相似多选问题例析

赵小冬

中考试卷中选择题、填空题的最后一题常被设置以相似为主要考查内容的多情况、多结论型问题. 这些题综合性强、难度大.为帮助同学们突破这一难关，现举例浅析.

例（2020·黑龙江·牡丹江）如图1，在Rt△ABC中，AC = CB，M是AB的中点，点D在BM上，[AE⊥CD]，[BF⊥CD]，垂足分别为[E]，[F]，连接[EM]. 则下列结论中：

①[BF=CE]，

②[∠AEM=∠DEM]，

③[AE-CE=2ME]，

④[DE2+DF2=2DM2]，

⑤若[AE]平分[∠BAC]，则[EF∶BF=2 ∶1]，

⑥CF·DM = BM·DE.

正确的有 .（只填序号）

解析：采用排除法对各个选项一一验证.

∵∠ACB = 90°，∴[∠BCF+∠ACE=90°]，

∵∠BCF+∠CBF = 90°，∴[∠CBF=∠ACE]，

又∵∠BFD = ∠AEC = 90°，[BC=AC]，

∴[△BCF≌△CAE（AAS）]，

[∴BF=CE]，故①正确.

由[△BCF≌△CAE]，可得[CF=AE]，[BF=CE]，∴[AE-CE=CF-CE=EF]，

如图2，连接[FM]，[CM]，

∵点[M]是[AB]中点，∴[CM=12AB=BM=AM]，[CM⊥AB]，

在[△BDF]和[△CDM]中，[∠BFD=∠CMD]，[∠BDF=∠CDM]，

∴[∠DBF=∠DCM]，

又∵[BM=CM]，[BF=CE]，∴△[BFM≌△CEM]（[SAS]），

∴[FM=EM]，[∠BMF=∠CME]，

∵∠CMB = [90°]，∴[∠EMF=90°]，

∴[△EMF]為等腰直角三角形，

∴[EF=2ME]，

∴[AE-CE=2ME]，

故③正确.

∵∠AEC = [90°]，且[∠DEM] = 45°，∴[∠AEM=45°=∠DEM]，

故②正确.

设[AE]与[CM]交于点[N]，连接[DN]，

∵∠DMF = ∠NME，[FM=EM]，[∠DFM=45°=∠NEM]，

∴[△DFM≌△NEM（ASA）]，

∴[DF=EN]，[DM=MN]，∴[△DMN]为等腰直角三角形，

∴[DN=2DM]，而[∠DEA=90°]，

∴[DE2+DF2=DN2=2DM2]，

故④正确.

∵AC = BC，[∠ACB=90°]，∴[∠CAB=45°]，

∵AE平分[∠BAC]，∴[∠DAE=∠CAE=22.5°]，∴[∠ADE=67.5°]，

∵∠DEM = 45°，∴[∠EMD=180°-∠DEM-∠EDM=67.5°] = ∠EDM，∴[DE=EM]，

∵AE = AE，[∠AED=∠AEC]，[∠DAE=∠CAE]，

∴[△ADE≌△ACE]（[ASA]），∴[DE=CE]，

∵△MEF为等腰直角三角形，∴[EF=2EM]，

[∴][EFBF=EFCE=EFDE=2EMDE=2]，

故⑤正确.

∵∠CDM = ∠ADE，[∠CMD=∠AED=90°]，

[∴][△CDM∽△ADE]，[∴][CMAE=DMDE]，

∵BM = CM，[AE=CF]，[∴][BMCF=DMDE]，

∴CF·DM = BM·DE，

故⑥正确.

故填① ② ③ ④ ⑤ ⑥.

点评：首先，要找准求解的切入点，准确提取题目中相关图形的信息（如等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形）;其次，要认真观察、敢于尝试、大胆思考，将诸多图形的性质、判定综合应用，并结合已知去想未知，结合未知去想需知，从而尝试沟通已知与未知的关系;最后，在思路受阻时，一要有利用已证的结论去为后面小题求解提供帮助的意识，二要抓住问题的实质学会正确添加辅助线，然后通过操作、观察、推理证明已给结论正确与否，从而使问题获解.

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）