钢筋混凝土牛腿抗剪承载力设计修正系数研究

黄远 尹文萌 易伟建

摘要：为了研究钢筋混凝土牛腿的抗剪承载力，并评估我国和欧美规范牛腿设计方法的准确性和安全性，基于收集的209组牛腿竖向受剪试验数据对ACI 318-19、EC2、CSA A23.3-04和其他主要的牛腿抗剪承载力计算方法进行评估，发现欧美规范拉压杆模型方法较为保守，而软化拉压杆模型（softened strut-and-tie model，SSTM）能够较好地预测牛腿的抗剪承载力.在此基础上，设计了一系列满足我国规范要求的钢筋混凝土牛腿，主要变化的参数包括剪切跨度、混凝土强度、钢筋强度等，通过将牛腿的设计剪力与软化拉压杆模型计算得到的抗剪承载力进行对比，分析了不同设计参数下我国规范方法的准确性和安全性.并根据参数分析结果拟合了牛腿承载力修正系数的简化公式，并通过试验数据验证了简化公式的准确性和合理性.最后对牛腿在剪力作用下的设计方法提出了改进建议，可供钢筋混凝土牛腿设计参考.

关键词：钢筋混凝土牛腿；软化拉压杆模型；抗剪承载力；参数分析；结构设计

中图分类号：TU375文献标志码：A

基金项目：国家重点研发计划项目（2018YFC0705700），National Key Research and Development Project（2018YFC0705700）；国家自然科学基金资助项目（51890901），National Natural Science Foundation of China（51890901）

Study on Design Modification Factor for Shear Capacity of Reinforced Concrete Corbels

HUANG Yuan1，2，YIN Wenmeng2，YI Wenjian1，2

（1. Hunan Provincial Key Laboratory on Damage Diagnosis for Engineering Structures，Hunan University，Changsha 410082，China；2. College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：In order to study the shear capacity of reinforced concrete corbels，and evaluate the accuracy and safe-ty of the design method of Chinese and abroad code，based on the collected test data of 209 corbels，the shear capacity formulas of ACI 318-19，EC2，CSA A23.3-04 as well as the main strut-and-tie models were evaluated. It was found that the calculation results of abroad code are too conservative，while the softened strut-and-tie model（SSTM）can better predict the shear capacity of corbel. On this basis，a series of reinforced concrete corbels were designed accord-ing to the Chinese code with various parameters including shear span，concrete strength，reinforcement strength，etc. By comparing the designed shear capacity with the calculation results of the softened strut-and-tie model，the accura-cy and safety of Chinese code under different design parameters were analyzed. Then，the simplified formula of the modification factor of the corbel bearing capacity was proposed. Based on the collected test data，the simplified for-mula was proved to be accurate. Design suggestions were proposed for the corbels under shear load，which can be used as a reference for the design of reinforced concrete corbels.

Key words：reinforced concrete corbels；softened strut-and-tie model；shear capacity；parameter analysis；struc-tural design

鋼筋混凝土牛腿被广泛应用于装配式混凝土结构中预制构件之间的铰接连接[1].例如工业厂房的预制混凝土柱牛腿，用于支承吊车梁、屋架及墙梁等水平构件.牛腿用于构件连接其施工非常便捷，但是在荷载作用下，牛腿的受力状态较为复杂，类似于变截面深梁，在国际上通常将钢筋混凝土牛腿归为“D区”（Discontinuity Zone）构件.牛腿的剪切破坏通常为脆性破坏，时常造成重大人员伤亡和经济损失.

目前国内外对牛腿抗剪承载力进行了较为系统的研究.我国高丹盈等人[2-4]开展了一系列的牛腿受剪试验，研究了不同钢纤维体积率、剪跨比、配筋率等参数条件下的牛腿受剪性能，并根据试验数据提出了牛腿承载力的计算方法.国外的研究人员在早期的桁架模型基础上进行完善，提出了拉压杆模型（简称STM），并使之成为一种通用的设计方法[5].随后，学者们基于传统的STM，考虑了混凝土的软化效应，提出了更深入的计算理论. Hwang等[6]提出了软化拉压杆模型（简称SSTM），通过迭代计算混凝土软化系数，考虑开裂钢筋混凝土的本构关系和相容方程. Russo等[7]通过拟合试验数据简化了混凝土软化系数的计算公式. SSTM能准确预测D区构件的承载力[8-9].

牛腿受剪机理的复杂性也体现在规范层面，不同于正截面受弯承载力的统一力学模型，各国规范中牛腿受剪承载力计算公式的表现形式和所考虑的参数影响有很大的区别.我国规范[10]基于三角桁架抗弯模型，ACI 318-19[11]、EC2[12]、CSA A23.3-04[13]主要基于STM.各规范设计公式的计算结果与试验数据均存在一定程度上的离散性.因此，需要对规范公式的适用性进行评估和深入研究，为工程设计提供理论指导.

文章首先介绍了ACI 318-19[11]、EC2[12]、CSA A23.3-04[13]三国规范基于拉压杆的牛腿承载力计算方法和SSTM[6]、Russo等[7]两种主要的牛腿承载力计算模型.采用209组牛腿竖向受剪试验数据评估了各承载力计算模型的准确性和安全性.在此基础上，按照我国规范设计了一系列不同参数条件下的钢筋混凝土牛腿，基于SSTM[6]研究各设计参数对牛腿抗剪承载力的影响.最后依据参数分析的结果，提出了牛腿抗剪承载力修正系数的简化公式，为工程实际提供参考.

1牛腿承载力计算模型

1.1国外规范拉压杆模型

拉压杆模型（简称STM）由一定强度的钢筋拉杆、混凝土压杆和混凝土节点组成.牛腿作为典型的“D区”构件，ACI 318-19[11]（以下简称ACI）、EC2[12]、CSA A23.3-04[13]（以下简称CSA）三国规范均采用STM对其进行设计. ACI STM适用于剪跨比不大于2的牛腿，规范限制压杆水平方向倾角θ不小于25°；EC2 STM和CSA STM适用于简跨比不大于1的牛腿，EC2 STM对压杆水平倾角θ的限制条件为1≤tanθ≤2，CSA STM对压杆角度θ未给出限制条件.

文章参照文献[14]对牛腿建立了理想的STM，符合各规范要求，用于评价ACI、EC2、CSA牛腿承载力计算方法.如图1所示，A、A′节点水平位置为承压平台中心，A、A′节点竖向位置为纵向受拉钢筋形心；B、B′水平位置为中柱1/4宽度处，B、B′竖向位置为牛腿根部截面按塑性抗弯理论确定的等效矩形压应力分布图的中心.三国规范STM的主要区别在于混凝土压杆和混凝土节点强度的确定方法不同，它们关于混凝土抗压强度有效系数β的取值见表1.表中βc为混凝土强度有效系数，ρsv为箍筋配筋率，θ为混凝土压杆与水平方向的夹角，fc为圆柱体抗压强度，ε1为压杆的横向拉应变.

1.2软化拉压杆模型

Hwang等[6]在2000年首次提出了软化拉压杆模型（简称SSTM），该模型考虑了开裂钢筋混凝土的平衡方程、本構关系和相容方程.图2为按SSTM计算牛腿竖向承载力的简图，图中θ为对角混凝土斜压杆与水平方向的夹角，θs为两侧混凝土斜压杆与水平方向的夹角；a为竖向剪力Vv至牛腿根部截面的水平距离，h为对角线混凝土压杆的高度；水平箍筋拉杆定位于h/2处，力的大小用Fh表示；Vh为牛腿受到的水平力，D为对角线混凝土斜压杆的内力（定义压力为负值），Cd为节点区域混凝土的压力.在牛腿中SSTM存在两种抗剪机制，斜向机制和水平机制.斜向机制是由对角混凝土斜压杆组成，水平机制是由水平箍筋拉杆和两侧混凝土斜压杆组成.牛腿受到的竖向剪力Vv由混凝土和水平箍筋共同承担. SSTM的承载力计算状态为节点区域最大应力达到混凝土的极限抗压强度，计算过程较复杂需要迭代求解.

1.3 Russo等拉压杆模型

2牛腿受剪承载力计算方法评价

2.1牛腿受剪试验数据库

文章共收集了209组竖向受剪不带纤维的钢筋混凝土牛腿试验数据，称为牛腿总评价数据库.用于评价国外规范STM、SSTM以及Russo STM.这些数据来源于试验文献[3，14-24]，包含了牛腿剪切破坏、斜压破坏等主要的破坏模式，剔除了承压破坏、锚固破坏等次要的破坏模式.为准确评价ACI STM、EC2 STM及CSA STM，用于评估的牛腿试验数据还需满足以下准则：1）给出承压垫板宽度；2）压杆水平倾斜角θ≥25°；3）压杆水平倾斜角θ满足1≤tanθ≤2.

CSA STM未限制压杆角度θ，仅需满足准则1，总评价数据库筛选后还剩180组数据，称为STM评价数据库；ACI STM需满足准则1、2，评价数据库筛选后仍有180组数据，与STM评价数据库同；EC2 STM需满足准则1、3，评价数据库筛选后还剩124组数据，称为EC2 STM评价数据库. STM评价数据库中不满足规范的数据计算过程不变但是不参与评价EC2的统计分析.

2.2计算方法评价

为了评价各个承载力计算模型的准确性和安全性，本文定义了计算模型误差系数η和安全度n.计算模型误差系数η是承载力试验值Vt与承载力计算值Vc的比值，η越接近1表明承载力计算值越接近承载力试验值.ηm、ηcov分别为计算模型误差η的平均值和变异系数.ηm越接近1表明承载力计算模型越准确，ηcov值越小表明承载力计算结果离散性越小.安全度n为η值大于1的试件数与总试件数的比值，象征着承载力计算模型的安全性，n值越大表明承载力预测结果越安全.

各承载力计算方法的评价结果见表2.对于EC2 STM评价数据库124组牛腿数据，EC2ηm值为1.56，n值为96%，承载力预测结果较准确安全；ηcov值为0.26，在规范计算方法中变异系数最低.由表2还可知，与无箍筋牛腿相比，对于带箍筋牛腿，CSA STM和EC2 STM规范ηm计算值均明显偏大即承载力计算值明显偏小，这说明了规范低估了箍筋对牛腿的抗剪承载力贡献.

为进一步比较各承载力计算方法关于牛腿承载力计算的适用性，文章探究了牛腿关键参数对承载力预测结果的影响.这些参数分别为：混凝土抗压强度fc，剪跨比a/d，纵筋配筋率ρf和箍筋配筋率ρs.图3～图7为各承载力计算方法的预测效果图，图的横坐标为牛腿各主要参数，纵坐标为计算模型误差η.

如图3（d）、图4（d）和图5（d）所示，當剪跨比a/d小于0.1时，ACI、EC2、CSAη值明显偏大，这说明了规范STM模型对剪跨比极小的牛腿承载力预测值过于保守.如图3（d）、图4（d）所示，当剪跨比a/d大于0.1时，随着a/d的增大，ACI、EC2η值呈降低的趋势，这说明ACI STM和EC2 STM在剪跨比较大时高估了牛腿的承载力.如图5（d）所示，当剪跨比a/d大于0.1时，CSA STM较好地反映了剪跨比a/d对牛腿承载力的影响，这是因为CSA STM混凝土压杆有效系数β考虑到了压杆角度的影响.

如图3（a）和图5（a）所示，随着混凝土抗压强度fc的增大，ACI和CSAη值呈下降的趋势.当fc大于40 MPa时，出现了部分η值小于1的数据，预测结果偏不安全，这说明了ACI STM和CSA STM不适用于计算高强钢筋混凝土牛腿.如图4（a）所示，EC2 STM较好地反映了混凝土抗压强度fc对牛腿承载力的影响，这是因为EC2 STM混凝土压杆有效系数β考虑了混凝土抗压强度的影响.

如图3（c）所示，在箍筋配筋率ρs小于0.3%时，ACIη值偏高；在箍筋配筋率ρs大于0.3%时η值较稳定.这说明了ACI STM压杆有效系数β考虑了箍筋配筋率ρs的影响，在ρs较大时能很好地反映箍筋的抗剪贡献，但在ρs较小时低估了箍筋的抗剪贡献.

与无箍筋牛腿相比，三国规范STM模型计算得到的带箍筋牛腿η值偏高，即承载力计算值偏小，并且剪跨比越小这种规律越明显.这说明了三国规范STM模型低估了箍筋对于牛腿抗剪承载力的贡献，并且CSA STM和EC2 STM在剪跨比越小时这种情况越显著.

如图6和图7所示，SSTM和Russo STM两种模型均能很好地反映各主要参数对带箍筋牛腿和无箍筋牛腿抗剪承载力的影响.对于总评价数据库209组牛腿数据，SSTMηm值为1.14，Russo STMηm值为0.99，两种精细计算模型承载力计算值均与试验值吻合良好. SSTM n值为77%，承载力计算结果安全性较好；Russo STM n值为44%，超过半数以上的牛腿试件承载力计算值小于试验值，承载力预测结果偏不安全.

综上所述，规范拉压杆模型的牛腿承载力计算方法偏于保守并且与试验数据对比离散性大，SSTM承载力计算的准确性和安全性均较好且能反映牛腿主要参数对承载力的影响.因此，文章接下来将以SSTM为基准，对我国规范的牛腿设计方法进行分析，并给出实用设计建议.

3我国规范评价

本节首先设计一系列满足《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）（以下简称我国规范）要求的钢筋混凝土牛腿[10].我国规范是针对剪跨比不大于1的短牛腿设计.如图8所示，其计算模型为三角桁架模型，将牛腿顶部水平纵筋理想成拉杆、腹部混凝土理想成压杆，竖向荷载由水平纵筋拉杆和混凝土斜压杆共同承担.牛腿所需纵向受拉钢筋面积如式（1）.

选取的标准模型初始设计参数为：剪力设计值800 kN，混凝土强度等级C40，纵筋和箍筋均采用HRB400钢筋，牛腿的宽度和剪切跨度分别为400 mm和250 mm.将初始设计参数代入我国规范牛腿设计公式，可以计算得到牛腿的有效高度h0为765 mm，纵筋和箍筋面积分别为923 mm2和462 mm2.标准模型的尺寸和配筋如图9所示.

然后在标准模型的基础上每次变化一个设计输入参数，包括设计荷载Fv、混凝土强度fc、纵筋屈服强度fy、箍筋屈服强度fyv、剪切跨度a和牛腿宽度b，可以生成一系列满足我国规范要求的钢筋混凝土牛腿.参数取值范围参考常用工程变化范围[25-26]，牛腿设计参数取值见表3.

3.1混凝土强度

增大混凝土强度，按照规范设计的牛腿高度将减小，纵筋面积和箍筋面积将增大.牛腿承载力系数随着混凝土强度的变化规律如图10（a）所示.当混凝土强度由14.3 MPa增大到27.5 MPa时，承载力安全系数α0由1.07提高至1.40.原因是混凝土承担的剪力将随着混凝土强度增加而显著增大，说明混凝土强度提升和钢筋面积增加对抗剪承载力的贡献大于牛腿高度减小对承载力的降低作用.随着混凝土强度提升，箍筋对牛腿承载力的贡献有降低的趋势，原因是随着混凝土强度增大，牛腿高度将减小，造成牛腿剪跨比增大，使得箍筋对牛腿承载力的影响降低.

3.2纵筋强度

增大纵筋强度，按照规范设计的牛腿纵筋面积和箍筋面积将减小.牛腿承载力系数随着钢筋强度的变化规律如图10（b）所示.当纵筋强度由300 MPa增大到435 MPa时，承载力安全系数α0由1.35降低至1.11.原因是随着纵筋强度增大，牛腿纵筋面积和箍筋面积均减小.纵筋面积减小使得按拉压杆模型平衡条件确定的混凝土压杆面积减小，造成混凝土承担的剪力减小；箍筋面积减小造成箍筋承担的剪力减小.因此，随着纵筋强度的增大，混凝土和箍筋承担的剪力均减小，导致牛腿承载力降低.

3.3剪切跨度

增大剪切跨度，按照规范设计的牛腿高度将增大；当剪切跨度小于150 mm时，剪跨比小于0.3，配筋面積保持不变；当剪切跨度由150 mm增大到350 mm时，配筋面积将增大.牛腿承载力系数随着剪切跨度的变化规律如图10（c）所示.当剪切跨度由50 mm增大到150 mm时，承载力安全系数α0由1.59降低至1.18.原因是箍筋承担的剪力显著减小，说明牛腿高度增加对抗剪承载力的贡献小于箍筋对承载力的降低作用.当剪切跨度由150 mm增大到350 mm时，承载力安全系数α0由1.18提高至1.34.原因是混凝土承担的剪力显著增大，说明牛腿高度和纵筋面积增加对抗剪承载力的贡献大于箍筋对承载力的降低作用.

3.4箍筋强度

按照规范牛腿箍筋为构造要求.牛腿承载力系数随着箍筋强度的变化规律如图10（d）所示.当箍筋强度由270 MPa增大到435 MPa时，承载力安全系数α0由1.21提高至1.24.原因是箍筋承担的剪力将随着箍筋强度增加而增大，随着箍筋强度提升，混凝土对牛腿承载力的贡献几乎不变.

3.5设计荷载

增大设计荷载，按照规范设计的牛腿高度将增大，纵筋面积和箍筋面积将增大.牛腿承载力系数随着设计荷载的变化规律如图10（e）所示.当设计荷载从200 kN增大到1 100 kN时，承载力安全系数α0由1.51降低至1.15.原因是混凝土承担的剪力将随着设计荷载的增加而显著减小，说明随着设计荷载的增大，牛腿高度和纵筋面积增加对抗剪承载力的贡献降低.随着设计荷载增大，箍筋对牛腿承载力的贡献有升高的趋势，原因是随着设计荷载增大，箍筋面积将增大，使得箍筋对牛腿承载力的贡献提高.

3.6牛腿宽度

增大牛腿宽度，按照规范设计的牛腿高度将减小，纵筋面积和箍筋面积将增大.牛腿承载力系数随着牛腿宽度的变化规律如图10（f）所示.当牛腿宽度由400 mm增大到600 mm时，承载力安全系数α0由1.22提高至1.36.原因是混凝土承担的剪力将随着牛腿宽度的增大而增加，说明纵筋面积和牛腿宽度的增加对抗剪承载力的贡献大于牛腿高度减小对承载力的降低作用.随着牛腿宽度增大，箍筋对牛腿承载力的贡献有降低的趋势，原因是随着牛腿宽度增大，牛腿高度将减小，造成牛腿剪跨比增大，使得箍筋对牛腿承载力的影响降低.

4抗剪承载力简化公式

基于参数分析的结果，本节将提出牛腿承载力安全系数α0的计算公式，并将其定义为承载力修正系数α，用于修正我国规范设计公式.

承载力修正系数公式的拟合结果如图11所示，图中的数据点均来自于第3节中参数范围内的牛腿试件.图11中横坐标为公式（4）的计算结果，纵坐标为参数分析的理论计算结果.承载力调整系数理论计算结果与公式（4）计算结果的比值平均值为1.001，变异系数为0.023，说明了拟合的承载力修正系数公式与参数分析的结果吻合较好.

为了验证修正后的我国规范牛腿承载力计算公式的准确性，将公式（5）计算结果与文献[3，14-24]中的试验数据做比较.结果如图12所示，ηm为1.06，说明规范采用调整系数α后承载力计算结果更加准确.将209组试验数据按配筋是否满足我国规范要求分为两类，满足规范的有36组，不满足规范的有173组.其中满足规范的试件承载力预测结果离散度更小，进一步说明了承载力修正系数α可为规范牛腿设计提供参考.

5设计建议

从第3节的分析中可以看出，我国规范设计牛腿的实际承载力均大于设计荷载，说明规范方法偏于保守.在满足正常使用阶段牛腿不出现斜裂缝（即牛腿尺寸不变）的前提下，可以通过降低构造箍筋的数量来更为准确和经济地满足牛腿抗剪承载力要求.图13为牛腿抗剪承载力安全系数α0随着实配箍筋数量与设计箍筋数量比值β的变化规律.在不同的设计参数下，α0随着实配箍筋数量的增加而提高.当实际箍筋面积小于设计箍筋面积的80%时，部分试件出现了α0小于1的情况，说明此时牛腿实际承载力小于设计承载力.当实际箍筋面积大于设计箍筋面积的80%时，各个设计参数下的试件α0均大于1，说明此时牛腿实际承载力大于设计承载力.因此当实配箍筋数量减少为设计箍筋数量的80%时，牛腿的实际抗剪承载力均能满足设计要求.

6结论

本文采用209组牛腿受剪试验数据评估了各国规范和国外主要拉压杆牛腿承载力计算模型，然后采用软化拉压杆模型对满足我国规范的牛腿承载力进行分析，得到以下结论：

1）规范拉压杆模型牛腿承载力计算方法偏于保守并且和试验数据对比离散性大.并且规范STM均不适用于剪跨比极小（≤0.1）的牛腿，但ACI STM和CSA STM均未限制压杆角度的最大值；在剪跨比较大时CSA STM较好地反映了剪跨比对牛腿承载力的影响. ACI STM和CSA STM不适用于高强混凝土牛腿，而EC2 STM考虑到了混凝土抗压强度对牛腿受剪承载力的影响.

2）满足我国规范的牛腿承载力随着混凝土强度fc的增大而提高，随着纵筋强度fy、牛腿高度h的增大而减小.当剪跨比小于0.3时，增大剪切跨度满足我国规范的牛腿承载力降低；当剪跨比大于0.3时，增大剪切跨度满足我国规范的牛腿承载力提高.牛腿宽度和箍筋强度对满足我国规范的牛腿承载力影响比较小.

3）软化拉压杆模型能准确预测牛腿承载力并且能反映混凝土强度、剪跨比、纵筋配筋率、箍筋配筋率各个关键参数对牛腿受剪承载力的影响规律.基于软化拉压杆模型提出了承载力修正系数α的简化计算公式.简化公式的计算值与试验值吻合良好，可为工程实际提供参考.

4）我国规范设计牛腿的实际承载力均大于设计荷载，当实配箍筋数量减少为设计箍筋数量的80%时，牛腿的实际抗剪承载力均能满足设计要求.

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