圆哥哥和圆弟弟

龙马

乔治是个酷爱圆形的小男孩，他家里有各种各样的圆形物品：圆形的床、圆形的桌子、圆形的书……

一天晚上，乔治躺在圆形的枕头上，做了一个神奇的梦。他梦见两个金色的圆居然动了起来，小圆管大圆叫圆哥哥，大圆管小圆叫圆弟弟。

圆弟弟非常淘气，它钻到圆哥哥的环里，骨碌碌绕着圆哥哥转了一整圈。圆哥哥觉得怪痒的，和圆弟弟一起大笑起来。后来圆弟弟索性跑到圆哥哥的外侧，绕了一大圈，这一大圈绕下来，圆弟弟直喊晕。在旁边观察的乔治一时情急想要上前去，结果梦醒了。

第二天一早，乔治就起床研究这两个圆了，梦里的情景一直在他的脑海里浮现。大圆的直径是40cm，小圆的直径是20cm，如果小圆在大圆内部绕大圆转一圈，那么小圆自身转了几圈呢？如果在大圆的外部转，小圆自身又要转几圈呢？

乔治看了半天，突然想到，当小圆绕着大圆转时，假设把大圆剪断拉直，其实就是小圆在一条线段上从一端滚到另一端。线段的长度就是大圆的周长C=2πr（π是圆周率，约等于3.14，r是圆的半径，圆的直径等于2r）。

大圆的半径是小圆的2倍，那么大圆的周长也是小圆周长的2倍。这根线段的长度就是大圆的周长，小圆滚一圈时前进的长度是小圆的周长。所以小圆从线段的一端到另一端需要滚2圈。

乔治回想起梦里的情节，觉得有些不对，因为圆弟弟在圆哥哥内侧转的时候很开心，可是在外侧绕着圆哥哥转了一圈却直喊晕。如果都是同样的转2圈，圆弟弟不应该会覺得晕。

到底是哪里不对呢？善于思考的乔治想到一个主意，他在小圆上画了一个红点，然后观察这个红点的运动轨迹。

当小圆在大圆内侧转动时，小圆自身在做相反方向的自转。观察红点的轨迹，当红点回到原来的位置时，实际上小圆只转了1圈。

当小圆在大圆的外侧转动时，小圆的自转方向和滚动方向一致，小圆实际上转了3圈。

通过标记小红点的观察，乔治又突然想到，能不能以圆心作为观察点呢？如果圆心转了一圈，那圆上的其他点也必定转了一圈。

小圆在大圆内部转圈时，小圆的圆心实际上是围绕一个半径10cm、直径20cm的圆运动的，这个圆和小圆的半径一样，周长也一样，因此小圆只需要转1圈即可。

现在再看小圆在大圆外侧转圈。小圆的圆心实际上是绕着半径30cm的大圆来转动的，半径是小圆的3倍，那么这个运动轨迹的大圆周长是小圆周长的3倍，因此小圆要转3圈。

圆哥哥和圆弟弟绕圈的游戏看似简单，却涉及到圆的公转和自转。乔治在分析这个问题时，用了假设、定点代入的分析方法，并在最后总结出了其中的规律。熟练掌握这些方法，还可以用它们来解决其他问题哟。