卷积型非粘滞阻尼结构随机地震动系列响应求解的虚拟激励法

李创第 贺王涛 葛新广

摘  要：针对卷积型非粘滞阻尼结构在平稳激励下的随机地震系列响应功率谱，提出了显式表达式.非粘滞阻尼模型其核函数卷积形式多采用指数型核函数，将其精确转化为微分型本构关系，便于与结构动力系统进行解耦分析.首先重构非粘滞阻尼结构的地震动方程，运用复模态法对体系进行解耦，获得结构广义坐标表示的一阶状态方程;然后，利用虚拟激励法，获得了结构系列响应（各层相对于地面位移及层间位移）功率谱的统一显式表达式;最后，通过多自由度算例验证了本文方法的正确性与简洁性，为大型复杂的实际工程响应分析提供了新的路径.

关键词：非粘滞阻尼;随机激励;复模态法;虚拟激励法;显式表达式

中图分类号：TU318              DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.01.012

0    引言

阻尼是用来描述结构在振动过程中能量耗散的关键参数，阻尼作用机理较为复杂，因此，众多阻尼模型先后被提出[1-2].其中粘滞阻尼模型认为阻尼力与速度成正比，模型简单而应用广泛，但实际上结构动力系统总是存在滞后现象，粘滞阻尼模型不能有效模拟滞后现象.Biot[3]首先提出考虑滞后效应的阻尼模型，该模型中阻尼力与质点速度的时间历程相关，在数学形式上用质点速度同某一确定性核函数的卷积形式，并通过核函数形式的不同能描述不同机制的阻尼作用，与粘滞阻尼模型相比更具有一般性，故称之为非粘滞阻尼模型.段忠东等[4]利用拉普拉斯变换对非粘滞阻尼模型阻尼系数识别进行研究，研究表明非粘滞阻尼模型在描述结构耗能方面更具有一般性.Liu[5-6]对时程激励下非粘滞阻尼结构的动力响应分析进行了研究，指出非粘滞阻尼特征是许多工程结构地震耗能的主要形式.然而，非粘滞阻尼耗能结构的动力响应分析的文献较少，且仅限于时程激励下的分析.而大量的地震动观测资料研究表明，地震动具有显著的随机性，且影响因素很多，为此，工程界提出了多种随机地震动模型，Kanai-Tajimi地震动激励模型、胡聿贤地震动激励模型、欧进萍地震动激励模型、杜修力地震动激励模型等.其中Kanai-Tajimi地震动激励模型[7-8]由日本学者提出，而其他地震动激励模型均是在该模型的基础上做出修正而来，因此，基于Kanai-Tajimi谱的非粘滞阻尼结构地震动响应的分析研究具有工程应用及理论价值.

研究结构随机地震动响应[9]的方法主要有频率响应法和脉冲响应法.两种方法各有特点.复模态法[10-11]是时域法的典型代表方法.然而，目前时域法基于Kainai-Tajimi的地震动响应分析所得结果均较为复杂[12-14].虚拟激励法[12-15]和传递函数法[16]则是频域法的典型代表，特别是虚拟激励法，极大地提高了计算效率.李创第等[12-13]采用虚拟激励法，将非平稳随机地震激励化为确定性荷载，利用扩阶法得到系统状态方程;给出了系统响应的精细积分解析解.王伟东等[14]利用高效的虚拟激励法和精细积分算法分析非平稳随机激励下的移动手臂动态响应的算法.以上都是虚拟激励法与精细积分法相结合进行响应分析，所得结果较为复杂.目前虚拟激励法将随机激励化为确定性荷载，对于多自由度结构在分析功率谱时采用矩阵运算，具体结构响应表达式不明确，研究基于虚拟激励法的结构响应的显式表达式对于进一步提高分析效率具有重要意义.

本文就卷积型非粘滞阻尼结构随机地震动系列响应（各层相对于地面位移及层间位移）的显式表达式进行了研究，首先获得了多自由度结构非粘滞阻尼的等效微分本构关系;其次重构了非粘滞阻尼结构的地震动方程，运用复模态法对其解耦，获得结构体系广义坐标的一阶微分方程组.然后利用虚拟激励法获得了结构响应频域的显式表达式，并给出了结构各层相对于地面位移及层间位移功率谱的统一简明显式表达式.通过右特征向量矩阵[U]的不同行的响应模态[ui]或[ui-ui-1]来获得某一层或者某一层间位移（层间速度）的功率谱.避免了矩阵之间的运算，提高了分析效率.

1   非粘滞阻尼结构地震动方程重构

如图1所示，该结构为[m]层的线性结构，     式（1）为结构运动微分学的运动方程：

5    算例

建立在7度区二类场地上的3层框架结构，框架结构层质量分别为：第1、2层结构质量均为[m=5×105 kg]，第3层结构质量[m=3×105 kg].各层的结构刚度分别为：第1、2层结构刚度均为[k=2×109 N/m]，第3层结构刚度[k=8×108 N/m].各层阻尼[c=2×106 N·s/m];本文非粘滞阻尼核函数[Gt]采用双指数形式（两分支） [Gt=α1e-α1t+α2e-α2t]，[α1=125 s-1]，[α2=255 s-1].地震动激励采用Kanai-Tajimi谱，其參数取值：场地阻尼比为[ξg=0.72]，其特征频率为[ωg=15.71] rad/s，Kanai-Tajimi谱的激励功率谱中强度因子[S0=31.76×10-4 m2/s3].

5.1   地面位移功率谱对比分析

传统方法中，非粘滞阻尼多自由度耗能结构位移功率谱[Sxω]的表达式为：

由式（20）、式（32）可得本文方法与传统方法中结构1—3层位移响应的功率谱密度函数对比图，对比积分区间范围[0， 50]，频率积分间距为2 [rad/s]，两者完全吻合，说明了本文方法计算结构响应功率谱密度函数的正确性，如图2—图4所示.

5.2  本文方法与传统方法结构响应及响应谱矩计算对比

根据式（21）、式（32）可得;传统方法下各层结构0—2阶响应谱矩[βi]的计算如下：

由式（33）—式（35）可得传统虚拟激励法下结构位移0—2阶响应谱矩，式（22）—式（24）可得本文方法下结构各层位移0—2阶响应谱矩，式（25）—式（27）可得本文方法下结构各层间位移0—2阶响应谱矩.根据结构响应谱矩与响应方差的关系，由式（28）、式（29）可得各层结构响应方差，式（30）、式（31）可得结构各层间位移的响应方差.虚拟激励法采用数值积分在[[0， ∞）]区间进行积分求解是很难实现的，根据功率谱密度函数可知，随着频率的增大功率谱数值越来越小，因此，本文算例积分区间取值范围为[0， 10 000]，频率积分间距为0.5 [rad/s]，两种方法计算结构响应方差及响应谱矩结果如表1、表2所示;各层间位移响应方差与层间位移响应谱矩如表3所示.

由表1、表2对比分析可知，通过改进虚拟激励法与传统虚拟激励法得到的结构响应方差及0—2阶响应谱矩的计算结果基本相同，更进一步验证了本文方法的正确性.

基于同一CPU耗时对比：结构响应方差及响应谱矩的计算效率对比，表1本文方法耗时 [t1=0.041 s]，表2传统方法耗时[t2=0.295 s]，传统方法耗时约为本文方法耗时的7倍.通过两者对比可知本文方法效率更高.

6    结论

针对传统虚拟激励法下进行多自由度非粘滞阻尼耗能结构响应分析时，响应值采用复杂矩阵运算效率低，同时，不能针对具体响应给出显式表达式，不利于工程应用的问题，提出了结构响应显式表达式，获得如下结论：

1）非粘滞阻尼模型采用指数型核函数时，利用核函数的卷积形式表示结构的耗能部分，其具有精确等效的一阶微分方程组，便于利用复模态方法进行动力系统的精确解耦分析.

2）运用复模态法，对平稳激励下的重构后的卷积型非粘滞阻尼多自由度耗能结构微分型本构方程组进行解耦，得到广义坐标的一阶微分状态方程组，然后利用虚拟激励法获得了结构响应频域的显式表达式，即将结构的某一响应表示成复振动特征值的线性组合，避免了复杂的矩阵运算，通过响应方差及0—2阶响应谱矩计算对比，本文方法计算效率更高.

参考文献

[1]     段绍伟，向湘林，沈蒲生.复杂阻尼结构阻尼模型研究[J].振动与冲击，2011，30（2）：73-76.

[2]     尚守平，甘宜诚，蒋林.结构振动阻尼理论模型探究及实验分析[J].地震工程与工程振动，2015，35（2）：166-171.

[3]     BIOT M A. Linear thermodynamics and the mechanics of solids[C]//Proceedings of the Third U.S. National Congress of Applied Mechanics.Brown University，Providence，R.I.，June 11-14 ，1958.

[4]     段忠东，沈洪宇.非粘滞阻尼系统时程响应分析的精细积分方法[J].计算力学学报，2009，26（5）：638-644.

[5]     LIU Q M .Explicit computational method of dynamic response for non-viscously damped structure systems[J]. Mechanics Research Communications，2016（71）：48-55.

[6]     LIU Q M. Computational method of the dynamic response for nonviscously damped structure systems[J]. Journal of Engineering Mechanics，2014，140（11）：04014085.DOI：10.1061/（ASCE）EM.1943-7889.0000806.

[7]     KANAI K. Semi-empirical formula for the seismic characteristics of the ground[J]. Bulletin of the Earthquake Research Institute，University of Tokyo，1957，35：309-325.

[8]     TAJIMI H. A statistical method of determining the maximum response of a building structure during an earthquake[C]//Proceeding of Second World Conference on Earth Quake Engineering （WCEE）.Tokyo，Japan，1960.

[9]     方同.工程随机振动[M].北京：国防工业出版社，1995.

[10]   李创第，陈俊忠，黄东梅，等. 多自由度“加层”结构地震作用取值的复模态法[J]. 哈尔滨工业大学学报，2009，41（4）：201-203.

[11]   李创第，丁晓华，陈俊忠，等. 基础隔震结构基于Clough-Penzien谱随机地震响应分析的复模态法[J]. 振动与冲击，2006，25（5）：162-165.

[12]   李創第，昌明静，柏大炼，等.六参数粘弹性阻尼耗能减震系统非平稳地震响应分析的精细积分法[J].广西科技大学学报，2019，30（4）：15-22，41.

[13]   李创第，王博文，昌明静.设置支撑的Maxwell阻尼耗能结构非平稳地震响应分析[J].广西科技大学学报，2020，31（1）：50-58.

[14]   王伟东，吴冬梅，董为，等.基于虚拟激励和精细积分的移动手臂非平稳随机激励下振动分析[J].振动与冲击，2013，32（20）：72-75.

[15]   林家浩. 随机振动的虚拟激励法[M].北京：科学出版社，2004.

[16]   李创第，丁昊，葛新广.基于传递函数法的单自由粘弹性减震整体系统随机响应分析[J].广西科技大学学报，2017，28（3）：16-25，51.