Maple软件在概率统计中的应用

林挺

（福建广播电视大学南平分校 福建省南平市 353000）

概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的一门学科，它从定量的角度来研究与揭示现实世界中不确定现象（随机现象）的统计规律性。概率论是从数量侧面研究随机现象的规律性，数理统计则是以概率论为主要数学工具，研究怎样用有效的方法去收集和使用受随机性影响的数据，并对所研究的问题作出推断和预测，直至为决策和行动提供依据和建议。Maple 软件是由加拿大Waterloo 大学开发的数学软件，具有强大的符号运算、数值计算、图形绘制功能。与其他流行的数学软件相比，Maple 的优势在于它具有强大的符号计算能力，而且它能够逐步演示理论推导和计算过程。研究的总体思路，随机变量概率、分布密度、随机变量数字特征是概率统计中的重要的知识点与难点，在概率统计教学中，常常会遇到一些概率统计的求解过程是怎样的、结果对不对、解题速度快不快等问题，现借助Maple 强大的计算功能，使用相应函数工具，能够较轻松、快速、正确、直观地解决传统教科书上一些概率统计问题。

1 概率统计实例

例1[1P38]：（离散型随机变量的概率）已知100个球中有5个白球，现从中有放回地抽取3 次，每次任意抽取1 个，求在抽取的3 次中恰有2 个白球的概率。

解：打开Maple18，分别输入程序代码：restart:（要加冒号）回车；binomial(3,2)*(0.05)^2*(1-0.05)^(3-2)（不能加冒号）回车后得0.007125

例2：（连续型随机变量的概率）已知X ～ N(8,0.5^2),求P{7.5 ≤X ≤10}[1P56]

解：依题意得，P{7.5 ≤X ≤10}=Φ(4)- Φ(-1)；打开Maple18，分别输入程序代码：restart:回车;with(Statistics):回车;X:=RandomV ariable(Normal(0,1)):回车;CDF(X,4,numeric)- CDF(X,-1,numeric)回车后得0.841313074826710

例3：二项分布[2P32]，如.X ～ B（50,0.6）的分布密度的图象。

解：打开Maple18，分别输入程序代码：restart:回车;with(plots):回车;with(combinat):回车;with(Statistics):回车;X:=RandomVariable(Binomial(50,0.6)):回车; plots[display](DensityPlot(X))# DensityPlot密度图;回车后得图象如图1所示。

例4：正态分布[1P55]，如.X ～ N（0,1）的分布密度]的图象。

解:打开Maple18，分别输入程序代码：restart:回车;with(Statistics):回 车;X:=RandomVariable(Normal(0,1)):回车;PDF(X,x):回车;plot(PDF(X,x),x=-3.5..3.5)（不能加冒号）回车后得图象如图2所示。

例5：x^2 分布[1P148]，如.X ^2～x^2（3）.X ^2～x^2（5）.X^2～x^2（9）的分布密度的图象。

解：打开Maple18，分别输入程序代码：restart:回车 ;with(Statistics):回 车 ;X:=RandomVariable(ChiSqua re(3)):回 车;PDF(X,x):回 车;a1:=plot(PDF(X,x),x=0..20):回车; X:=RandomVariable(ChiSquare(5)):回 车;PDF(X,x):回车;a2:=plot(PDF(X,x),x=0..20):回 车; X:=RandomVariable(ChiS quare(9)):回 车;PDF(X,x):回 车;a3:=plot(PDF(X,x),x=0..20):回车;plots[display](a1,a2,a3)回车后图象如图3所示。

图1

图2

例6：二维正态分布[1P77]，如.(x,y)～ N(0,0,1^2,1^2,0)的分布密度的图象。

解：打开Maple18，分别输入程序代码：restart:回车;with(plots):回车;plots[display](plot3d(exp(-(x^2+y^2)/2)/2Pi,x=-5..5, y=-5..5))回车后得图象如图4所示，通过旋转可以多角度观察图象[3]，如图5。

例7[1P122]：（随机变量数字特征，期望、方差、协方差、相关系数）已知随机变量（X，Y）具有概率密度

图3

图4

图5

解、打开Maple18，分别输入程序代码：（实际上是求二重积分）restart:回车；with(Student[MultivariateCalculus]):回车；EX:=MultiInt(x*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2,output=steps)回车得7/6 即为E(X),并且逐步演示[4]计算过程如图6； EY:=MultiInt(y*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2)回车得7/6 即为E(Y)；EXY:=MultiInt(x*y*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2)回车得4/3 即为E(XY)；covXY:=EXY-EX*EY 回车得-1/36即为cov(X,Y)；EX2:=MultiInt((x^2)*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2)回车;EY2:=MultiInt((y^2)*(x+y)/8,x=0..2,y=0..2)回车 ; DX:=EX2-EX^2 回车;DY:=EY2-EY^2 回车;pXY:=(EXY-EX*EY)/sqrt(DX*DY)回车得-1/11即为ρ(XY);D=DX+DY+2*covXY回车得D=5/9，如图6所示。

图6

2 结语

通过Maple在概率统计中数值计算[5]与绘图的探索研究与实践,有利于提高实际应用能力及综合素质。长期以来“概率论与数理统计”课程采用板书式的教学方法，求取概率分布传统的方法经常用查询表格的方式来解决，课程教学还是陈旧的教学方法及学习方法，教学手段非常落后，函数图象曲线曲面的形成过程，是通过传统的教师讲授、静态图示呈现出来,效果差。实践证明，数学教学中多辅以一些数学软件，借助多媒体技术实现抽象数学概念和理论的直观可视化，数学软件可以提高学生的学习兴趣，并加深学生对教学内容的理解，提高学生熟练运用计算机软件的能力。数学软件与概论统计课程的深度融合，改变了传统的粉笔加黑板的课堂教学模式，利用数学软件的绘图功能绘制复杂函数的图像，使课程更为直观形象，帮助学生深入理解基本知识，提高教学质量。