基于矩阵方程的齿轮点蚀发生与扩展模拟*

溥 江，赵 鑫，张秀华，

(1.贵州民族大学机械电子工程学院，贵阳 550025；2.贵州大学机械工程学院，贵阳 550025 )

0 引言

齿轮是机械设备中最重要的部件之一，通过齿面接触传递动力，其传动性能取决于齿面接触状况。由于恶劣的工作环境、较高的工作负载、长时间的运转，齿轮易出现点蚀等失效模式。齿轮表面的损坏会降低时变啮合刚度(time-varying mesh stiffness,TVMS)，因此齿轮齿面点蚀的严重与否可以通过TVMS的减小量来衡量。

上述大部分研究都是将点蚀作为规则形状进行的，这并不能客观体现真实点蚀对时变啮合刚度带来的影响。本文提出一种基于矩阵模拟点蚀发生与扩展的方法，将模拟点蚀与真实发生点蚀形状相对应，应用改进势能法分析了点蚀扩展对TVMS的影响，为后续继续研究点蚀变化规律提供一种手段。

1 三类实际齿面点蚀与点蚀模拟方法

1.1 三类实际点蚀齿面

齿轮由于表面材料的去除导致啮合时有效接触面积减小，从而使啮合刚度发生减小，啮合刚度的变化是冲击与动载荷产生的原因。齿轮点蚀由于形成原因不同，其形状、位置、深度也不尽相同。而大部分学者在研究齿轮点蚀时将点蚀形状模拟为规则图形，圆形、矩形、椭圆形、V形等。然而规则的形状只能模拟特定的情况，不能代表所有点蚀，应用规则形状来模拟点蚀虽然会使计算变得简单，但可能会导致较大的计算误差。

图1为几种齿面点蚀，图1a为规则形状椭圆形点蚀。图1b为不规则形状点蚀，图1c[11]为节线附近正态分布多点蚀坑点蚀,这类点蚀通常是由于节线下方区域油膜厚度较低，且为齿顶与齿根接触区域，应力集中较为明显，润滑油进入微小裂纹形成裂纹，裂纹扩展形成微点蚀，当多个微点蚀连接时，点蚀会在节线下方一定区域扩展、增多，随着运行时间增长，附近轮齿上也会相继出现这种点蚀。

(a) 规则形状点蚀 (b) 不规则形状点蚀

(c) 节线附近正态分布多点蚀坑点蚀图1 三种点蚀

1.2 点蚀模拟方法

以3个二维n阶方阵x(i,j)、y(i,j)、z(i,j)分别代表沿齿厚方向矩阵、齿宽方向矩阵、齿高方向矩阵。提出一种基于该3个方阵的变化用于模拟点蚀发生与扩展程度的方法。即任一矩阵数值发生变化时表示曲面在相对应的方向上发生变化，利用这种原理可以模拟点蚀发生与扩展。即当齿面发生点蚀时，点蚀向着齿厚方向生长，致使齿厚矩阵发生变化。

齿轮齿面为渐开线，由于渐开线的发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长的特性，齿轮得以正确啮合。渐开线齿廓方程为式(1)

(1)

其中，φ为渐开线发生线与基圆切点与圆心连线与渐开线起始点与圆心连线的夹角，rb为渐开线基圆半径。

为了在模拟点蚀发生与扩展时点蚀在齿面上的各个位置上的几率相同。由于齿面为弧面，需将齿面沿渐开线弧长方向等弧长离散。根据平面曲线弧长公式求得渐开线弧长为：

(2)

则沿渐开线方向等弧长离散的每个微元长度为：

(3)

第i个微元对应的角度φi为：

(4)

则等弧长离散后的渐开线方程为式(5)：

(5)

依照上述模拟方法画出齿轮齿面如图2a所示，图2b为真实三维齿面模型。

(a) 模拟齿面(b) 真实齿面图2 齿面对比

点蚀会在齿面上发生，面积在齿面上逐渐变大，深度向着齿厚方向逐渐加深。为了模拟点蚀，首先建立一个n×n的零矩阵作为点蚀矩阵的初始矩阵，如图3a所示。将该矩阵与齿厚方向矩阵相加得到未发生点蚀时的齿面方程，当齿轮发生点蚀时点蚀矩阵一部分值发生变化，如图3b所示，数值变化大小相当于点蚀坑在该位置的深度，将该矩阵与齿厚方向矩阵相加，得到点蚀齿面方程。

(a) 健康齿面点蚀矩阵 (b) 发生点蚀后的点蚀矩阵

模拟得到的点蚀齿面如图4a，图4b为齿面发生矩形点蚀的真实情况，两图对比可发现该方法可以较为准确的模拟齿面点蚀。通过对点蚀矩阵设置不同的算法，从而模拟不同形状、位置的点蚀，而不是仅限于矩形，这样会与真实情况更为接近。对点蚀矩阵进行迭代，模拟点蚀生长。

(a) 矩形点蚀模拟 (b) 真实矩形点蚀齿面图4 矩形点蚀对比

2 势能法计算啮合刚度

势能法计算点蚀状态下的TVMS如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

其中，E为弹性模量，Ix为面积惯性矩，Ax为轮齿截面积，α1为任一时刻压力角。式中各参数计算如下[11]：

(2)

由式(17)～式(20)可知当齿轮发生点蚀时接触线长减少量为ΔL，横截面积减小量为ΔAx，面积惯性矩减小量为ΔIx，其余参数不变。

图5 齿轮点蚀部位横截面积示意图

图5中dx为齿面发生点蚀后图形中心轴偏移量，则面积惯性矩变化量ΔIx计算方法如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，Ix为原图形相对于x轴的惯性矩，Ix2为截面积少了椭圆形bco时相对于x轴的惯性矩，Ix′为截面积少了椭圆形bco时相对于轴线偏移dx后的惯性矩。

3 点蚀扩展与啮合刚度计算

点蚀面积扩展速率与运行时间呈正比关系,齿轮受力越大点蚀扩展速度越快。当点蚀面积超过50%时，齿轮失效。

点蚀成长形状：点蚀体积与直径的2.1次方呈正比关系υ∝D2.1，点蚀深度与直径的0.1次方呈正比关系h∝D0.1。点蚀坑的深度在达到极限值后停止发生变化，点蚀的面积会持续扩大[7]。

齿面点蚀由于制造误差、安装误差、后期运行、润滑等原因出现的形状、位置各不相同。在实际情况中点蚀很少会形成规则图形，大部分研究为了便于计算将点蚀模拟为圆形或椭圆形，椭圆形点蚀生长代码流程见表1，模拟点蚀如图6a所示，此图与图1a相对应。图6b～图6d为点蚀矩阵迭代100、300、500次的结果，为点蚀的生长过程，随着迭代次数增加，点蚀面积逐渐变大，点蚀深度在增加到一定深度后不再发生变化。

表1 椭圆形点蚀矩阵控制MATLAB代码流程

(a) 椭圆形点蚀 (b) 迭代100次点蚀

(d) 迭代300次点蚀 (e) 迭代500次点蚀图6 椭圆形点蚀生长

齿面点蚀的形状通常为不规则的，而且随着运行环境的不同，点蚀不会朝着同一个方向扩展，而是以原有点蚀坑为中心向着四周以不同的速率生长。此类点蚀模拟MATLAB代码与椭圆形点蚀类似，只是将表1中3行代码修改为如表2所示，其余代码不变。图7a为不规则形状点蚀，此点蚀对应图1b的不规则形状点蚀。图7b～图7d为点蚀矩阵迭代100、300、500次的结果，点蚀形状会根据点蚀矩阵迭代次数不同而变化。

表2 不规则点蚀矩阵控制MATLAB代码流程

(a) 任意形状点蚀 (b)迭代100次点蚀

(c) 迭代300次点蚀 (d)迭代500次点蚀图7 任意形状点蚀生长

点蚀通常不会单个出现，当点蚀出现时，其附近会更容易出现新的点蚀，通常情况下，点蚀的深度、面积会逐渐增大，附近也会相继出现新的点蚀，直至齿轮失效。而这类点蚀主要会在应力较大的地方出现，点蚀沿节线附近生长，节线附近点蚀坑较深、面积较大，远离节线处，点蚀面积小，深度浅。此类点蚀代码流程见表3。点蚀模拟如图8a，此图对应图1c的情况,图8b～图8d为此类点蚀生长过程。

表3 节线附近正态分布多点蚀坑点蚀矩阵MATLAB代码流程

续表

(a) 节线附近点蚀 (b) 迭代100次点蚀

(c) 迭代300次点蚀 (d) 迭代500次点蚀图8 节线附近点蚀生长

图9 正态分布点蚀

4 几种点蚀TVMS对比

以椭圆形点蚀为例，随着点蚀面积逐渐增大，深度加深，TVMS降低越来越快。图10a与文献[4]得出曲线数值、趋势相同，得以验证本文所述方法准确性。图11b为同样大小点蚀，出现位置不同时的TVMS曲线。由图可知，势能法计算点蚀齿轮啮合刚度并不能得出点蚀在齿宽方向位置信息；在齿高方向，点蚀越靠近单齿啮合区中部，啮合刚度降低越多，越靠近齿根或齿顶，啮合刚度降低越少。

(a) 不同面积深度点蚀

(b) 不同位置点蚀图10 几种不同情况TVMS对比

对比不规则点蚀与节线附近正态分布多点蚀坑点蚀的TVMS，得出结论与椭圆点蚀相同。

5 结论

基于矩阵方程提出一种椭圆形、不规则形状、节线附近正态分布多点蚀坑点蚀模拟方法，根据点蚀发生机理与扩展速率模拟了点蚀扩展，并列出了相关代码流程。并得出以下两条结论：

(1)将势能法进行改进，使其可以计算本文提出的点蚀扩展情况下的TVMS，并与已有文献进行对比，验证了该方法的正确性。

(2)得出了点蚀扩展过程中的TVMS，结果表明点蚀坑中心越靠近单齿啮合区的中部导致TVMS降低越多，点蚀面积越大，深度越深TVMS降低越多。