高速列车非线性空气悬架自适应反步控制研究

李 硕，马 顺，李艳山，王 宇，陈晓龙

（中车青岛四方机车车辆股份有限公司，山东 青岛266580）

高速列车的悬架系统对列车的平稳运行发挥着非常重要的作用[1-3]。传统的列车悬架系统由一系悬架组成，不存在控制系统，平稳性相对较差。高速列车在一系悬架的基础上增加二系空气悬挂，使得列车舒适性大大增加，空气悬架的应用对于提高高速列车的平顺性和舒适性具有巨大的作用。

目前对于高速列车悬架系统的研究，主要集中在悬架系统控制算法以及悬架结构和参数优化方面。如邓力等[4]针对传统半主动控制的缺陷，提出了开闭环优化控制算法，大大提高了列车横向运动的稳定性。曹青松等[5]考虑了列车在运行过程中的干扰，利用标准正交基函数进行预测控制。闫红卫等[6]比较了连续型和开关型天棚阻尼控制的优缺点，提出了适用于不同场合的控制方式。于日伟等[7]建立的耦合系统包括座椅、车体和转向架，并提出悬挂参数联合优化方法。崔庆霞等[8]和陈志辉等[9]通过准零刚度隔振方法，在二系悬挂结构中加入一对横向线性弹簧，使车体的垂向振动明显减小。

以上学者在研究过程中，忽略了悬架系统非线性对于控制效果的影响。由于二系悬架为空气悬架，存在着许多非线性因素，这些非线性因素在一定的载荷激励和频域范围内表现十分突出，对控制效果具有非常大的影响，且线性控制策略并不适合于非线性系统[10]。因此本文着重研究二系空气悬架的非线性特性，并通过仿真分析了不同速度以及干扰下的车体的振动情况，为后续高速列车的平顺性控制研究奠定了基础。

1 建立模型

1.1 系统模型的建立

二系悬挂的核心是空气弹簧，而空气弹簧具有典型的非线性特性[11]，采用一般的线性控制方式会产生比较大的控制偏差。因此本文通过研究空气弹簧的非线性进而对整个悬架系统进行非线性控制。本文选用前进牌1884N 型橡胶空气弹簧，并在文献[12]的研究基础上，利用其实验得出的数据，进行空气悬架的控制研究。本文选取高速列车2自由度非线性空气悬架作为研究对象，并假设车轮在轨道运行过程中不脱离轨道面，其模型简图见图1。

图1 悬架系统模型

根据牛顿第二定律，其运动学方程可描述为

其中：

式中：ms为车体质量；mu为转向架质量；Fk为二系空气悬架刚度，k1,k2,k3为空气弹簧的刚度系数；Fc为二系空气悬架阻尼；bc1为空气弹簧的阻尼系数；u为主动悬架的控制力；Fs为系统受到不确定的外部扰动，因为受到的外部扰动不可能无限大，因此该外部扰动是有界的；Ft为一系悬架刚度系数；Fb为一系悬架阻尼系数；zs为车体的位移；zu为转向架的位移；z0为轨道激励输入。

1.2 路面激励模型的建立

本文所采用的路面输入为德国轨道高低不平顺功率谱密度[7]，其表达式如下所示：

式中：z0为高速轨道路面不平顺输入，v为列车行驶速度，Ωc、Ωr为截断空间频率，Av为轨道粗糙度系数。

2 自适应反步控制器设计

2.1 控制器设计

式中：参数θ有界，即θmin≤θ≤θmax；Fs有界，即Fs≤D；且：

针对上述状态空间方程设计控制器，取跟踪误差为

式中：x1r为参考轨迹信号，当跟踪误差尽可能的小，会达到控制的目标。对上式进行求导可得：

选择x2作为误差动态的虚拟控制输入，其理想函数为α，则两者之间的误差为

则公式(5)可以重新写为

因此，该控制器的目标是设计一个虚拟控制率α，使得跟踪轨迹误差e1尽可能的小，选择第一个Lyapunov函数为

对上式进行求导可得：

选择如下的虚拟控制率：

式中：t1为一个正常数。则式(9)可以改写为

从上式可以看出，当e2→0 时，那么V˙1= -t1e21≤0，就可以保证e1是渐进趋近于零的。

对e2进行求导可得：

为了消除系统外部扰动对系统的影响，采用滑模控制的等效控制和切换控制的思想，选择的控制律为

式中：t2为正实数，那么有：

取系统的自适应率为

则式(15)可以改写为

由系统Lyapunov定律可知，随着t→0，V2→0，则e1与e2也将趋近于0，则系统可以达到预定的目标。

为了削弱系统抖振带来的危害，采用饱和函数代替符号函数的做法[13]，令控制律为

2.2 系统零动态响应

为了找到系统的零动态响应，令e1=0=0。因此可以得到：

将上式(19)代入到中，可以得到：

从上式可以看出，此2 阶系统的所有特征根都具有负实部，具有Hurwitz 判据特征,因此该系统的零动态是渐近稳定的。

3 仿真验证

3.1 模型参数选取

由于外部扰动信号有范围，因此本文假设为

空气弹簧参数选取参照前文所述文献[12]，选取参数为0.8 MPa 下的空气弹簧试验拟合系数，其他系统参数选择参照文献[14]，具体数值如表1所示。轨道激励参数选取如表2所示，低干扰谱采用的速度为300 km/h，高干扰谱采用200 km/h。控制器参数选取如表3所示，且控制器设计过程中的参考轨迹信号设置为0，即车体的参考信号为不振动，利用MATLAB/Simulink对系统进行控制仿真。

表1 悬架系统参数选择

表2 轨道激励参数选择

表3 控制器参数选择

3.2 低干扰300 km/h路面激励响应

低轨道路面激励模型如图2所示，仿真时间为10秒。

图3所示为车体的垂直振动位移仿真结果，图4所示为车体的垂直振动加速度仿真结果，图5所示为车体质量的变化曲线，图6所示为车体的垂直振动位移功率谱密度曲线，图7所示为车体的垂直振动加速度功率谱密度曲线仿真结果。

悬架系统的作用在于降低车体上乘客的振动，提高列车在运行过程中的平顺性和舒适性。通过图3以及图4可以看出，在低干扰300 km/h的路面激励下，综合考虑了车体质量的变化以及外部扰动的影响，所设计的控制器能够非常好地降低车体的垂直振动和位移，同时图6和图7的频域仿真结果验证了时域的仿真结果，说明所设计的控制器的有效性，突出了控制器在降低车辆位移和振动的巨大作用。

图2 路面激励输入

图3 车体垂直位移响应

图4 车体垂直振动加速度响应

图5 车体质量变化

图6 车体位移PSD

图7 车体垂直振动加速度PSD

3.3 高干扰200 km/h路面激励响应

低轨道路面激励模型如图8所示。仿真时间为10 秒。图9所示为车体的垂直振动位移仿真结果，图10所示为车体的垂直振动加速度仿真结果，图11所示为车体质量的变化曲线，图12所示为车体的垂直振动位移功率谱密度曲线，图13所示为车体的垂直振动加速度功率谱密度曲线仿真曲线。

通过分析图9至图13可以发现，控制器不仅在低干扰300 km/h 的情况下具有非常好的控制效果，在高干扰200 km/h的路面激励下依然能够保持非常好的控制效果。该控制器使得悬架系统发挥了更加明显的作用，不仅能够使得系统抗外部扰动的性能更强，还可以减小车体在运行过程中的位移以及振动。由此验证了控制器的有效性。

4 结语

本文在非线性空气悬架的试验基础上，利用所得到的试验数据建立2 自由度高速列车模型，进而针对该模型进行控制研究。在控制器设计时，既考虑到车体由于乘客数量的变化而出现的范围波动，即参数的不确定性的情况，又兼顾了高速列车在运行过程中可能出现的扰动，因此所设计的自适应反步控制器不仅能够解决系统非线性带来的影响，而且能够解决系统参数的不确定性影响，还可以依靠切换控制的思想来解决系统外部扰动带来的影响。仿真结果显示控制器可以有效地提升悬架性能，证明了控制器的稳定性，从而满足了悬架系统的控制性能要求，使其能应对不确定参数和扰动对系统的影响，达到控制悬架系统增强高速列车的平顺性和乘坐舒适性的目的。

图8 路面激励输入

图9 车体垂直位移响应

图10 车体垂直振动加速度响应

图11 车体质量变化

图12 车体位移PSD

图13 车体垂直振动加速度PSD