干式涡旋真空泵涡旋齿应力与变形研究

王贺权，方文强，闫世林

(1.沈阳航空航天大学 机电工程学院，辽宁 沈阳 110136；2.凤城市世林机械有限责任公司 技术部，辽宁 凤城 118115)

引言

干式涡旋真空泵是一种无油真空泵，结构简单，工作腔与油隔绝，可以获得清洁的真空环境，广泛应用在半导体行业、医疗设备、生物制药等产业。干式涡旋真空泵的工作原理是依靠动定涡旋齿之间的高精度配合，各工作腔之间通过啮合间隙进行密封[1]，在工作过程中，涡旋齿在外载荷作用下易发生变形，影响动定涡旋齿之间的啮合间隙，从而影响真空泵的性能。

关于涡旋齿的分析，有科研工作者开展了大量的研究工作。刘振全等[2]分析了气体力作用下动涡旋齿的应力分布和变形情况。杨广衍、刘国平等[3-4]模拟分析各工作腔的温度场，对动涡旋齿进行应力分析。李超、彭斌等[5-9]分析了多载荷耦合作用下动、定涡旋齿以及模拟了涡旋齿装配时的变形情况。羊玢等[10]讨论了不同主轴转角时涡旋齿的应力分布，得到涡旋齿的刚度和强度。

目前对于涡旋真空泵的研究，主要是针对单级涡旋盘开展的。本研究针对双级串联干式涡旋真空泵模型，结合模型的气体流动特点，讨论两级间压力和第二级吸入气体压力。通过几何理论和力学理论计算涡旋齿受到的气体力，应用有限元分析方法对涡旋齿施加相应的气体力载荷，分析得到双级涡旋齿的等效应力分布情况和变形规律。

1 几何理论

本研究选取的干式涡旋真空泵模型为双级串联结构，涡旋齿型线为圆渐开线，双级涡旋齿的几何参数如表1所示。第一级为三头涡旋齿，第二级为单头涡旋齿，动定涡旋齿依靠啮合间隙密封完成吸气、压缩、排气过程，双级结构示意图如图1所示。

1.排气腔 2.第二工作腔 3.第三工作腔 4.吸气腔

表1 涡旋齿几何参数

根据圆渐开线的几何特征，可以得到在任意主轴转角下，第i个工作腔容积：

(1)

式中,P—— 节距

t—— 壁厚

h—— 齿高

θ—— 主轴转角

2 气体载荷分析

本研究主要讨论气体载荷引起的涡旋真空泵涡旋齿变形，首先建立相应的力学模型，作为边界条件加载到有限元分析模型。

2.1 串联模型级间压力

假设真空泵的工作过程为绝热压缩，在稳定工作状态下，内部气体流动状态平稳，气体由第一级吸入第二级排出，这一过程气体流动是连续的。气体流动过程如图2所示，箭头表示气体流动方向。

图2 气体流动过程示意图

根据封闭空间气流连续性原理，吸入气体和排气气体在数值上是等量的，则第二级吸入气体压力为两级间气体压力，可由下式得出

p1dV1d=p2sV2s

(2)

式中，p1d,p2s—— 第一级排气压力、第二级吸气压力

V1d,V2s—— 第一级排气腔容积、第二级吸气腔容积

2.2 工作腔内压力

各工作腔容积逐渐变小导致吸入气体逐渐被压缩，进而导致各工作腔内的气体压力不同。根据气体状态方程知pVk=定值，第i个工作腔内气体压力可由下式求解[11]：

(3)

式中，k—— 气体的等熵指数

Vi—— 第i个工作腔容积

pi—— 第i个工作腔气体压力

根据上述分析可以计算得到各工作腔内的压力分布情况，如表2所示。计算结果表明，第一级工作腔内压力变化较小，变化波动近似为1，第二级工作腔压力变化波动为2.8倍左右。

表2 各工作腔内压力分布 MPa

2.3 涡旋齿受力分析

涡旋齿受到的气体力可以分解为径向气体力、切向气体力和轴向气体力[12]。轴向气体力影响轴向间隙的大小，导致气体沿径向方向泄漏。方向沿主轴方向，其大小为：

(4)

式中，θ*—— 排气角

ps—— 吸气压力

切向气体力作用于内外两侧不同名称工作腔的涡旋齿上，集中分布在涡旋齿一侧，方向垂直于动定涡旋盘基圆中心连线，其大小为：

(5)

法向气体力作用在涡旋齿齿面的宽度等于基圆直径，方向平行于动定涡旋盘基圆中心连线，其大小为：

(6)

对于双级涡旋盘，选取4种特殊的主轴转角，分别对第一级、第二级涡旋盘受到的气体力计算分析。选取稳定状态下的吸气压力ps=0.01 MPa[13]，排气压力pd=0.1 MPa，根据以上计算得到涡旋盘受到的气体力，计算结果如表3所示。

表3 气体力计算结果

3 有限元分析模型

3.1 控制方程

在静力结构分析中，忽略与时间相关的量，可以得到力学方程[14]:

Ku=F

(7)

式中，K—— 刚度矩阵

u—— 单元位移矢量

F—— 力载荷矢量

涡旋盘单元内部任一点的位移量可由节点位移表示:

u=Nd

(8)

式中,N—— 形状函数

d—— 节点位移矢量

应力-应变关系可用如下矩阵表示：

(9)

式中，E—— 弹性模量

μ—— 泊松比

σ—— 应力矩阵

ε—— 应变矩阵

变形量方程:

(10)

(11)

式中，ur—— 径向变形量

ua—— 轴向变形量

ux,uy,uz—— 在X,Y,Z3个方向的变形分量

3.2 材料属性与网格

涡旋盘的材料为铸铝合金，弹性模量为72 GPa，泊松比为 0.33，密度为2700 kg/m3。网格划分采用机械结构中的自由网格划分，选择三维20节点单元类型，最小单元尺寸设置为2 mm。

3.3 约束条件

分析模型的径向为OXY平面，齿高方向为Z向，在ANSYS中位移约束条件为：定涡旋盘内孔壁X,Y方向自由度为0°，上表面和下表面Z方向自由度为0°。将表3的计算结果施加在涡旋盘的相应位置上，法向和切向气体力施加在涡旋齿齿面上，轴向气体力施加在涡旋盘底面上。

3.4 误差分析

由真空泵的工作机理可知，各工作腔内的气体低于标准大气压，气体分子做无规则的运动，气体压力的方向存在于工作腔内的各个方向。表3中的3种气体力分量是分布在工作腔内的平行力系，对工作腔内施加的载荷是理想化的载荷。

4 ANSYS计算结果分析

4.1 第一级定涡旋盘结果分析

第一级定涡旋盘工作时，由涡旋盘中心开始吸气，3个吸气腔依次工作，经外圆周侧排气，气体流动路径是由齿头至齿尾。本研究选取4个关键位置的主轴转角作为研究对象，分别是0°，30°，60°，90°。其等效应力云图如图3所示。

图3 第一级定涡旋盘等效应力云图

从应力云图可以看出，第一级定涡旋盘在4个主轴转角下每条涡旋齿受力比较均匀，每条相邻涡旋齿之间相差60°相位差。气体由吸入到排出的过程处于气体膨胀过程，两级间气体压力要高于排气腔内气体压力，排气开始时，排气腔内气体“欠压缩”导致两级间气体返流至排气腔内。选择其中一条涡旋齿由齿头到齿尾划分成“a”“b”“c”3段，“a”段应力值无明显变化；“b”段应力值明显增大，但变化过程平稳，展开角大约120°左右；“c”段应力值无明显变化。利用软件中的点探测功能得到总体上齿头处应力值略小于齿尾，齿根处的应力值大于齿顶处。最大等效应力值发生在齿尾处，此时排气腔的终止啮合点位于齿尾，最大等效应力值大小约为0.56 MPa。提取3条涡旋齿其中一条齿顶型线的位移变形量，沿涡旋型线展开角负方向展开，生成变形量曲线如图4所示。

图4 第一级定涡旋齿变形量曲线

最大径向变形量位置在涡旋齿齿尾，发生在排气开始时，此时排气腔内压力是工作腔在整个周期的最小值，涡旋齿受到的气体力最大，最大径向变形量大小约为0.41 μm。第一级的吸气过程由三头涡旋齿交替完成，在主轴转角30°时，变形量曲线由齿头至齿尾先变大后变小，在弧长200 mm时达到极值。其他3种主轴转角，在弧长0～160 mm范围内，此时吸气腔与排气腔的压力差较小，导致变形量曲线变化平缓；其中在弧长160～230 mm时，变形量发生突变，对于单条涡旋齿来说，涡旋齿一侧压力由吸气压力变化为两级间压力；在弧长230～400 mm时,变形量曲线平稳变化；在弧长400～500 mm范围内，变形量发生明显变化，由排气腔与外圆周侧气体压力变化导致变形量波动。在主轴转角30°时，轴向变形量总体上为正向，此时排气过程结束，两级间气体返流至排气腔内；其他3种转角轴向变形量外圆周侧变形大于中心侧，型线弧长在200 mm左右时为变形量正负向变形的分界点，最大正向变形量约为0.025 μm，负向变形量约为0.040 μm。

4.2 第二级定涡旋盘结果分析

对于第二级的定涡旋盘，气体由吸气腔吸入，逐渐压缩至排气腔排出，气体流动路径由齿尾至齿头。本研究选取4个特定的主轴转角作为研究对象，分别是0，90°，180°，270°，等效应力云图如图5所示。

图5 第二级定涡旋盘等效应力云图

从应力云图可以看出，等效应力较大值主要集中在排气腔内，其余工作腔应力变化均匀且应力值较小，齿根处应力值大于齿顶。涡旋齿上的应力分布主要由切向气体力和法向气体力共同作用，在主轴转角90°时，齿头齿根处的等效应力值最大，大小约为1.21 MPa。从吸气腔到排气腔工作腔容积变小，进而导致齿头受到的气体力较大，齿头处的应力值远大于齿尾处。涡旋齿上的应力非连续性分布，应力较大值集中分布在涡旋盘的切向方向，且涡旋齿上的应力分布随着主轴转角变化转过同样的角度，切向力是影响涡旋齿应力分布的主要因素。提取单头涡旋齿齿顶型线的变形量，沿涡旋型线展开角负方向展开，生成变形量曲线如图6所示。

图6 第二级定涡旋齿变形量曲线

径向变形量是由平面方向的变形量合成得到，从变形量曲线可以看出，涡旋齿齿头的变形量大于齿尾，4个工作腔与其相邻的工作腔气体压力不同导致气体力发生变化，在4种主轴转角下的每条径向变形量曲线都有4个明显的波动。在主轴转角90°时，齿头处变形量曲线发生突变，此时涡旋齿齿头处和排气通道相通，排气腔内的压力达不到排气压力，外界气体返流至排气腔内，齿头受到的气体力较大，故最大变形量位置在齿头处，大小约为0.63 μm。每次波动的极大值点不同是因为两两相邻工作腔的气体压力不同导致气体力不同；每次波动的极小值点是涡旋齿内外两侧受相同的气体压力时，此时气体力对涡旋齿变形的影响较小。轴向变形量主要发生在齿头处，其中最大正向变形为0.11 μm，最大负向变形为0.03 μm。对于涡旋真空泵来说，轴向间隙的密封方式是在涡旋齿顶处放置1个弹性密封件，以达到动密封的效果。气体力使涡旋齿轴向发生变形，使动定涡旋盘的轴向间隙变得不均匀，在轴向变形的位置上改变密封材料的高度可以抵消变形对轴向间隙的影响，达到更好的密封效果，并减少不必要的功率损耗。综上所述，最大变形位置发生在排气腔内，尤其是齿头处的变形直接影响真空泵的抽气性能。

5 结论

本研究针对双级串联涡旋真空泵在稳定的工作状态下，内部气体流动状态平稳，结合气流连续性的特点，分析了串联模型两级间的气体压力情况，由此得到第一级、第二级各自的吸气压力。分别计算4种转角下第一级、第二级涡旋齿受到的气体载荷，通过有限元分析得到双级涡旋齿的应力分布和变形规律，有如下结论：

(1)双级串联涡旋真空泵，第一级气体由涡旋盘内侧向外周侧流动，气体处于“膨胀”的流动过程，压缩比近似于1。第二级气体流动由外圆周侧向内侧流动，压缩比近似为2.8。两级间气体流动处于封闭空间的连续过程，两级间的气体压缩比约为1.7；

(2)第一级、第二级涡旋齿在齿高方向上齿根处应力值大于齿顶，第一级三头涡旋齿应力分布较为均匀，齿尾处应力值略大于齿头。第二级单头涡旋齿齿头处应力值远大于齿尾，应力较大值主要分布在排气腔内。气体力对涡旋齿变形的影响主要体现在径向变形上，对轴向变形的影响较小。在径向间隙设计值的基础上，应考虑气体力对涡旋齿的影响，在加工时应考虑下偏差至少0.62 μm，以保证真空泵正常工作；

(3)使用密封材料对涡旋齿轴向密封时，需要考虑密气体力对轴向变形的影响，且气体力对第二级的轴向间隙的影响是第一级的2.75倍。第一级的轴向变形较小，密封条高度按设计标准不变。第二级的密封条在设计标准的基础上，由齿尾到齿头密封条高度线性减少0.11 μm，可有效防止在气体力作用下导致密封条压力过大或者增加泵的能耗。