例谈“面积法”在“三角形角平分线模型”中的巧用

徐乐乐 王玮玮

【摘要】“三角形角平分线模型”中蕴含“同高”“等高”的特点，巧用三角形的面积公式，可以直观、快速地建立起边角联系，突破难点.建构三角形角平分线模型，呈现三角形面积法在典型题中的一次、二次应用，结合角平分线的性质定理及逆定理可以破解难题;归纳模型的性质结论和应用题型，引导学生在解题中恰当运用三角形面积法，从而发展学生的数学思维和几何模型思想.

【关键词】三角形面积法;角平分线的性质;几何模型

一般而言，在平面几何题的求解过程中，运用三角形面积公式和由面积公式推出的相关结论来计算或者证明的方法，称之为面积法.但是，三角形面积法在日常教学中，往往容易被学生和教师忽视.在初中数学几何难题中，常会包含三角形的角平分线的有关问题，虽然用常规的方法可以解决，但是步骤烦琐、计算量大，有时辅助线的添加还不明了.本文通过分析“三角形角平分线模型”问题的特性，在解题时巧妙应用三角形面积法，最终收到良好的教学效果.

一、三角形的角平分线模型

在三角形的角平分线模型中，由角平分线的性质可知：角平分线上任意一点到角两边的距离相等.所以，学生能自然联想到原三角形被角平分线所分得的两个三角形的高相等，结合三角形面积法，就可以将同高 （或等高）的两个三角形的面积比转化为底之比.

如图1，BD是△ABC的角平分线，则由定义可知，∠ABD=∠CBD=12∠ABC.如图2，过点D分别向边AB，BC作垂线DE，DF，则DE，DF分别是△ABD和△CBD的高，由角平分线的性质可知DE=DF，则S△ABDS△CBD=ABBC.

我们不妨把图2称为“三角形的角平分线模型”，它完整地呈现了三角形的性质的推导过程;从“面积法”的角度看，它直观地呈现了被角平分线分得的两个三角形的底和高，并且是较为特别的“等高”三角形.当我们建立了这样的双视角几何模型，就能够在常规的“角相等”的基础上，发展出“边成比例”的结论.从而为含有角平分线的几何难题提供了新的解题思路——构造等（同）高，巧用面积法.

二、角平分线模型的应用

1.面积法在模型中的一次应用

例1 如图3，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①S△AEB∶S△AEC=AB∶AC;②∠DAE=∠F;③∠DAE=12（∠ABD-∠ACE）;④∠AGH=∠BAE+∠ACB.其中正确的结论是.

分析 这个题目是八年级数学期中考试的压轴题，这是一个几何图形综合题，难度很大，学生的正确率只有10%.②③④都是关于角的结论，通过角的转化可以推导出三个结论都是正确的，此处省略.①就是典型的三角形的角平分线模型的直接应用.如图4，通过抽离出△ABC，并作出边AB，AC上的高，由于角平分线的性质，高相等，因此，面积比转化为底之比，①正确.

例2 如图5，在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，求证：

（1）AE=DC;

（2）HB平分∠AHC.

分析 很多老师和学生都对这个类型的题目非常熟悉，并且形象地称为“手拉手”模型，这个模型的图形特征是两个形状相同、大小不同的特殊图形（等边三角形、正方形等）绕着一个公共顶点旋转，在变化的过程中有着许多不变的结论，属于典型的动态变化过程中的不变性问题.

例2中，△ABD和△BCE都是等边三角形，则存在对应相等的边和角，结合公共夹角构造出新的等角，从而证得△ABE≌△DBC，故AE=DC得证.第（2）问是关于角平分线的判定，此题如果采用常规的角相等去证明会十分烦琐，而采用角平分线的判定定理，如图6，作出两个全等三角形的高线，通过面积法证明就非常简便.教学中，学生常常会有强烈的顿悟感，感觉柳暗花明、十分巧妙.

证明 过点B作BM⊥AE，BN⊥CD.

（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，

∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°.

∵∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，

∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE=DC.

（2）由（1）知△ABE≌△DBC，

∴S△ABE=S△DBC，即AE·BM2=DC·BN2，

∴BM=BN.

又∵BM⊥AE，BN⊥CD，

∴HB平分∠AHC.

变式 如图7，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，求证：PA+PC=PE.

分析 如图8，此题通过连接BD与CE就变成等边三角形“手拉手”模型.过点A向两边作高线，构造三角形的角平分线模型.结合三角形面积法与角平分线的性质便可证得∠APB=60°;在BC边上截取PG=PA，连接AG，则△APG为等边三角形，进而证明△APE≌△AGC，PA+PC=PE得证.

2.面积法在模型中的二次应用

例3 如图9，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，求证：ABBC=ADDC.

分析  此题求证的边之比相等是典型的相似三角形问题，常规方法就是构造相似三角形，利用边的转化求证.当换个思路——用三角形的面积法，会收到意想不到的效果.如图10，过点D分别向边AB，BC作垂线，则DE，DF分别是△ABD和△CBD的高，由角平分线的性质可知，DE=DF，则S△ABDS△CBD=ABBC.如图11，过点B向边AC作垂线，BG是△ABD和△CBD的公共高，S△ABDS△CBD=ADDC，所以ABBC=ADDC.

例4 （2016年深圳中考23题（1）（2）问）如图12，抛物线y=ax2+2x-3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（1，0）.

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标;

（2）如图12，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标.

分析 第（1）问为基础考查，易得点A的坐标为（-3，0），抛物线的解析式为y=x2+2x-3.对于第（2）问，将图形简化，如图13，可以理解为PO平分∠APB，这就是三角形的角平分线模型，采取与例3的相同方法，二次应用三角形面积法得PAPB=AOBO=3，将点P的坐标设为（x，x），列方程（x+3）2+x2=9（x-1）2+9x2，解得x=32（0舍去），故点P的坐标为32，32.

通过上述例题发现，在三角形的角平分线模型中巧妙使用三角形的面积法，会为解题带来极大的便利.无论是一次应用还是二次应用，其依据都是同高（等高）的两个三角形的面积之比等于底之比.理解并熟练掌握三角形的角平分线模型的特点与结论，便能在复杂的问题中快速想到解题思路，通过辅助线的添加构造模型.在教学过程中，要利用基本几何模型将复杂的问题简单化，透过问题看本质，从而提高探究问题的能力和数学核心素養.

【参考文献】

[1]黄孝培.浅谈三角形面积法在初中几何问题中的基本运用[J].中国数学教育初中版，2019（7-8）：90-93.

[2]祝林华.角平分线模型的构造及应用[J].初中数学教与学，2015（07）：24-26.

[3]王霞，房文慧.最短路径与几何定值[J].中学数学教学参考，2020（08）：41-46.