网络攻击下的Markov跳变系统有限时间控制

谭 天 高金凤 王锦霞 汪家琪

(浙江理工大学机械与自动控制学院 杭州 310018)

(tantian5991@163.com)

随着信息技术和工业水平的飞速发展,网络控制系统的研究与应用愈发广泛,传统的“点对点”式控制系统由于其无法满足当前控制对象的远距离、多分布、可监控、数据传输共享的高效率以及网络安全等需求而逐渐被放弃.网络控制系统具有高效的数据通信与共享、安装与维护灵活、集散远程控制等优点,成为当前网络控制系统领域的研究热点[1-2].

网络控制系统(networked control systems, NCSs)是由传感器、控制器、执行器、被控对象以及共享通信网络构成的闭环系统.当前针对NCSs的研究主要问题在于：一方面由于大量的被控对象使用同一通信网络,不可避免地存在网络时延、数据丢包等影响系统性能的问题;另一方面,大量的工业系统追求控制性能和生产效率而忽略了网络系统的安全问题,NCSs一旦遭受网络黑客攻击,极大程度上将造成重大经济损失[3-6].此外,目前大多数工业系统仅在无限时域内维持系统的稳定性,但是关于系统在短时间内稳定的暂态性能的研究,如电力网络、机器人精微控制等仍然较少,有待发展.

Markov跳变系统是一种特殊的随机系统,相应的系统模态由Markov过程进行描述.不同模态之间的切换即是Markov跳变过程,也称作Markov链.系统的参数由于会受到外界因素的干扰而发生随机跳变,因此,实际生产生活中的许多对象都可以抽象为Markov跳变系统.对于Markov跳变系统的研究也因此具有理论意义与实际意义[7-11].

基于上述关于Markov跳变系统和网络攻击的问题,有许多学者发表了极具价值的研究文章.干珊珊等人[7]基于双边时延和丢包的Markov跳变系统,研究了其有限时间控制；Liu等人[12]对遭遇随机网络攻击的T-S模糊NCSs,研究了其量化稳定性质；Tan等人[8]对不确定Markov跳变系统在无限时间域内的混杂驱动机制进行了研究；Gao等人[9]在离散时间非齐次Markov跳变系统的基础上,设计了相关的有限时间观测器,并将推导的结论应用到在直流电动机中进行仿真,证明了推导定理的有效性；Zha等人[10]在Markov跳变系统的基础上,研究了事件触发机制和量化对公共信号传输网络的优化问题,通过减少无效信号的传输以降低通信负担；Ren等人[11]对正定Markov跳变神经网络在有限时间内的稳定性进行了研究；Wu等人[13]在NCSs遭受欺骗攻击的情况下,设计了相关的有限时间事件触发滤波器,并通过仿真验证了其定理的合理性和有效性；Shen等人[14]对于T-S模糊Markov跳变系统,研究了其有限时间事件触发的H∞控制,并通过实际应用例子仿真说明了系统在有限时间内稳定.

综上所述,本文研究了在遭受网络攻击情况下,Markov跳变系统的输出反馈有限时间H∞控制,其中为了降低无效数据的传输量,降低网络通信带宽负担,提升系统性能,采用了混杂驱动机制和双通道量化.本文的主要工作包含以下几个方面:1)建立输出反馈Markov跳变系统的数学模型,引入混杂驱动机制和双通道量化,减少数据传输率,提高系统性能;2)引入网络攻击模型模拟系统遭受外部攻击,在此情况下系统依然保持稳定的状态;3)根据有限时间定义和H∞范数有界定义,证明了系统在渐近稳定的情况下能够保持有限时间稳定且满足H∞性能指标.

1 问题描述与系统建模

1.1 系统描述

考虑如下所示的Markov跳变系统:

(1)

其中,ϑ(t),y(t),z(t)分别表示状态向量、测量输出与控制输入；u(t)表示控制输出；N(t)表示注入系统的外部扰动信号.它们均满足:ϑ(t)∈m,y(t)∈n,z(t)∈p,N(t)∈q,其中且满足

其中,λij表示从模态i跳变到模态j的转移概率.

为方便表示,令rt=i,则Art,Brt,Crt,Drt,Ert,Frt分别由Ai,Bi,Ci,Di,Ei,Fi替代.

为研究本文所涉及的系统的稳定性,我们定义如下输出反馈控制器:

u(t)=Kiy(tkh),

(2)

其中,t∈[tkh+τtk,tk+1h+τtk+1),i∈S,Ki表示系统处于不同模态时控制器的增益,τtk表示传感器到控制器、控制器到执行器的时延,也即系统时延.

1.2 混杂驱动机制

对于网络控制系统,在保证系统通信质量良好、维护系统稳定性的前提下,尽可能地减少“无效信号”的传输与发送,以节省网络带宽资源和降低网络通信负担.基于文献[15],我们利用混杂驱动机制以处理信号传输问题.

1.2.1 时间触发机制

传感器在固定时间进行数据采集的模式,称为时间触发机制.定义系统时延ћ(t)=t-tkh,其中t∈[tkh+τtk,tk+1h+τtk+1),此时,相应的控制器为

u1(t)=Kiy(t-ћ(t))=KiDiϑ(t-ћ(t)),

(3)

其中0≤ћ(t)≤ћm,ћm表示系统时延的上界.

1.2.2 事件触发机制

为解决时间触发机制数据冗余的弊端,文献[16]提出了一种新的数据采集方式,即事件触发机制.混杂驱动机制是由伯努利分布将时间触发与事件触发进行统一.与时间触发的固定周期数据采样方式不同,传感器采集的信号要进行传输,其需要满足以下条件[17]:

(4)

其中,ek(t)=ϑ(tkh)-ϑ(tkh+sh),且s为非负整数,数据传输时间的区间为[tkh,tk+1h),Ω为正定对称加权矩阵,且δ∈[0,1].

根据文献[18],将Markov跳变系统建模为等价的时滞系统,其相应的输出反馈事件触发条件变为

(5)

ϑ(tkh)=ϑ(t-τ(t))+ek(t),

(6)

根据式(2)和式(6),相应的系统控制器为

u2(t)=Kiy(tkh)=KiDiϑ(tkh)=
KiDi[ϑ(t-τ(t))+ek(t)],

(7)

根据系统模型式(1)与事件触发条件式(5),在本文研究的系统中,当违背以下事件触发条件时,采样信号才得以传输:

(8)

综上,基于文献[15]可以得到基于混杂驱动机制的控制器:

u†(t)=α(t)u1(t)+(1-α(t))u2(t)=
α(t)KiDiϑ(t-ћ(t))+(1-α(t))×
KiDi[ϑ(t-τ(t))+ek(t)],

(9)

1.3 量 化

在当前网络控制系统中,面对大量的分散数据采集点发送数据的情况,传输所有的数据显得不现实.有学者提出了量化技术[19],将连续信号离散化,从而在通信时仅传输少量量化后的数据,降低了网络通道负担.根据文献[20],定义量化器h(y)=[h1(y1)h2(y2)h3(y3)…hn(yn)]T,设置于传感器端,其中,hi(yi)为

h(x)=(I+Δh)x.

(10)

同理,类似于h(y),另一侧通道的量化器可表示为

g(x)=(I+Δg)x.

(11)

综上所述, 在混杂驱动机制的基础上,考虑双通道的量化器,有如下控制器:

uqs(t)=α(t)Ki(I+Δh)(I+Δg)Diϑ(t-ћ(t))+
(1-α(t))Ki(I+Δh)(I+Δg)Di[ϑ(t-τ(t))+
ek(t)]=α(t)(Ki+ΔKi)Diϑ(t-ћ(t))+
(1-α(t))(Ki+ΔKi)Di[ϑ(t-τ(t))+ek(t)],

(12)

其中ΔKi=ΔgKi+KiΔh+ΔgKiΔh.

1.4 欺骗攻击

在通信网络中,由于网络安全的缺失,使得网络系统在传输数据的过程中极易遭遇来自外界的攻击,欺骗攻击属于其中的一种攻击方式.攻击者通过向公共网络通道中注入欺骗信号,达到干扰正常信号传输的目的,造成系统的失稳甚至崩溃.为了处理这样的问题,文献[22]提出了一种方式,将欺骗攻击建模为如下形式:

(13)

其中H为常系数矩阵,表示攻击上限.

忽略欺骗攻击的时延,在控制器侧有

(14)

在该Markov跳变系统中,若欺骗攻击事件发生在传感器采样输出之前,根据式(13)(14),有

u(t)=uqs(t)+β(t)[KiDiξ(t)-uqs(t)].

(15)

根据式(12)～(14),系统的输出反馈控制器可以改写为

u(t)=(1-β(t))α(t)(Ki+ΔKi)Diϑ(t-ћ(t))+
(1-β(t))(1-α(t))(Ki+ΔKi)Di[ϑ(t-τ(t))+
ek(t)]+β(t)KiDiξ(t).

(16)

综上所述,本文中基于混杂驱动机制的Markov跳变连续系统可定义为

(17)

为方便稳定性定理的证明,下面给出相关的定义与引理.

定义1[23].给定正标量参数和正定矩阵(ε1,ε2,R,d)及时间区间t∈[0,T],其中T>0,0<ε1<ε2.Markov跳变系统式(17)是有限时间有界的,如果以下条件成立:

定义2[24].在定义1的基础上,当系统处于零初始条件,Markov跳变系统式(17)满足参数γ>0的有限时间H∞性能水平,即

引理1[25].若存在τ(t)>0且属于[τlest,τhest]和适维矩阵Mi(i=1,2,3),如下不等式成立:

(τ(t)-τlest)M1+(τhest-τ(t))M2+M3<0,

且等价于

(τhest-τlest)M1+M3<0,(τhest-τlest)M2+M3<0.

2 主要结果

在本节中,针对基于混杂驱动机制和量化的Markov跳变系统,在遭遇欺骗攻击的情况下,推导了该系统在有限时间内的H∞稳定性定理.

(18)

(19)

其中

证明. 针对闭环Markov跳变系统式(17),考虑构建如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)，

(20)

其中

V1(t)=ϑ(t)TPiϑ(t)，

求取泛函式(20)的导数及期望:

令

根据自由权矩阵方法及引理1:

以上是在无限时间内系统的稳定性证明,下面考虑在有限时间内系统的稳定性.

由式(18)可知:

(21)

对式(21)左右同乘以ße-ßt,并根据Newton-Leibniz公式从0到T进行积分,可以得到:

E{V(0)}≤λ†ε1,

其中

另外

E{ϑ(t)TPiϑ(t)}≥λmin[Pi]E{ϑ(t)TRiϑ(t)}.

由此,式(19)成立,即Markov跳变系统式(17)是有限时间有界的.针对系统式(17)的H∞性能,有

对等式左右同乘e-ßt,并在零初始条件下对其在0到T进行积分,可以得到

证毕.

3 数值仿真

为说明本文所提出的定理的有效性,本节将给出2个仿真实例进行验证说明.

例1.考虑如下系统参数.

模态1:

模态2:

混杂驱动杆状图如图1所示,状态响应曲线如图2所示.

图1 触发杆状图(例1)

图2 状态响应曲线(例1)

由图1可知,在混杂驱动状态下,数据的传输量为24,即在采样周期为0.1的情况下,30 s内的数据传输率为8%,且系统在有限的时间内能够趋于渐进稳定.此外,在系统中设计的攻击信号函数,模拟了控制系统在遭遇网络攻击的情况,系统依然能够在有限时间内恢复稳定,表明了本文提出并推导的定理的有效性.

例2.考虑风光微电网直流发电系统如图3所示:

图3 风光微电网直流发电系统结构示意图

风能与太阳能作为清洁能源,其取之不尽可再生的特点使得应用风能与光能发电的理念越来越普及.由于风能与光能作为自然能源是不可控的,因此采用Markov跳变系统对光伏发电与风力发电系统进行建模,使2种发电模式在实际中可以互补,最大程度保障发电系统的稳定性.

根据该微电网系统结构图,令rt=i={1,2}表示2种跳变模式,系统发电在光伏与风能之间进行切换.令x1(t)表示发电端输出功率,x2(t)表示负载功率.相关控制系统的参数矩阵为:

Markov跳变系统的转移概率和外部攻击参数与例1相同.利用LMI工具箱,可以求得控制器的反馈增益为:

混杂驱动杆状图如图4所示,状态响应曲线如图5所示.

图4 触发杆状图(例2)

图5 状态响应曲线(例2)

从图4与图5可以看出,当微电网系统在遭遇外部攻击时,系统依然可以在有限时间内保持稳定状态,表明了本文推导的定理在实际应用中依然具备有效性.

4 结 论

本文针对基于混杂驱动机制和量化的Markov跳变系统有限时间输出反馈控制进行了研究,利用伯努利分布统一了时间触发机制和事件触发机制,在数据传输与系统性能之间确定了新的平衡关系.在传感器-控制器和控制器-执行器2个通道设置了对数量化器,降低通信网络的带宽占用率.此外,考虑当前工业网络安全问题,将相关的网络攻击模型引入系统.利用线性矩阵不等式,给出了系统在有限时间稳定的充分条件,并利用仿真验证了提出的定理的有效性,表明当系统遭受外部的网络攻击时依然能够在有限时间内维持稳定.在未来的研究计划中,我们将在现有的研究基础上,在Markov跳变系统中引入模糊控制与神经网络,以研究在不同的控制作用下系统的各项性能差异.