例析几何体外接球运算中的等量关系

马国良

【摘要】本文论述了几何体外接球运算中常见的等量关系.第一，文章论述了外接球运算的等量载体，指出等量的关键——“面心距（几何体底面到球心的距离）”，利用载体归纳出一般等量关系：R2=r2+d2（R为球半径，r为底面外接圆半径，d为面心距）;第二，文章分别分析了两类特殊几何体外接球的面心距，其中“正锥型（包含正棱锥和圆锥）”中d=h-R（h为几何体的高），“直柱型（包含直棱柱和圆柱）”中d=h2.利用文章归纳的等量关系，可以使高中外接球运算变得相对简单.

【关键词】外接球;面心距;等量关系

立体几何在高考中占有很大的比重，而外接球运算更是近年高考的热点问题，但好多同学缺乏空间想象能力，不能很好地进行运算，特别是一些文科生，连特别常规的题型也束手无策.因此，如何指導学生快速分析出外接球运算中的等量是值得研究的问题，下面是笔者归纳的一些关系，供读者参考.

一、球半径等量分析

三、案例分析

（一）等量载体

例1 （2012年全国Ⅱ卷）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为.

分析 本题直接告诉了面心距d和底面半径r，可以直接用等量关系R2=r2+d2.

解 由R2=r2+d2，球半径R=3，故V球=43πR3=43π（3）3=43π.

评析 球体中几何法的关键是“面心距”，球半径、底面半径、面心距构成了一个直角三角形.

（二）正锥型

例2 若正四面体的边长为3，则其外接球体的半径是多少？

分析 正四面体是特殊的正棱锥，其外接球等量满足R2=r2+（h-R）2，这样不用画图就可以快速进行运算.

解 正四面体的底面半径r=33a，h=a2-r2=63a，由R2=r2+（h-R）2，得球半径R=64a.故R=364.

评析 很显然，我们如果能够把握“正锥型”几何体的特征，搞清其外接球运算的等量关系，进行相关运算就非常容易了.

（三）直柱型

例3  若正六棱柱底边长为6，高为16，则其外接球体的半径是多少？

分析 正六棱柱属“直柱型”，满足公式R2=r2+h22.

解 由正六边形外接圆的半径等于边长，得底面半径r=6，h=16，由R2=r2+h22，得球半径R=10.

评析 我们如果能够搞清楚几何体的外接球运算的等量关系，不用画图，直接就可以进行运算了.

（四）一侧棱与底面垂直的棱锥

例4 若三棱锥P-ABC的底面边长AB=6，AC=8，AB⊥AC，侧棱PA=24，PA与底面垂直，则其外接球体的半径是多少？

分析 三棱锥P-ABC不是正棱锥，但通过“填补”可以得出其与以△ABC为底面，PA为侧棱的直三棱柱共外接球体，可以通过“直柱型”等量关系予以计算.同时，如果继续“填补”，发现其与分别以AB，AC，PA为长、宽、高的长方体共外接球体，长方体外接球体半径是其体对角线，即R=a2+b2+h22（a，b，h分别为长方体的长、宽、高）.

解 方法一：几何体的底面半径r=BC2=102=5，h=PA=24，由R2=r2+h22，得球半径R=13.

方法二：由长方体球半径R=a2+b2+h22，得R=62+82+2422=13.

评析 本题中棱锥虽不是“正锥型”，但通过“填补”发现可以转化为“直柱型”几何体的外接球问题，并且是更特殊的长方体，学生只要能够熟练掌握这些几何体外接球运算的等量关系，就可以轻松解决问题.

（五）长方体

例5 （2017年全国Ⅱ卷）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.

分析 长方体外接球体半径是其体对角线，即R=a2+b2+h22（a，b，h分别为长方体的长、宽、高）.

解 由长方体球半径R=a2+b2+h22，得R=32+22+122=142，则S球=4πR2=14π.

评析 本题中几何体为长方体，只要明确等量，解答就非常容易了.

总之，立体几何问题较抽象，学生需要有一定的空间思维能力.我们只要坚持数形结合的思路，注重空间中的等量关系，就可以使抽象的问题简单化、公式化.