“平均数”的本质及小学生理解水平解析

刘加霞 北京教育学院初等教育学院院长，教育心理学博士，教授，教育部国培专家库成员;提出“把握数学本质是一切教学法的根”“实证研究学生是有效教学的根本”“培训实质是改变与创新”等观点，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《课程教材教法》《中国教育学刊》《中小学管理》《人民教育》《小学数学教师》《小学教学》等期刊发表论文百余篇，著作有《小学数学有效教学》《小学数学有效学习评价》《小学数学课堂教学设计》等。

算术平均数（本文简称“平均数”）是统计学中最基础、最重要的概念之一，它具有反应灵敏、简明易解、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等优点，是当下小学数学“统计与概率”领域刻画数据集中趋势的唯一统计量（小学阶段不涉及众数、中位数），平均数被用来描述一组数据的“平均水平、整体水平”。一般地，小学生对平均数的理解有三个水平：算法水平、概念水平与统计水平。这三个水平的具体含义及行为表现是什么？是否有明确的评价标准判定学生达到某个水平？本文将结合教材内容、名师教学进一步分析阐述。

一、平均数的概念本质与功能

平均数是通过加工原始数据得到的，它不是“客观”存在的，具有“虚拟性”。例如，某个小组平均收集了5.2个矿泉水瓶。如何让学生体会用平均数作“代表”的合理性？平均数的“代表性”有何功能？笔者梳理小学数学不同版本教材中涉及平均数的问题情境，以进一步理解平均数的概念本质与功能。

情境1：甲小队4名学生投篮比赛成绩（用统计表或象形统计图呈现）分别是：7、8、7、6，乙小队5名学生的成绩分别是：4、5、6、8、7。哪个小队投篮水平更高？（类似情境还有已知某支球队每名队员的身高数据，判断该球队队员身高的整体水平）

情境2：每3秒呈现10个数字，记录下每次可以记住几个数字。淘气5次记住数字的情况（以统计表方式呈现数据）分别是：4、5、5、7、9，淘气能记住几个数字？或者是：淘气平均每次记住几个数字？（类似情境还有统计一周家庭用水量、某种商品售出数量等）该问题换为“哪个数能代表淘气记忆数字的水平”更好。

情境3：五位小朋友用直尺测量同一支铅笔的长度，记录每次测得的数据（单位：厘米）如下：15、15.3、18、15.1、15，你认为用哪个数代表这支铅笔的长度更合理？可以算一算，并写出你的理由。（类似情境还有评奖时各位评委所给分数，计算平均分为何“去掉最高分、最低分”）

情境4：根据有关规定，我国对学龄前儿童实行免票乘车，即一名成年人可以携带一名身高不足1.2米的儿童免费乘车。1.2米这个数据可能是如何得到的呢？据统计，目前北京市6岁男童身高的平均值是119.3厘米，女童身高的平均值是118.7厘米。请根据上面信息解释免票线确定的合理性。

分析这4个问题情境可以看出，平均数适用于描述未分组的离散型原始数值数据，进一步分析可以看出，如果“数据”的来源与意义不同，那么这组数据的平均数的意义与用途也不同，小学阶段大致分为两大类，有三种具体情况。

第一类是不涉及抽样的情况，有限个样本数据就是总体，前述情境1～3就是这一类。该类又分为两种情况：其一是数据描述某一样本空间中各个元素的特征，这时可以用平均数来描述这个“集合”的整体水平，也可以比较两个同类集合整体水平的高低。例如，情境1中数7、6分别代表甲、乙两个小队投篮的整体水平，比较哪个小队投篮水平更高，这时平均数主要有描述、比较的功能，还不具备统计意义。其二，数据是同一个量的几次测量值，这组数据的平均数既可以描述样本数据的整体水平，也可以用来预测、推断这个量的期望值，或者估计真实值，例如情境2和情境3。根据大数定律规定，试验或测量的次数接近无穷大时，测量数值的平均数几乎肯定地收敛于期望值，这时的平均数具有统计意义。

第二类是数据需要通过抽样获得，用样本数据的平均值代表总体水平的情况，例如情境4中“北京市6岁男童的平均身高”是通过抽样得到的，这时的平均数具有统计意義。用样本的平均数代表总体水平时，学生理解平均数有一定的困难，所以大多数教材选择“样本就是总体”的情境，即样本是固定的某个小队、小组等（数据个数有限）群体的整体水平。

二、小学阶段平均数的理解水平解析

研究表明，小学生对平均数的理解有三个水平：算法水平、概念水平、统计水平。算法水平主要表现为会计算（总和除以个数、移多补少）一组数据的平均数，这是深入理解平均数的基础。学生只会计算平均数还不够，还要理解平均数的概念本质与价值，即达到后两个水平的理解。学生的理解达到概念水平主要体现在：会求平均数，知道平均数是代表一组数据整体（平均）水平的量值、平均数的大小易受极端数据影响（敏感性）等特性。达到统计水平主要体现在：在前两个水平的基础上，能够解释并体会平均数作“代表”的合理性，主要表现为三个方面：平均数与某个数据（可以是原始数据中的某个，也可以是众数、中位数，虽然小学阶段不涉及这两个集中量数，但学生对其理解不难）对比感受其合理性;知道什么情况下用平均数做判断、做预测的结论更“好”;知道所做的判断、预测不能“百分百”地正确，平均数作为代表进行预测时有意外，有“翻车”的可能。

前述情境1～3，以及常见的“统计一年每个月的水费，再求每月的平均数;教材上某小组收集的水瓶、篮球队队员的身高数据等”，这里所求的平均数只是概念水平，代表这组数据的整体水平，学生只理解这层含义还达不到对平均数的统计水平的理解。

一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动就能带来平均数的变化”，即平均数的敏感性。一般说来，数据具有随机性，因此所获得的数据具有随机误差，但不排除人无意犯错误或有意人为干扰所获得的数据，这时数据的“误差”超出“可接受范围”，产生“极端数据”，这样得到的平均数不能很好地描述整体水平。正如情境3中，数据“18厘米”值得“怀疑”，可能是错误测量导致，用平均数代表铅笔长度时，要把18这个数据去掉，求另外四个测量值的平均数。评奖大赛去掉最高、最低分也是这个道理，这样的理解可以说达到了统计水平的理解。

学生能达到统计水平的理解主要取决于对数据随机性的认识，而小学生对数据随机性的理解有难度，因此，要求小学生对平均数达到统计水平的理解是一种高标准的要求。理论上说，国家课程标准应该规定有多少学生达到该水平即满足课程标准要求，但这方面没有具体规定。为什么说达到统计水平有难度呢？看下面的分析。

比如测量一个东西，每次测量结果未必都一样，有随机误差，可以用算式x=u+ε（x是测量数据，u是真实数据，ε是随机误差）表示。在测量过程中，只有测量数据是已知的，其余两个量都是未知的，这样没法运算，所以就需要多次测量。例如测量n次，得到n个算式，其中真实数据是不变的，测量值、随机误差是变化的，随机误差有时为正，有时为负，这n个算式相加，当随机误差之和为0时，平均数就可以代表真实数据，但多次的随机误差之和很难为0，则用平均数来估计（代表）真实数据，这就是平均数（准确说是算术平均数）的统计学意义。如果每次测得的数据差异较大（尤其有极端数据时），随机误差或系统误差非常大（不排除人为因素导致），用平均数来代表真实值或者刻画整体水平就不合适，去掉极端数据，使平均数更具有统计学意义，是对平均数的“高水平”理解。

三、“好情境”“好问题”助力高层次理解

浙江省小学数学特级教师俞正强在《种子课2.0》一书中说：虽然能让学生做对题目，但他们并没有真正理解平均数，甚至有的学生下课后还说“平均数就是平均分”。这一方面说明学生对平均数的理解达到后两个水平确实有难度（学生生活经验少，容易受“因果型”“二元型”思维支配），另一方面也与教师选择的情境与问题有关。例如，有的教师设计如下情境：5个笔筒中分别插了3、4、2、5、1支铅笔，怎样做可以使每个笔筒的铅笔数一样多？这样的问题情境无意中强化了“平均数就是平均分、平均数是‘每份数”这一错误认识，因为通过操作，学生“看到”“每份一样多”“每份是多少”，與以前所学“平均分”一样，弱化了对平均数是代表这组数据的平均水平或整体水平的认识。选择“好情境、好问题”特别重要，下面分析俞正强老师教学“平均数”时的问题情境。

俞正强老师设计的“哪个数能代表跑步水平”的问题很巧妙，具体为：二年级某小朋友，跑了五次60米，所用时间如下（单位：秒）：15、14、12、10、14。他需要填写这张表：60米，我大约要跑 秒。俞老师设计一系列问题，如：这位小朋友填了15，却又划去了，同学们知道为什么吗？后来这位小朋友又填了10，过了一会儿也把10划去了，同学们知道为什么吗？同学们认为这位小朋友最好应填几？等等。基于学生已有的对跑步时“超常发挥、正常发挥、失常发挥”的生活经验，让学生对比、体验用哪个“数”代表跑步水平更恰当。其中，“这位小朋友最好填几？13秒这个数，小朋友根本没跑出来过，填上去是不是不诚实啊，能填吗？13秒没有跑出来过，跟所给的数据有什么关系？”等问题的教学，直接揭示了平均数的本质——预测、估计某个量的真实水平，引导学生对比不同数据的“代表性”各有优劣的情况下，理解用平均数作“代表”的合理性。这样的教学能使学生认识到下一次跑步，不一定跑出13秒，但13秒也不是天外来物，是通过统计学生多次跑步情况算出来的，统计更多次的跑步成绩所得的平均数更能代表他的跑步能力。这样的情境比“人数不同的两个小队谁的水平高”更符合平均数的本意，更有利于学生对接已有的生活经验，强化平均数虽然与平均分有关，但意义截然不同的认识，使学生既能达到概念水平的理解，又较容易达到统计水平的理解。

此外，要使更多学生达到统计水平的理解，需要增加、延长学习平均数的时间。第一次学习使学生达到“概念水平”的理解，初步感悟平均数的统计意义;第二次学习通过解释现实生活中的平均数，使学生初步感悟抽样所得到的样本平均数可以代表总体水平，真正体会平均数“代表性”的“好坏”（统计学不研究“对错”）。

助理编辑 刘佳