发展数学建模核心素养教学实践

郑林 丘远青

2020年9月福建省高中全面实施新课程、使用新教材，数学建模的实践和活动进入到必修教材中.在课堂上如何有效开展数学建模活动，让高中生亲身体验数学的实际应用价值，取得在以往的数学学习中难以收获的宝贵经验和感受，应是高中数学教师积极探索的课题.本文分享一节开展数学建模活动课的案例.

1教学内容解析

《停车距离问题》是《普通高中数学课程标准（2017年版）》第116页的案例7，是新教材数学建模活动课的内容.通过停车距离问题的探究，让学生經历提出问题、确定变量、探寻关系、建立模型、分析模型、运用模型的数学建模一般过程，从中体会到数学在实际问题中的应用价值，感悟数学与现实之间的关联，积累独立思考和合作交流的经验.

2教学目标设置

（1）针对停车距离问题的分析，让学生体会在熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题，能够选择合适的数学模型表达所要解决的问题，体验数学建模的一般步骤;

（2）引导学生基于合理假设，构建数学模型，分析模型参数的实际意义，并以此检验结果、完善模型，运用数学语言表达数学建模的过程和结果，发展学生数学建模核心素养;

（3）培养学生思维的开放性和创新意识，增强交通安全意识，养成自觉遵守交通规则的良好习惯.

3教学案例实录

3.1创设实际情景，提出问题

教师活动：看几张高速路上汽车追尾事故的照片.如果开着车行驶在高速路上，怎么样才能降低追尾事故发生的可能性？考虑这个问题，首先要思考导致汽车追尾事故发生的因素有哪些？

生1：车速、天气、路面情况、汽车刹车性能、司机是否疲劳驾驶、酒驾、醉驾等.

教师活动：这些因素都会影响一辆高速行驶的汽车迅速停稳需要的距离，我们需要研究车辆的停车距离受什么因素影响最大.

设计意图《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》（国办发[2019]29号）中强调，在全面实施新课程、使用新教材的过程中，要“积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学”.本节课在教学实践中，以问题导向的形式从看似与数学无关的实际生活场景中获得本次数学建模活动的研究对象：汽车在急刹车的过程中，停车距离受什么因素影响最大，这个因素如何影响停车距离.

3.2抽象实际问题，确定变量

教师活动：课前以小组的形式布置这些问题给同学们思考和讨论，谁来分享你们小组的想法？

生2：车辆的行驶速度是影响停车距离最大的因素.司机的身体状况、天气、路面情况、汽车性能是否正常等其他因素是随机的，理想状态下把它们看成是不变的量.

教师活动：大家都一致认同停车距离受车速的影响最大，其他次要因素我们暂时看成是稳定不变的.这节课来研究车速是如何影响停车距离的.我们将车速v看作解释变量，停车距离d看作预报变量，去考察这两者之间的相关关系.

设计意图对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题并确定变量是用数学方法构建模型解决问题的第一步.受到高中生学习内容的局限，影响停车距离的主要因素确定为车速，忽略次要的影响因素，为学生后面成功构建距离与车速关系的数学模型奠定基础.

3.3分析数据，探寻变量关系

教师活动：我们引用一组样本数据来研究停车距离d和车速v的相关关系，参考北京工业出版社《数学建模》记录的一组美国公路局公布的试验数据，请生2继续分享你们小组的想法.

生2：暂定d=f（v），数据可看作13个（v，d）的样本点，利用Excel软件上的散点图发现样本点大致分布在一条曲线附近，这条曲线对应的函数是单调递增的，增加速度有越来越快的趋势，所以不考虑一次函数和对数函数.用指数函数去拟合感觉不错，用二次函数去拟合效果更好.

生3：试试三次函数，再比较一下拟合系数R，拟合效果比二次函数更好.

教师活动：二次函数y=0.0106x-0.4102x+16.669，它的R=0.9988，三次函数d=6x10v-0.0045v+0.7003v-7.5609，它的R=0.9998，都很接近1.对于这13组数据，为了追求最佳的拟合效果，增加最高项次数直到函数图像经过所有的样本点，这样的多项式函数出现了“过拟合”现象.

设计意图在探寻距离与车速变量间关系的时候，学生提出拟合的函数类型不唯一时，教师引导学生利用不同函数的增长特征，选择合适的函数模型来描述样本点的趋势.既要考虑数据的特点，也要考虑函数类型的简洁，将拟合函数顺利过渡到二次函数模型.

3.4利用数据，建立函数模型

教师活动：二次函数和三次函数拟合效果都很好，三次函数的最高项系数6×10，非常接近于0，这一项可以忽略不计.从函数简洁的角度选择二次函数，大家还有不同的想法吗？

生4：实际生活中，当v=0时，d=0.拟合函数怎么有接近17的常数项呢？直接用二次函数进行拟合看来不够合理.

教师活动：回到最初的探寻关系，再重新考虑v与d的关系.从实际生活经验出发：在高速公路上，司机看到前方车辆在自己的视野里变大并意识到危险，在这很短暂的时间里可以假定汽车是匀速行进的.当司机作出反应，踩下刹车，汽车才会在制动系统作用下做匀减速直线运动直至停下.所以v与d的关系分成两个阶段描述更符合实际，

生5：回到13组数据，可以得到13个a，β的估计值，取平均数得到a，β的最终估计值，从而得到函数模型d=0.21v+0.006v.这里的系数0.21刻画了司机在紧急刹车时的反应情况，对于身体状态稳定的司机这个值是常数.而系数0.006由汽车和地面情况决定，正常的车辆行驶状态下这个系数也是常数.

设计意图数学建模活动没有现成的答案，没有固定的求解方式，学生们要相互讨论，反复钻研并相互切磋.这个过程以“头脑风暴”的形式进行，活动过程中师生集思广益、群策群力，既是在建立模型，也是在改进模型，让学生体验到物理理论模型中各项系数背后的实际意义，深刻认识模型的结构和理解该模型稳定的原因.

3.5结合生活经验，分析模型

教师活动：比较两个不同角度得到的二次函数模型，大家觉得哪个更优？

生5：从物理理论推导的模型稳定.去掉表格中任意一个样本点，模型中a，β精确到千分位的估计值没有变化，这两个参数的稳定性确实应该和司机状态、轮胎路面情况相关，和车速没有直接关系，和实际情况吻合.

生6：拟合的二次函数优点和缺点都是因为它来源于数据，从表格中13个（v，d）的数据拟合效果来看，肯定拟合出来的二次函数刻画散点的趋势效果更好.对于在样本点范围内的速度去估计停车距离，用Excel得到二次函数有优势.而速度不在样本数据范围内，就可能会得到异常的估计效果，比如v=0时，d≈17.另外正是因为电脑追求最佳拟合效果，只要样本点改变，这个二次函数的系数会随之改变，因此这个模型不稳定也是它的缺点.

设计意图在实际生活经验中发现模型的不足，也在数据中认识到模型的优势，学生在交流中将模型的优缺点辩证思考，一一呈现.学生表达出自己对本次数学建模活动内容的理解，也体验了科学发展往前步步推进的一般过程.

3.6课堂归纳小结，课后作业

教师活动：我们来整理一下这节课的内容，大家談谈自己的收获？

生7：当面对生活中的问题时，我们首先应该确定变量，然后通过试验或者调查得到数据，再用函数的工具去刻画数据关系，找到合适的数学模型.

学8：通过这节课的学习我发现，数学作为工具学科可以在其他学科中发挥作用，物理学科也是一个工具学科，它也可以在数学学习中发挥作用.

教师活动：著名的统计学家乔治·博克斯说：所有的模型都是错误的，但是有一些模型是有用的.基于物理机理建立的模型符合客观规律，是稳定可靠的.用这个模型为汽车的刹车系统改进提供建议，给高速路上限速警示牌和车距标识的制作提供理论支持，减少了追尾事故的发生，这就是成功的数学模型的应用价值.课后请学生以小组合作的形式，整理课堂内容，以小组为单位完成一份关于《停车距离问题》的数学建模学习报告.

4课后感悟总结

4.1数学建模活动充分落实立德树人的育人宗旨

通过数学建模活动课的体验，让学生感受到学科之间的交融，理论知识与实际生活的紧密联系.学生能深刻认识到数学的实际应用价值.本次活动通过学生对高速行车急刹车模型的建立，从数据分析的角度培养了学生安全行车的习惯，不疲劳驾驶，注意控制车速和保持车距等，在数学课堂上落实立德树人的育人宗旨.

4.2确定数学建模活动选题的原则

数模活动课的选题内容要来源于实际生活，背景最好是学生熟悉并有一定的挑战性，学生在课堂上才会踊跃发言，积极参与，这样的活动课有意义有乐趣.课堂内容学生要有必要的知识储备，让数学建模活动也成为理解和综合应用相关知识的过程.更能激发学生主动的学习热情，体验到生活处处有数学.

4.3充分发挥信息技术的辅助作用

在信息时代我们生活在无处不在的数据之中，获得数据、筛选数据、利用数据、处理数据都离不开信息技术，学生对新鲜事物的学习和感受力很强，这对授课教师也提出了更高的要求.对于一些数学建模常用的软件，教师应该去关注并学习使用，如Excel.MATLAB.R软件等.

4.4建模活动重点关注“活动的过程”

数学建模课的设计应以活动形式为主，引导学生自主探究、合作学习、个性展示、协作支持、交流分享、反思拓展，这种全新的体验是学生前所未有过的.数学建模是数学走向应用的一种方式，面对实际问题，学生要在教师的引导下确定变量、探寻关系、形成模型并分析优劣，再到实际应用，在这个过程中形成和发展了数学建模的核心素养.

数学建模活动课从实际生活的场景开始，引导学生从数学的角度去思考问题，确定合适的变量后探究变量之间的关系，从数学应用的角度感受函数是构建数学模型的有力工具.在高中阶段让学生体会数学建模让数学走出封闭的世界，构建数学与现实世界的桥梁.