一种磁轴承开关功放的半周期控制方法

2021-01-25 03:23:22仇志坚

微特电机 2021年1期

吴凡，仇志坚

(上海大学机电工程与自动化学院，上海 200444)

0 引言

在磁悬浮轴承控制系统中，全桥结构开关功放在实际运用中对电流有良好的跟踪效果[1-4]。目前，磁轴承开关功放的控制策略主要有最大电流误差控制、节点电位控制法和单周期控制等[5-8]。最大电流误差控制在模拟控制中实现简单、控制精度高,但在数字控制中效果不好；节点电位控制包含PID控制算法，对磁轴承参数敏感；数字单周期控制是利用开关变换器的脉冲调制和非线性特性，实现对实时电压和电流的瞬时控制,具有控制精度高和响应速度快等优点，可以提高磁悬浮轴承控制系统性能[9-12]。

文献[13]分别在单、双极性单周期控制中，仅考虑电感特性推导了单周期控制数学模型，通过仿真实验验证了其合理性，并运用于五相六桥臂开关功放电路中控制五自由度的磁轴承电机，获得良好的控制效果。文献[14]考虑了磁轴承线圈电阻特性，对原有的单周期控制数学模型算法进行优化，并在电流均值和终值跟踪方法下对单、双极性单周期控制进行比较，仿真验证了其合理性。文献[15]根据单周期控制原理，分析其系统存在延时的因素及其对系统稳定性造成的影响，提出了通过传递函数和傅里叶分解法添加延时补偿项，设计出两种延时补偿模型，仿真和实验分析验证其可行性。

上述文献的数字单周期控制算法中，是在每个周期初始时刻采样电流，并与参考电流比较来计算占空比，并用于当前整个周期内的PWM信号产生。但是该周期内由于前半周期的控制使得实际电流变化，后半周期延用前半周期的占空比将无法获得精确的控制电流。本文通过采用半周期控制思想，在一个周期中点处再次采样实际电流并计算占空比及判断工作模态，以此减小电流误差来提高电流控制精度。此外，针对传统单周期控制方法中采用极限简化占空比计算的不足，提出了一种基于泰勒级数展开的占空比计算方法。最后与传统单周期控制进行了MATLAB仿真对比，磁轴承系统仿真结果验证了半周期控制策略的可行性和优越性。

1 磁轴承电流型全桥开关功放半周期控制算法

1.1 半周期控制原理

以图1中双极性单周期均值法控制Δi<0为例，在一个周期内电流下降的幅值偏大，经过一个周期开关管的工作状态后可能与给定参考电流iref(iavg)偏差过多影响电流控制精度。半周期控制在三角波的中点再次采样实际电流，并根据其与参考电流之间的误差大小来推算后半周期的占空比。如图1所示，中点处的电流误差Δi2要比初始时刻电流误差Δi1小，使得后半周期的占空比比前半周期的要小。由图1电流波形发现，在半周期控制方法下，可有效减小一个周期内实际电流与参考电流之间的误差，以此提高磁轴承系统对轴承线圈电流的控制精度。

图1 单周期与半周期控制原理图

1.2 双极性调制下的半周期控制算法

单相全桥拓扑如图2所示。开关管S1，S3为上桥臂，S2，S4为下桥臂，双极性调制中S1，S4和S2，S3互补导通。图3为双极性控制算法下的控制波形图。分Δi≥0和Δi<0两种情况，每种情况都以半个周期分2个阶段进行分析，一个周期共4个阶段。图3考虑了前后半周期参考电流iref的变化。

图2 单相全桥开关功放拓扑

图3 双极性半周期控制波形图

1) 推导前半周期的占空比数学模型

在t0～t1时刻，S1，S4导通，S2，S3断开，电流上升；在t1～t2时刻，S2，S3导通，S1，S4断开，电流下降；根据电路状态方程求得电流在t1和t2时刻的电流值i1和i2：

(1)

(2)

式中：Udc为全桥功放的直流母线电压；L和R分别为磁轴承线圈的电感和电阻；D为S1，S4开关管的占空比；TS为载波周期。

前半周期电流变化量Δi：

(3)

(4)

令：

若将每半个周期内电流平均值作为被控量使其跟上给定值，即iavg=iref，而给定值设定为每个采样周期的初始值，那么每半个开关周期内的被控量可用给定值表示：

(5)

将式(4)和式(5)结合得到占空比D的表达式形如二次方程的根：

(6)

若将每半个周期内电流的终值作为目标，要求其跟上给定值，即i2=iref;同理,可以解得前半周期占空比D的表达式：

(7)

2) 推导后半周期的占空比数学模型

在t2～t3时刻，S1,S4导通，S2,S3断开，电流上升；t3～t4时刻，S2、S3导通，S1、S4断开，电流下降;根据电路状态方程求得t3和t4时刻的电流值：

(8)

(9)

可得半个周期内Δi的表达式：

(10)

按均值法求得占空比D的表达式：

(11)

按终值法求得占空比D的表达式：

(12)

1.3 单极性调制下的半周期控制算法

在单极性调制下，S3,S4互补且处于恒通或恒断状态，S1,S2互补且处于PWM状态。当Δi≥0时，S3关断，S4导通；当Δi<0时，S4关断，S3导通；图4为单极性控制波形图。第一个周期为Δi≥0的情况，第二个周期为Δi<0的情况。图4考虑了前后半周期参考电流iref的变化。

图4 单极性半周期控制波形

(1) Δi≥0

此情况下，S3恒断S4恒通，磁轴承线圈只有正向导通和正向续流两种状态。

1) 推导前半周期的占空比数学模型

在t0～t1时刻，S1，S4导通，S2，S3断开，电流上升；t1～t2时刻，S2，S4导通，S1，S3断开，电流为正向续流状态；根据电路状态方程求得t1和t2时刻的电流值：

(13)

i2=i1e-R(1-D)TS/(2L)

(14)

可得半个周期内Δi的表达式：

(15)

按均值法求得占空比D的表达式：

(16)

按终值法求得占空比D的表达式：

(17)

2) 推导后半周期的占空比数学模型

在t2～t3时刻，电流为续流状态；t3～t4时刻，电流上升；根据电路状态方程求得t3和t4时刻的电流值：

i3=i2e-R(1-D)TS/(2L)

(18)

(19)

可得半个周期内Δi的表达式：

(20)

按均值法求得占空比D的表达式：

(21)

按终值法求得占空比D的表达式：

(22)

(2) Δi<0

此情况下，S3恒通S4恒断，磁轴承线圈只有反向导通和反向续流两种状态。

1) 推导前半周期的占空比数学模型

在t0～t1时刻，电流为续流状态；t1～t2时刻，电流为反向导通状态；根据电路状态方程求的电感电流在t1和t2时刻的电流值：

i1=i0e-RDTS/(2L)

(23)

(24)

可得半个周期内Δi的表达式：

(25)

按均值法求得占空比D的表达式：

(26)

按终值法求得占空比D的表达式：

(27)

2) 推导后半周期的占空比数学模型

在t2～t3时刻，电流为下降状态；t3～t4期间，电流为续流状态;根据电路状态方程求得t3和t4时刻的电流值：

(28)

i4=i3e-RDTS/(2L)

(29)

可得半个周期内Δi的表达式：

(30)

按均值法求得占空比D的表达式：

(31)

按终值法求得占空比D的表达式：

(32)

2 仿真验证

本文在四自由度磁轴承系统上验证半周期控制方法的性能，图5为四自由度磁轴承开关功放半周期控制系统图，由控制器、开关功放和传感器组成。磁轴承转子的动力学方程组如下：

图5 四自由度磁轴承开关功放半周期控制框图

(33)

式中：xc，yc为转子质心点位置；α，β分别为质心点绕x轴和y轴的转角；磁轴承A、B处转子沿x和y方向的电磁力分别为Fxa,Fxb,Fya,Fyb；对应线圈中的控制电流分别为ixa,ixb,iya,iyb。

将磁轴承系统半周期与单周期控制方法进行对比，MATLAB仿真参数如表1所示。

表1 仿真参数

2.1 半周期电流性能仿真分析

因为电流的跟踪效果直接影响磁轴承起浮和稳态悬浮的性能，所以本文首先进行了电流的阶跃信号和正弦信号的仿真分析。

图6为给定阶跃响应信号幅值为3 A的仿真结果，i0为实际电流，iref为参考电流，图6(a)～图6(d)分别为双极性半周期均值、终值控制和单极性半周期均值、终值控制的仿真结果。从图6中可以看出，4种方法都可以实现电流的稳态输出，但双极性控制方法电流纹波大，实际电流与参考电流的误差也大。

(a) 双极性半周期均值法

(b) 双极性半周期终值法

(d) 单极性半周期终值法

图7为正弦信号仿真结果，参考信号频率为50 Hz，幅值为3 A，图7(a)～图7(d)分别为双极性半周期均值、终值和单极性半周期均值、终值控制的仿真结果。4种方法都能实现电流的快速跟踪，双极性的电流纹波要比单极性大；无论是单极性还是双极性，终值法存在一定的滞后；可见,单极性终值法性能最好。

(a) 双极性半周期均值法

(b) 双极性半周期终值法

(d) 单极性半周期终值法

2.2 半周期和单周期控制仿真比较

与传统单周期算法对比了阶跃信号下上升时间、电流纹波、稳态电流误差，以及正弦信号下的THD，结果如表2所示。

表2 半周期和单周期控制仿真比较结果

采用半周期控制能有效提高电流动态响应速度、减小电流稳态误差和谐波含量。双极性半周期均值法可降低14%的上升时间、39%的电流纹波和3.54%的THD，终值法可降低2.3%的上升时间、35%的电流纹波和2.38%的THD；单极性半周期均值法可降低12.7%的上升时间、57%的电流纹波和3.38%的THD，终值法可降低5.4%的上升时间、45%的电流纹波和2.27%的THD。

综上分析可见，半周期单极性终值法的效果最好。