常见棱柱体渠道断面临界水深是否唯一的证明

摘 要：临界水深是缓急流的判别标准，当水深小于临界水深水流处于急流状态，而水深大于临界水深则处于缓流状态。在常见的渠道中临界水深是否唯一关系到一些理论问题，比如若出现两条临界水深，两临界水深之间的水流处于什么状态？临界水深还是不是等深线？等等问题。因此有必要对临界水深是否唯一进行深入严密的分析论证。

关键词：常见;棱柱体渠道;临界水深;唯一。

临界流时的相应水深称为临界水深，一般用hk表示，即断面形状、尺寸和流量一定的条件下Fr=1时对应的水深。临界水深hk是缓流和急流的判别标准，大于临界水深的水流是缓流，而小于临界水深的水流是急流。但我们首先需要弄清楚临界水深是否唯一，如果出现两条或两条以上临界水深，又该怎么判别缓急流？

棱柱体渠道中，当流量Q一定时，临界水深线是一条等深线。在各类底坡中，它的值是固定不变的。那么其前提首先应该是临界水深线唯一，但这一点还未经证明。已知满足αQ2/g=ω3/B条件的水深为临界水深，对常见断面渠道，我们来试作证明。

一、矩形断面，因为αQ2/g为常数，而ω3/B=B2hk3为单调递增函数，则满足αQ2/g=ω3/B条件的hk唯一，即矩形断面临界水深唯一。

二、三角形断面，因为ω=1/2Bhk，即ω3/B=1/8B2hk3，同样由于B，hk均单调增大，则1/8B2hk3单调增大，即满足αQ2/g=ω3/B条件的hk唯一，就是三角形断面临界水深唯一。

三、梯形断面，ω3/B=（b+mh）3h3/（b+2mh）=（b+mh）3h2/（b/h+2m），因为b、m为常数，随h增大，分子增大，而分母减小，则整体递增，所以等式右侧也是单调递增函数，说明梯形断面渠道hk唯一。

四、圆形断面，ω3/B=[d2/8（θ—sinθ）]3/dsin（θ/2）=d5[θ/sin（θ/2）—2cos（θ/2）]/83。因为cos（θ/2）当θ在0o—360o范围时，为单调递减。而θ/sin（θ/2）的一阶导数为[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]/sin2（θ/2），[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]的导数为（θ/4）sin（θ/2），（θ/4）sin（θ/2）在（0o—360o）区间大于零，即[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]单调递增，而当θ=0o时，其值为零;则θ>0o时，[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]>0。所以[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]/sin2（θ/2）>0，即θ/sin（θ/2）单调递增，而2cos（θ/2）单调递减，则θ/sin（θ/2）—2cos（θ/2）单调递增。所以满足αQ2/g=ω3/B条件的值只有一个，即hk唯一。

五、抛物线形断面，y=ax2，ω=∫0h2xdy=∫0h4axdy=2ah2。B=2x=2√（h/a）。所以ω3/B=4a3.5h5.5，单调递增。即hk唯一。

六、多边形，由上下两个梯形组成，下梯形下底b0、上底b1、高h0、边坡系数m0。上梯形下底b1、上底b2、高h1、边坡系数m1，已知0<m1<m0。对下边梯形一定单调递增（已证），那么，上边梯形及上下过渡时是否单调递增呢？A0=（b0+m0h0）h0，b1=b0+2m0h0。设水深为t，当t>h0（t<h0+h1），因为ω=[b1+m1（t-h0）]（t-h0）+A0，B=b1+2m1（t-h0），ω/B=[b1+m1（t-h0）+A0/（t-h0）]/[b1/（t-h0）+2m1]=[b1+m1（t-h0）-2m1A0/b1]/[b1/（t-h0）+2m1]+A0/b1。因為b1/（t-h0）递减，所以分子递减而分母递增，所以为单调增函数。而ω2必递增，所以ω3/B必递增。上下梯形交界处，即水深为h0处若水深增加dh，ω1/B1—ω0/B0=[（b0+m0h0）h0+（b0+2m0h0+m1dh）dh]/（b0+2m0h0+2m1dh）—[（b0+m0h0）h0/（b0+2m0h0）=[（b0+2m0h0+m1dh）dh-（b0+m0h0）h0·2m1dh/（b0+2m0h0）]/（b0+2m0h0+2m1dh）。因为分子>b0dh+2m0h0dh+m1dh2-2m1h0dh，因为m0>m1所以分子>b0dh+m1dh2>0。所以ω1/B1>ω0/B0，又因为ω12>ω02，所以ω13/B1>ω03/B0，即ω3/B必递增，所以hk唯一。

七、复式断面，若在槽的底部出现一临界水深，当水深达到与滩底面齐平时，由于ω3/B中ω未变，而B突然增大，使ω3/B减小，则水位继续上升的时候，可能会再次出现αQ2/g=ω3/B的情况。因此复式断面可能会出现两条临界水深的情况。

参考文献：

[1]禹华谦.工程流体力学[M].3版.北京：高等教育出版社，2017.

[2]吴持恭.水力学[M].5版.北京：高等教育出版社，2016.

[3]许珊珊.水力学与桥涵水文.北京：化学工业出版社，2015

[4]高学平，张效先.水力学.北京：中国建筑工业出版社，2006.

[5] 杨红霞，水力学与桥涵水文.北京：机械工业出版社，2018

作者简介：

尤海峰 男 ，讲师 ，1974年9月生 ，工学硕士学位，多年来在内蒙古大学交通学院桥梁工程系从事水力学与桥涵水文的教学，研究方向是力学。