复变函数与积分变换精品在线课程的建设

丁 蕾

(沈阳工业大学 理学院, 沈阳 110870)

0 引 言

精品在线开放课程是国家一流本科课程“双万计划”的重要组成部分。建设线上一流课程,即国家精品在线开放课程,需将“提升高阶性”“突出创新性”与“增加挑战度”作为基本原则[1],突出优质、开放、共享理念,以打造中国慕课品牌。课程作为高校人才培养体系中最基本的单元,是高校立德树人的重要载体,是专业建设的核心要素,支撑着人才培养目标的达成,直接影响着人才培养质量[2]。

“复变函数与积分变换”课程是高等工科院校许多专业一门重要的基础理论课,其理论与方法广泛应用于后续的专业课。在以往的教学模式中,存在着学时少教学内容多、学生缺少学习主动性、评价体系不够完善以及创新能力的培养被忽视等问题。此外,在互联网、大数据等信息技术被广泛应用于教育领域的今天,传统的教学理念和教学方式正在发生改变,“复变函数与积分变换”课程的教学模式也面临新的变革。因此,课程团队依据课程的特点对其开展线上课程建设,从而改变原有的课程教学模式。

1 建设基于互联网的在线开放课程

在线学习是远程教育的一种形式,它通过互联网或其他数字化内容进行教与学的交互式活动,以促使学习者的个性化学习得到最大限度的发挥。在线学习的主要特征包含以下几点:1)交互的,强调交流、沟通与协作。信息技术作为在线学习的交互性中介,实现了学习者----学习者、学习者----教学者、学习者----环境等多维度联结;2)时空分离的,学习走向无边际化。学习者可以利用网络信息技术自由地体验学习、探究学习,其身体不受时空拘束;3)自主性的,向自适应学习转变。移动学习、云计算和AR技术的深化融合,进一步推动自主学习转向“用人工智能代替教师进行课堂教学,帮助学习者进行个性化学习”的自适应学习[3]。在线学习的特征体现了“以学生为中心,教师为主导”的教育理念,这也正是建构主义教学理论中体现的教育思想。建构主义的教学模式强调以学生为中心,在整个教学过程中教师起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用,利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神[4]。本文基于在线学习的基本特征,结合建构主义教育理论,从课程体系、网上教学资源、课程评价体系等方面对课程进行在线建设。这些网上教学资源与教学视频依托爱课程(中国大学MOOC)平台与超星教学平台在线开放。

1.1 在线开放课程的课程体系建设

课程体系是为实现人才培养目标而设计的具体操作方案,决定了达到人才培养目标的可能性和可行性[5]。课程体系改革,既要改革课程设置,也要改革课程内容,以促使学习者主动学习,提升创新能力[6]。本课程以培养学生自学能力、创新能力为导向,以课程知识模块为教学单元,以知识点为教学内容,将教材中8个单元90个知识点的内容重新划分、整合,并注重知识点之间的相互关系与逻辑顺序,将其重新划分为7个单元80个知识点,并制作了45个教学视频,每个视频在10～15 min,使课程形成较好的知识体系,利于学习者利用业余时间进行碎片化学习。例如:在复变函数的积分模块中将原函数与不定积分放到柯西-古萨基本定理后讲解;将级数模块中的利用洛朗展开式中负一次幂的系数求解复积分的问题,编排到留数知识模块的留数定理中讲解等。

1.2 在线开放课程的网上教学资源的建设和教学视频的制作

1.2.1 网上教学资源的建设

根据在线开放课程的教学需要,以提升高阶性、突出创新性与增加挑战度为原则,以立德树人、价值引领为目标,本课程将原有的教学目标修订为包含知识、能力和素质三位一体的教学目标。教师结合课程内容、知识的实际应用情况编制教学课件和教学知识点解析。为了能及时有效地检验学习者的学习效果,本研究小组编写习题和试题,建立在线试题库,同时增设拓展资料专栏,收集复变函数与积分变换和其他学科交叉应用的相关论文与书籍,提炼成具体的实例,在该专栏呈现给学习者,让学习者进行深层次的学习。例如:利用拉普拉斯变换、傅里叶变换和傅里叶级数求解数学物理方程[7];应用复变函数法进行非圆形洞室围岩弹性力的计算[8];在控制理论中利用拉普拉斯变换建立线性系统的传递函数,由于传递函数的分母就是系统矩阵的特征多项式,进一步可以来判定系统的稳定性[9-10]。

1.2.2 教学视频的制作

教学微视频是线上一流课程的核心资源,制作覆盖课程重要知识点的优质教学微视频是线上一流课程建设的重中之重[11]。课程的学习在于引导学生对知识的自主探究。在教育理念上要尊重学生在教学活动中的主动性和主体地位,在教学内容上要尊重学生对知识的自我选择和自我建构,在教学方法上要让学生在特定的学习情境中去探究知识、建构知识,真正实现知识传递与知识建构的双向互动[12]。在教学视频的讲解过程中主讲教师注重数学思想传授与数学思维培养,突出体现具有数学思想内涵的基本定理的证明,简化过于繁琐的一般定理的证明,秉持“以学生为中心,教师为主导”的教育理念,努力制作出聚焦知识点、短小精悍、易于学习者学习的教学视频。首先,教师呈现出每一知识模块知识点的主脉络和解决问题时所应用的数学知识,为学习者对总体知识体系的理解提供概念性框架,也为问题解决提供知识储备;其次,为引导学习者对知识作进一步理解,将其中的知识点按逻辑顺序进行分化,再将每个知识点按学习任务加以分解并给出相应的概念框架,把学习者的理解逐步引向深入;最后,找准概念框架中的某个节点,将学习者引入问题情境,引导学习者对所学知识进行学习,教师再对知识点加以总结。例如:在复变函数的积分知识模块中,教师整理出6个知识点,并列出每一知识点所用到的数学知识,见表1;在复合闭路定理知识点中,教师按知识之间的逻辑顺序以提问的方式为学习者提供概念框架,见表2;教师以柯西-古萨基本定理推广到复连通区域内的不同情形作为节点,把学习者引入问题情境,再对每一问题进行详细讲解,学习者带着问题在教师的引导下学习,有利于他们对知识的理解和建构。最后,在视频课程结束之前教师对该知识点作出总结,并讲解相关例题,以达到使学习者对复合闭路定理有比较全面、正确的理解的目的。

表1 复变函数的积分知识模块概念框架Table 1 Conceptual framework of integral knowledge module of complex variable function

表2 复合闭路定理知识点概念框架Table 2 Composite closed-circuit theorem knowledge point conceptual framework

续表2

1.3 打造多方位互动课堂

大学存在的目的,并不仅限于传授知识和提供研究的机会,而在于在“富于想象”地探讨学问的过程中,对知识产生深入的理解[13-14]。因此,为了提升本课程的教学效果,使学习者能够完全沉浸在微课堂的教学过程中,课程组教师加强微课堂教学设计,在引导学习者自主学习、合理建构知识的同时,注重师生互动、生生互动机制的建立,打造多方位互动课堂,力求培养学习者的创新性与批判性思维。课堂上学习者与学习者、学习者与教师之间通过学习平台上留言专栏发表自己的观点;课后,学习者在讨论区域针对教师发布的讨论问题留言展开讨论,对不同的观点加以辩论进而得出正确的结论。另外,学习者在作业互评环节,也实现了学习者与学习者之间的互动。例如,在讲解复变函数极限时,教师发布讨论题“复变函数与一元实变函数在一点存在极限的定义是相同的吗?”学习者对于这个问题各抒己见,有的学习者往往会产生思维定势,把一元实变函数在一点存在极限的概念照搬过来,这就产生了错误,教师对于错误的观点给予引导,最终得出正确结论“虽然二者概念表达形式相似,但却有本质上的区别”。复变函数是2对变量上的对应关系,因而复变函数在点z0存在极限需要满足在点z0的某去心邻域内,z无论以何种方式趋向于点z0时,极限都是唯一存在的这一条件。而一元实变函数在点x0存在极限需要满足在点x0的某去心邻域内,x从点x0的左右两侧趋向于点x0时的极限存在且相等的条件。

1.4 构建多元化科学评价体系

多元评价是一流本科课程建设的重要保障,也是增加课程挑战度的关键举措[15]。为激发学习者的学习动力,提升专业志趣,改变只凭借考卷决定课程结课成绩的现状,本课程评价体系由原来的终结性考核向形成性考核转变,采用多元化考核方式,即课程考核为形成性考核与终结性考核相结合的形式。形成性考核包括在线学习过程考核(知识点学习情况、参与讨论情况等)、章节测试、作业题等。为了有效监控教学过程管理,改善教学时空相对分离的状况,更系统全面地测评学习者的阶段性学习效果,本课程评价体系加大了形成性考核成绩在课程总成绩中的比重。其中,在线学习过程考核占总成绩的20%。单元测试成绩占总成绩的30%,单元作业成绩占总成绩的30%;终结性考核以线上期末考试的形式呈现给学习者,试题包括10道选择题、5道判断题和6道主观题,总分100分,占课程总成绩的20%。线上成绩评定均采用百分制,总成绩为形成性考核成绩和终结性考核成绩的加权。

2 结 语

2018年,“复变函数与积分变换”课程获批沈阳工业大学“建设在线开放课程,改革课堂教学模式”课程建设专项重点立项;2019年,在爱课程(中国大学MOOC)平台在线开放;2020年,获批沈阳工业大学省级一流课程培育项目重点立项;同年,被评为“辽宁省一流本科课程”。

教育信息化已经逐步成为变革教育体系、提升教育品质的内生变量。数字化课程是推动高等学校优质课程教学资源通过现代信息技术手段实现共建共享的方式,也是提高人才培养质量、服务学习型社会的有力保障。在今后的工作中,课程团队将从提升学习者的学习效果出发,不断完善线上课程资源建设,主要体现在以下几个方面:1)每年在爱课程(中国大学MOOC)教学平台开放二次课程,使之符合学习者在不同学期对课程的需求;2)不断完善课程体系的历史性、逻辑性以及应用性建设。深刻挖掘课程的知识点在各专业后续专业课中的应用、相关案例及相关科研成果,关注它与不同学科之间知识的交叉应用,使之更加符合学生循序渐进的认知规律,实现“以用促学、以学促教、学以致用”的教育目标;3)不断充实现代化信息资源建设。逐渐增加配合课堂讲授的应用实例和习题解答视频等资源的建设,以演示的方式展现本课程的理论与应用;4)课程组教师及时、高效地进行线上测验、考试、答疑、讨论帖回复与作业批改,使学生取得较好的学习效果。

致谢感谢沈阳工业大学2020年度省级一流课程培育项目(100600168)、沈阳工业大学2020年度本科教育教学改革研究项目和沈阳工业大学2018年度第二批“建设在线开放课程 改革课程教学模式”课程建设专项(100020108)的资助。