以学生为中心的“离散数学”课程教学改革与实践

李艳艳， 周 平

（文山学院 人工智能学院，云南 文山 663099）

“离散数学”是数学与应用数学专业的重要专业基础课，该课程主要通过数理逻辑、集合论、二元关系、代数系统等知识点学习，了解和掌握各种离散量的结构及其相互之间数与形的关系，培养学生抽象思维和逻辑推理的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力[1]。

由于离散数学的定义和定理多，内容抽象难懂，所以课程团队在多年的授课过程中，一直致力于从三方面探索和实践以学生发展为中心的“离散数学”课程教学改革。主要开展的工作有：（1）探索与实践以学生为中心的教学新模式构建，如情景引入、分组讨论、任务驱动、测练融合、总结评价。（2）在课程思政的探索与实践，挖掘主题思政元素落实“立德树人”根本任务。通过深挖教材资源和学科文化，创新典型案例，“润思政”而细无声。（3）创新立体化教学评价。

1 以学生发展为中心的教学新模式构建

1.1 问题驱动式的教学模式

在传授知识的过程中，注重因材施教、有的放矢、一法为主、多元混合的讲授方法；采用多形式的互动教学方法，包括以学生发展为中心的探究式教学和翻转式教学；引入线上线下翻转课堂教学新形式，如：情景引入、分组讨论、任务驱动、测练融合、总结评价。通过教学方法的改进，提升教学质量。

第一章命题逻辑的等值演算部分中，为了解决命题逻辑部分在教学中不能理论联系实际的情况，课程组收集整理了一些教学案例，并将它们应用于课堂教学，从而达到增加学生学习兴趣和应用数学知识解决实际问题的目的。

例如：如果张三作案，那么李四一定是主犯；如果张三没作案，那么王五参与作案。如果李四不是主犯，那么王五没有参与作案。

由此可以推出以下哪项？（ ）

A. 张三没作案

B. 李四一定是主犯

C. 李四不一定是主犯

D. 王五参与作案

E. 张三作案

命题符号化：设P：张三作案，q：李四为主犯，r：王五参与作案，从而推断李四是主犯的结论。

以此类问题抛砖引玉，布置学习任务，将学生分组，自行查阅资料，寻找类似实际问题至少三个，并给出解决过程，形成学习小简报在班级分享。

研究2017版普通高中数学课程标准主题一预备知识的集合常用逻辑用语的衔接研究。一方面为以后从事的教师职业做好知识的储备，另一方面培养学生的数学抽象和逻辑推理的学科核心素养。

第四章第五节等价关系和偏序关系时，通过举例生活中的等价关系和偏序关系，例如在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系，朋友关系不是等价关系，三角形的相似关系是等价关系，直线间的平行关系不是等价关系，字典排序和网页搜索引擎是偏序关系。

让学生以小组为单位，每组说出一种等价关系和偏序关系。这样让学生深深感受到了，离散数学研究的问题，离我们的生活是如此之近和如此有用。通过这样的方式培养了学生学以致用的能力。

1.2 学生为主体，教师为主导的新型学习共同体构建

学生是学习的主体，提高学生自主学习能力、增强学生学习的主动性和积极性在教学中至关重要。在离散数学教学中，让学生充分地参与教学，做自己课堂的主人，而不是听众。重点、核心内容教师讲解，例题、课后作业以小组为单位完成，小组成员抱团成长，给定基础分70分，采取加分制。重要定理、公式，课堂默写过关制，对于表现最优秀的前三名学生，给予小零食作为奖励。通过此种方式，鼓励了先进、惩戒了落后，也拉近了同学们之间的感情。

2 课程思政的探索与实践

2.1 言传身教、立德于行，做行为模范的表率

教师作为学生的榜样，点点滴滴言传身教，教师必须以身作则，爱岗敬业，关心、关爱学生，不断提升自身综合素质，为学生树立良好榜样，达到“亲其师，信其道”的境界。从而实现立德树人，润物无声的育人效果。

第一，提高自身的思想政治觉悟，加强自身的思想道德修养，坚持辩证唯物主义世界观，关心时事政治，无私关爱学生。

第二，认真对待教学，严格要求自己和学生。教师每次课至少早到5分钟，书写一些必要内容；在学生之间走几圈，看看学生课前的状况；但凡布置给学生的作业，都是自己批改，并尽可能的给学生指出错误的原因，给出一定的语言评价，多写给学生几句鼓励和表扬的话。对学生严格要求，上课前早到10分钟，手机调静音并收起来，座位首先坐满前排，否则后面的会调整到第一排，上课不遵守纪律的调整座位并扣分。对于无故不来的同学，课间让舍友打电话，落实原因。

第三，不断充实、提高自身的知识和能力。利用工作之余，多看一些教学相关的书籍和视频，多外出参加一些教研科研相关会议和培训。

2.2 充分挖掘学科史、人物史等丰厚教育资源，实现课程文化育人

第一次课首先讲的是学科的发展史，给学生理清楚离散数学的前世和今生，介绍发展过程中里程碑式的人物和贡献。

第3章集合的基本概念和运算，要对数学的3次世界危机进行较为详细的讲解。

第一次数学危机是公元前5世纪古希腊的著名数学家与哲学家毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”。但是该学派的希帕索斯发现了数学史上第一个无理数的出现，与“万物皆数”产生了悖论，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。第一次数学危机说明了人们探索数学奥秘的勇气和艰辛，为科学献身的伟大和崇高，世界上的好些事不是一帆风顺，培养学生崇尚科学，科学推演，不要主观臆测，要有科学的思维和科学的精神[2]。

第二次数学危机源于微积分工具的使用。牛顿、莱布尼兹各自独立发现了微积分。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击[2]。讲到这里，穿插牛顿和莱布尼茨的人物简介，让同学们多角度地认识和了解他们，从而以史为鉴，扬长避短。

罗素悖论与第三次数学危机。19世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉[2]。关于这次数学危机，重点对于理发师悖论的产生、影响，以及对数学发展的跨域式的推动作用进行图文并茂的讲解。并对康托儿的故事通过视频进行分享，进一步激发学生的科学精神。

讲到第四章二元关系和函数时，首先从给两句名言找作者开始，“知识就是力量”“我思故我在”，借此对近代科学的始祖笛卡尔的人物生平进行介绍，着重对他的成长史进行说明，让学生领会到，人的成长往往不是直线式的，大多是曲线螺旋的，如何在低谷和曲折中，坚持自己的初心和追求，培养学生坚韧不拔的品格。笛卡尔与斯宾诺莎、牛顿、莱布尼茨一样终生未婚，没有享受家庭生活所带来的快乐，让学生在查阅资料的基础上，分析这几位数学家的人格缺陷。

2.3 从马克思主义哲学思想出发，以定义、定理、公式为基础案例，培养学生的辩证思维

对于命题逻辑和一阶逻辑的学习，让学生把握虽然采用的符号化语言不同，但是解决问题的本质初心没变。例如关于命题：如果2大于3，则2大于4。命题逻辑符号化为：p蕴含q，一阶逻辑符号化为L(x,y)：x大于y.a：2.b：3.c：4,L(a,b)蕴含L(a,c)。这体现了变与不变的哲学思想。

对于双重否定律、同一律、排中律、矛盾律的学习，体现了对立统一的辩证关系。

集合主要算律的学习与24个等值式进行比较，让学生通过现象看到事物的本质。

2.4 通过合作式学习，培养学生的团队协作精神

课程开始，就将学生分为4个学习小组，主要安排批改、讲解章节测试题和期末模拟试卷，同时完成第三章集合的基本概念和运算的讲解。组织形式采用组长负责制，并让其他同学对承担任务的小组和个人给出语言和分数的评价，且着重对有待改进的地方进行指导。期末复习阶段，对小组挂科风险高的同学，发出黄牌警告，并安排小组长对其进行督促和帮扶。

2.5 以职业规范引导开展思政教育

文山学院数学与应用数学专业的学生80%以上从事的是中小学数学教师工作，因此在离散数学教学中，要进行职业道德和职业规范的引导，从而培养学生的师德规范和教育情怀。

3 创新立体化教学评价

研究设计与实践线上、线下混合式教学过程中学生学习效果的评价办法。将结果性评价与过程性评价相结合，学生在学习过程中，参与的主动程度、深度与效果等都是评价的主要维度。过程性评价包括出勤、作业、课堂回答问题、章节测试题讲解、线上资源学习简报，按照比重赋予权重。

出勤（基础分100），扣分制，迟到扣2分，旷课扣15分，请假扣2分，违反课堂纪律扣10分；

作业分两部分：（1）书面作业（80分），交作业加1分，作业情况分三个等级A、B、C，分别加2分、1分、0分；不交作业扣5分；（2）章节内容整理情况（分等级按分数计入）。以上两项的平均分即是作业部分的成绩；（3）课堂回答问题（基础分70分），按照团队打分（每学期初将班级分成4组），主动回答一次3分，回答正确加5分，重点培养团队合作能力；（4）期中测验+章节测验（按小组讲解），各占50%，以实际的平均分计入；（5）网络资源学习小简报以及体会交流（以实际打分计入）。

4 总结

根据教学要求，离散数学课程教学研究与探索了以“学生为中心”的教学改革，设计教学案例，示范如何在课程教学中进行课程思政，通过将思政元素融入课堂教学，实现立德树人与知识传授的相互融通；研究、设计与实践线上、线下混合式教学过程中学生学习效果的评价办法。该教学模式的改革，通过近两届学生的实践，取得了较好的效果。