变限积分函数求导公式的推广及其应用

张磊 王利岩 杨盛武

摘 要：本文在常见变限积分函数求导公式基础上，探究含参变量的积分函数求导问题，给出含参变量积分函数求导公式，并结合算例给出公式的应用。

关键词：变限积分函数;含参变量;求导;应用

中图分类号：O172 文献标识码：A

变限积分函数是联通微分学和积分学的桥梁，它的求导问题是高等数学考查的重点，也是研究生入学考试解答题中常见的综合形式之一。在教研过程中发现，学生对变限积分函数变化型的求导方法掌握欠佳，尤其是含参变量函数的求导计算极易出错。为此，童旭辉等[1]讨论了变限积分函数的连续可导性，王泽晖[2]给出了含参变量积分在重积分下的推广公式，钮宏霞[3]将变限积分求导推广到高维空间中的典型立体上并给出其应用。本文在以上理论基础上，对变限积分函数基本求导公式进一步推广，结合实例梳理不同类型变限积分函数求导方法，并建立相应变化型函数的求导公式。

一、变限积分函数及其求导公式

在高等数学中，有如下定义及定理：

值得注意的是，结合例4.2对比例4.1③的两种方法易见，公式法用于完成被积函数为具体函数时的求导计算更方便，当被积函数为抽象函数多用变量替换法或定积分的齐次性先对积分函数整理再使用变限求导公式。

五、小结

本文介绍了几类变限积分函数的求导公式，并给出了相关定理的证明。对于工科学生来说，掌握变限积分函数求导的一般公式并熟练使用公式做题是教学重点，相关定理的证明是这部分学习的难点，证明过程有助于学生复习和加深前期理论，带动学生思考问题积极性，教师在设计本次教学时可以提前给出储备知识减弱学生负担。另外，教師在授课过程中应引导学生多观察，勤思考，找准异同点，排除干扰，注重不同类型积分函数求导法的归纳整理，积极创造条件让学生综合运用基础知识和基本技能有效解决做题中遇到的困难，提高学生的学生微积分的积极性和学习效率。本文适合作为初学高等数学的课堂同步辅导，高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。

参考文献：

[1]童旭辉，张海亮，杨传胜.被积函数含间断点的变限积分的连续可微性[J].大学数学，2017，33（5）：123-126.

[2]王泽晖.含参变量函数积分求导的推广[J].大学数学，2005，21（3）：104-105.

[3]钮宏霞.变限积分求导公式在高维典型立体上的推广[J].数学的实践与认识，2008，38（20）：234-238.

[4]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2015.

基金项目：辽宁省教育厅青年项目（L201730）;辽宁省科技厅博士启动项目（201601173）

作者简介：张磊（1986— ），女，博士研究生，硕士生导师，讲师，研究方向：控制论、微积分。