材料的力学性能进行逐级分析与预测。

2.1.2 建立纤维束模型

在介观尺度上，CFRP材料由多根单向纤维嵌入基体内构成纤维束，因此可将纤维束视为单向复合材料。设纤维丝为f、基体为m，纤维丝的体积分数为Vf，弹性模量、剪切模量分别为G，泊松比为u，由此可基于Chamis方程表示纤维丝的力学性能：

将纤维束中纤维丝的直径设为d、数量设为Nfiber、截面积设为sf，纤维束的长、短轴长度分别为a和b，由此即可计算出纤维丝的体积分数。鉴于将纤维束视为单向复合材料，假设纤维束均保持横向、各向同性，由此即可建立纤维束的刚度矩阵，并获取到矩阵中不同元素的数值。当CFRP材料的纤维束出现卷曲变形情况时，基于正弦函数针对纤维束变形的构型特征进行描述，即表示为：

在此基础上，将变形后的纤维束划分为若干微段，以纤维主方向xL为基准，将与之同向的纤维看做单向纤维复合材料。以第N个微段为基准，将F用于表示纤维束的坐标系，将T用于表示转置，H作为转换矩阵，即可建立该微段局部坐标系（xL, yL）之下的刚度矩阵，表示为：

设所选微段的纤维局部坐标系与整体纤维束坐标系间夹角为θ1，则在纤维束坐标系中，可针对不同微段沿主方向进行积分，建立纤维束的等效刚度矩阵，表示为：

2.1.3 建立单胞尺度模型

从宏观尺度针对CFRP材料的力学性能进行研究，主要利用单胞进行材料宏观性能的表征，结合上述求解出的纤维束刚度矩阵即可获得单胞的整体刚度矩阵，并完成坐标转换，生成单胞坐标系下的纤维束刚度矩阵和转换矩阵。通过将各矩阵与参数进行汇总，设单胞体积为Vunit、体积分数为Vmunit，沿x方向进行积分完成纤维束长度的还原与体积分数、弹性模量、剪切模量等参数的求解，建立CFRP材料的宏观刚度矩阵：

2.1.4 模型检验

选取某型号碳纤维丝材料，其弹性模量E11=2 3 0 G P a、E22=18.6GPa，剪切模量G12=20.5GPa、G23=5.05GPa，体积分数v12=0.255，将其以3K形式合成碳纤维束，基体材料的对应参数分别为E11=3.08GPa、G12=1.11GPa、v12=0.35，基于真空导入工艺使材料成型，并且材料密度为1.47 g/cm³。从宏观尺度上针对CFRP材料的力学性能进行分析，利用电液伺服疲劳试验机针对CFRP材料进行准静态轴向拉伸试验，并利用电子万能试验机针对CFRP材料进行准静态面内剪切试验，在试验过程中做好位移控制与加载速率调节，将工程应变率控制在0.001 s-1以内。通过取5次试验平均值，可获得对CFRP试件的宏观轴向拉伸弹性模量与面内剪切模量数据，分别对应60.90 GPa和3.65 GPa。通过观察纤维束的截面显微图像与Micro-CT图像可以发现，本文所选的纤维丝直径为6.23 μm，纤维束的长轴、短轴平均长度分别为1.65 mm和0.11 mm，单层厚度平均为0.21 mm、间距为0.34 mm，将数值代入计算公式中可得出纤维丝在纤维束体积分数中的占比为65.33%，纤维束在单胞体积分数中的占比为67.91%。将上述平均值作为输入参数代入上述模型中，即可获得单向纤维、单胞的力学性能预测结果，连同有限元仿真分析结果进行比较，可以发现采用解析细观力学方法获取到的预测结果与实测结果的相对误差值分别为0.83%和6.32%，由此说明预测结果与试验结果间具备较强的一致性。

2.2 纤维束随机力学性能响应预测

针对纤维束组份材料力学性能、几何参数不确定性两项指标对于纤维束力学性能预测结果的影响进行分析，需从分析CFRP材料的层级结构入手，考虑到在CFRP材料中纤维束长轴、短轴类的跨尺度共享变量，以及多个独立的材料参数，因此可基于混沌多项式展开方法建立分析模型。首先面向随机变量建立一个随机性代理模型，随后针对多项式的正交性质进行描述，再针对截断集进行定义，最后在不确定性传递环节利用回归法进行待定多项式系数的求解，并获取到均值、标准差、偏度系数和峰度系数等具体待定系数的数值，并利用留一交叉验证方法实现对PCE模型预测精度的检验。

将该方法应用于CFRP材料的力学性能预测中，将多项式的阶数设为3，采集50个样本获取到单向纤维的随机力学性能预测结果，并采用留一交叉验证方法进行模型精度校验。观察预测结果可知，其误差最大值为0.47，偏度系数接近0，峰度系数基本保持在3.05左右，由此说明所选的单向纤维力学性能参数服从正态分布。

2.3 单胞尺度的随机力学性能预测

由于纤维束随机力学性能响应预测结果属于同一模型的不同响应，无法避免受到变量相关性的影响，并且存在部分几何参数同时参与到纤维丝体积分数占比与纤维束体积分数占比计算中，体积分数还与等刚度矩阵存在相关性，因此倘若未将相关性纳入随机力响应分析过程中，极有可能导致预测结果与实际值存在较大误差。因此，应从宏观尺度入手将随机参数间的相关性纳入考量范围中，利用Vine Copula函数建立随机变量的联合概率分布模型，再通过Rosenblatt转换获取到独立样本，最后利用PCE进行单胞拉伸弹性模量与面内、面外剪切模量以及体积分数的随机预测。

利用Copula函数针对一元边缘累积概率分布与多元联合分布的关系进行描述，利用Kendall系数进行相关性测度的描述，以累积概率样本集为基准建立相关性模型，将原始样本集进行空间转换，实现多元相关建模要求。为克服模型构造的局限性，可利用Vine Copula函数进行多元Copula函数的分解，利用R-vine方法完成结构构造，由此获取到最优Copula参数与函数模型，在此基础上采用Rosenblatt进行独立性转换，生成单胞力学性能的随机预测结果。采用PCE模型针对预测结果的精度进行检验，获取到验证误差值为0.081、偏度系数值约为0、峰度系数约为3，说明单胞的弹性力学性能参数服从正态分布，与纤维束分析结果保持一致。

总体来看，本文采用基于PCE与Vine Copula函数建立针对CFRP材料随机力学性能的多尺度预测方法，该方法可围绕微观、介观、宏观等多个尺度针对力学性能参数不确定性等影响情况进行分析，PCE模型的交叉验证误差精度均符合要求，并且运用Vine Copula方法充分考量不同随机变量之间的相关性，各系数的误差最大值为0.03，可有效反映出其相关性特征，具备良好适用价值。