一类平面向量线性表示问题的简单解法

郑美华

【摘要】平面向量是高中数学的重要知识点，它融数、形于一体，是代数、几何与三角函数的交汇点.本文在数学学科核心素养下，以三点共线定理引出推论，简化一类平面向量线性表示问题的求解.

【关键词】平面向量线性表示;三点共线定理;推论;简化求解

平面向量在人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修四第二章，平面向量是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一.以平面向量为载体，结合其他知识的考查也是历年全国各地高考命题的一大亮点，常常与解三角形、解析几何、三角函数等内容交叉渗透.高考对这部分的考查常以选择、填空的形式出现，题型较稳定，而解选择、填空的基本要求和策略是：准确、迅速.

在“平面向量”的复习教学中，数形结合是重要的思想方法之一，理解向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，学生往往不能做到恰当转化.数形结合的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系.一方面，复习中学生要时刻注意二者的联系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面，学生也可选择恰当的例题，对某些几何特征量进行归纳，逐渐学会“由数到形”的思维能力.

一、平面向量三点共线问题拓展

1.定理

图1如图1，已知O是直线AB外任意一点，则A，B，P三点共线的充要条件是PO=λOA+μOB，λ+μ=1（λ，μ∈R）.当点P在线段AB之间移动时，λ，μ∈（0，1）;当点P落在AB延长线上，λ<0，当点P在BA延长线上，μ<0.

2.推广

问题：如图2，当点P落在与直线AB平行的直线l上，且l与点O的距离是直线AB与点O距离的12，λ+μ=12吗？反之亦然吗？

图2证明：延长OP交AB于Q，则OQ=xOA+yOB，x+y=1.

∴OP=12OQ=12xOA+12yOB，

∴λ=12x，μ=12y，

∴λ+μ=12x+12y=12.

反之，当λ+μ=12时，我们来证明满足这个条件的点P都在直线l上.延长OP交AB于Q，则OQ=xOA+yOB，x+y=1.设OP=tOQ，则OP=txOA+tyOB.

∴λ=tx，μ=ty，

∴λ+μ=tx+ty=12，∴t=12，

∴OP=12OQ，

∴点P在直线l上.

同理可证：（1）当点P落在与直线AB平行的直线l上，且l与点O的距离是直线AB与点O距离的2倍时，λ+μ=2，反之也成立.（图略） （2）当点P落在与直线AB平行的直线l上，直线AB与直线l分别在点O两侧，并且点O到直线AB与直线l的距离相等时，λ+μ=-1，反之也成立.（图略）

3.推论

通过以上三个特殊的例子，可以得到一般性的结论：

已知O是直线AB外任意一点.

（1）当点P所在直线l平行于直线AB，两直线在点O同侧，并且点O到直线l的距离是点O到直线AB距离的n倍，则点P落在直线l上的充要条件是λ+μ=n;

（2）当点P所在直线l平行于直线AB，两直线在点O异侧，并且点O到直线l的距离是点O到直线AB距离的n倍，则点P落在直线l上的充要條件是λ+μ=-n.

证明：（1）“必要性”：设OP或其延长线与直线AB交于Q，则OQ=xOA+yOB，x+y=1.

∴OP=nOQ=n（xOA+yOB）=nxOA+nyOB，

∴λ=nx，μ=ny，

∴λ+μ=nx+ny=n.

“充分性”：设OP或其延长线与直线AB交于Q，则OQ=xOA+yOB，x+y=1.

设OP=tOQ=txOA+tyOB.

∴λ=tx，μ=ty，

∴λ+μ=tx+ty=n，

∴t=n，

∴OP=nOQ，

∴点P在直线l上.

综合以上，推论（1）得证.

（2）证法同上.

有了三点共线定理的推论，可以大大简化某一类平面向量线性表示问题的解法.

二、平面向量三点共线问题应用

图3例1 如图3，A，B分别是射线OM，ON上的两点，当向量OP分别满足下列条件时：①OP=13OA+23OB;②OP=43OA+23OB;

③OP=13OA+13OB;④OP=43OA-13OB.

点P分别落在哪一个区域？

解法一 直接在图上作出每一种情形的向量OP.

解法二 ①由三点共线基本定理可知点P在线段AB上.

②OP=13OA+23OB+OA，运算即可求得点P在二区，③同理可求.

④有的学生可能会利用图形分析发现它在BA延长线上.

解法三 ②OP=43OA+23OB=223OA+13OB，结合①可知点P在二区.

③OP=13OA+13OB=2312OA+12OB，同上可知点P在一区.

④可类似直角坐标系象限符号判断，若学生未提及，看学生具体情况可稍加点拨.

解法四 由三点共线定理推论，由基底的系数符号及系数和即可判断点P的位置.

解析 （1）由基底系数和是1且都是正数，点P在线段AB上.

（2）由基底系数和比1大，且都是正数，点P在二区.

（3）由基底系数和比1小，且都是正数，点P在一区.

（4）由一个系数是负数判断点P在三区，再由系数和是1可以进一步判断点P落在线段BA的延长线上.

例2 三角形的角平分线定理：如图4，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，则ABAC=BDDC.已知点O在AD上，满足AO=2OD，AC=2，BC=4，AB=3，且AO=xAB+yAC，利用三角形的角平分线定理可求得x+y的值为（  ）.

A.415    B.25    C.815    D.23

图4解法一 ∵ABAC=BDDC=32，∴BD=35BC，

∴AO=23AD=23AB+BD

=23AB+35AC-35AB

=2325AB+35AC，

∴x+y=2325+35=23.

解法二 过O作BC的平行线，由推论知，x+y的值即为直线l到点A的距离与直线BC到点A距离的比值，即线段AO与AD的比，故选D.

图5

例3 （2017全国3理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（  ）.

A.3B.22

C.5D.2

解法一 由题意，画出图形，如图5所示.设BD与⊙C相切于点E，连接CE.以点A为坐标原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立平面直角坐标系，则点C的坐标为（2，1）.

因为|CD|=1，|BC|=2，所以|BD|=12+22=5.

因为BD与⊙C相切于点E，所以CE⊥BD，

所以CE是Rt△BCD斜边BD上的高，

∴|EC|=2S△BCD|BD|=2·12·|BC|·|CD||BD|=25=255，

即⊙C的半径为255.

因为点P在⊙C上，所以点P的轨迹方程为（x-2）2+（y-1）2=45.

设点P的坐标为（x0，y0），可以设出点P坐标满足的参数方程x0=2+255cos θ，y0=1+255sin θ.

而AP=（x0，y0），AB=（0，1），AD=（2，0）.

因为AP=λAB+μAD=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ），

所以μ=12x0=1+55cos θ，λ=y0=1+255sin θ.

兩式相加得

λ+μ=1+255sin θ+1+55cos θ=2+2552+552·sin（θ+φ）=2+sin（θ+φ）≤3其中sin φ=55，cos φ=255，

图6当且仅当θ=π2+2kπ-φ，k∈Z时，λ+μ取得最大值为3.故选A.

解法二 如图所示，由定理推论，可得λ+μ的最大值为3.

通过以上几个例子，我们归纳出OP=xOA+yOB这一类平面向量线性表示问题的解法：（1）由基底前系数的符号及系数和可以判定点P的位置.（2）由点P位置的变化，过点P作与AB平行的直线l，由直线l与点O距离和直线AB与点O距离的比值可以得到基底系数和的范围，从而得到基底系数和的最大或最小值.

三、结 语

总之，平面向量是一个运算的工具，它具备形与数转化的便利.教学过程中，教师应该不断地让学生尝试发散思维，在显著的几何特征图形中寻找向量关系，在代数运算的情景下构造向量关系，并能归纳解题模型.平面向量问题是多姿多彩的，利用其运算的几何意义来发掘平面的内在本质是解决平面问题的有效手段，也充分体现了数学学科核心素养在解题教学过程中的渗透.

【参考文献】

[1]胡传虎.平面向量三点共线定理在高考中的运用[J].数理化学习（高中版），2020（03）：36-39.

[2]黄鹏程.用几何法处理平面向量中最值问题[J].中学数学教学，2020（03）：48-51.

[3]罗贤旭.一道平面向量题解法探究[J].中学数学研究，2020（03）：34-36.