二维抽样定理的Matlab仿真验证

摘要：给出一个二维带限函数，依据抽样定理设计合适的抽样间隔，在频域进行滤波，再通过傅里叶逆变换复原原函数，验证了二维抽样定理的正确性，也可灵活改变参数，验证欠采样和频谱混叠等现象，有助于深入理解抽样定理。

关键词：带限函数，抽样间隔，抽样定理

1引言

在工程实际中，为了对信号有效传输和处理，往往要将连续信号进行采样离散化，以便计算机分析处理。“抽样”即对时间连续的信号按一定时间间隔抽取一个瞬时值，实现连续信号的离散化，仅从数学上描述显得有些抽象。因此，本文利用Matlab作为分析工具，通过其作图功能对原始信号，抽样后信号、信号频谱，复原信号等分别绘制，以便更直观的理解抽样定理的内涵及信号恢复的实现过程。

2抽样定理

Nyquist-Shannon抽样定理建立了模拟和数字信号之间的密切关联。该定理指出，对于能量有限的带限信号，要在数据接收端实现信号的无失真恢复，采样频率 必须不小于信号带宽 的两倍，即 。这里要求原始信号必须是带限信号，这样对其进行抽样后，在频域上对应的抽样信号频谱为原带限信号频谱的周期延拓，通过低通滤波就可以保留其中一个周期信号，也就保留了信号的频域特征。通过该定理的使用，可以将模拟信号转换为数字信号，对其进行恰当的处理后，再把处理后的数字信号转换为原来的模拟信号。

3仿真验证

为了验证抽样定理，我们考虑二维带限函数 ，在矩形格点上进行抽样，则抽样函数定义为：

其中comb为梳状函数，由δ函数阵给出，X，Y是δ在x方向和y方向上的间隔。

由（1）式可得 的频谱表示为：

其中u，v为频域坐标，分别对应于空域x，y坐标。符号 为卷积，F表示傅里叶变换。

假设函数 是带限函数，如图1所示，其频谱 只在频率空间 的有限区域R上不为零。该函数被抽样后，抽样函数的频谱不为零的区域根据（2）式，可由在频率平面的每一个 点的周围划出R区域得到。如果X和Y足够小，则1/X和1/Y的间隔就会足够大，以保证相邻区域不重叠。 的频谱如图2所示。

由抽样定理，令 和 分别表示完全围住区域R的最小矩形沿u和v方向上的宽度，则当 ， 时，可保证频谱区域分开而不混叠，原函数可恢复。

以下仿真中，我们将选择一个带限函数 进行适当采样间隔的抽样，在频域观察抽样函数的频谱 ，并选择滤波器对频谱完成滤波和傅里叶逆变换，从而复原出原信号 ，以验证抽样定理。

仿真利用matlab编写m文件实现，使用peaks函数生成一个二维带限函数作为这里的 ，其数学表达式形式记为：   ，该函数的空域显示如图3，其频谱3D效果如图4，为了更好的观察原连续函数的带宽，对图4的3D频谱可以画出沿u，v方向的两条中心剖线，图5给出沿u方向的中心剖线。

沿u方向中心剖线

根据 的两条中心剖线可以看出，所选带限函数的沿u，v方向带宽都小于64个像素，由于图像大小为256*256，根据抽样定理和图5知，重构原函数的条件是抽样间隔至少满足Y=256/64=4个像素，因此这里可选择X=Y=4。仿真得到原函数被抽样后的3D效果的频谱分布如图6所示。

因此，由图6可知，如果在频域中用宽度为 和 的位于原点的矩形函数作为滤波函数 ，则可直接得到原函数的频谱，逆傅里叶变换后即得到基本没有失真的原带限函数。故选择频域中宽度为64*64的位于原点的矩形函数作为滤波函数。 经过滤波后再逆变换，得到如图7所示的复原函数。可见，以上仿真以抽样定理为依据，通过选择合适的抽样间隔和滤波函数，实现了原函数的复原，验证了二维抽样定理。

4结论

本文对“抽样“和“抽样间隔”进行了理论描述，对抽样信号的频谱进行了基本的推导和分析。利用Matlab编写m文件，选择一个二维带限函数，分析其带宽，选择了合适的二维梳状抽样函数间隔，对原函数进行二维点阵抽样，得到函数的频谱，之后对频域的频谱进行滤波后，使用傅里叶逆变换得到原函数的正确复原函数。仿真过程模拟了对函数进行抽样和滤波的过程，验证了抽样定理应用于二维带限函数的正确性，有助于更好的理解抽樣定理的内涵及外延。同时程序中可以灵活改变原函数和抽样间隔等参数，很容易进一步分析欠采样和混频现象。

参考文献

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[2]魏坤，余秋菊.信号与系统中基于抽样定理的教学内容总结与分析[J].教育教学论坛，2019（34）：255-256.

[3]李其旺，郗思敏，夏清华.Matlab在数字信号处理教学中的应用[J].科技创新与应用，2018（34）：180-181+184.

作者简介

吴云飞（1980—），女，重庆人，硕士，讲师，研究方向为计算机应用技术、电气工程及其自动化。