一类微分方程格林函数的研究

于萍 聂东明

摘要：本文利用Riemann–Liouville分数阶导数、积分的定义及其性质探讨了一类带有边值条件的分数阶微分方程的Green函数及其唯一解的存在性。

关键词：分数阶微分方程;Green函数;唯一解

1.AMS（2000）：34B18

基金項目： 安徽省教育厅自然科学基金项目（KJ2019A0875，KJ2020A0779），安徽省教育厅高校质量工程教学研究项目（2020jyxm0813，2020jyxm0804），安徽新华学院自然科学基金项目（2019zr005，2019zr018）.

本文将研究如下分数阶微分方程：

其中： ， ， 是Riemann–Liouville 导数。本文利用Riemann–Liouville分数阶导数、Riemann–Liouville分数阶积分的定义及其性质探讨了一类带有边值条件的分数阶微分方程的Green函数及其唯一解的存在性。

定义1[3]： 连续函数 的 阶Riemann–Liouville分数阶积分定义如下：

其中， 为gamma函数。

定义2[3]： 连续函数 的 阶Riemann–Liouville分数阶导数定义如下：

其中， 为gamma函数， 。

引理1[3]： 设 ， ，那么 有唯一解

其中 为大于或等于 的最小整数。

引理2[3]： 设 ，若 ， ，那么

其中 为大于或等于 的最小整数。

通过以上定义与定理可推得如下结论：

定理1：假设 ， ，那么边值问题

的解可表示为   ，其中 是边值问题 （1）（2） 的 Green 函数，表达式为：

证明：  我们可以应用引理2将 （1） 简化为一个等价的积分方程

证毕。

参考文献

[1]李庭乐，贾梅，刘锡平，等.分数阶脉冲泛函微分方程积分边值问题解的存在性 [J].吉 林 大 学 学 报（理 学 版），2020，58（2）：261-270.

[2]A. Alsaedi， R. Luca， and B. Ahmad， “Existence of positive solutions for a system of singular fractional boundary value problems with p-laplacian operators，” Mathematics， vol. 8， no. 11， p. 1890， 2020.

[3]郭大钧.非线性泛函分析（第三版）.北京：高等教育出版社，2015.

[4]梁兴悦，周宗福. 一类带有Stieltjes积分边界条件的分数阶微分方程边值问题正解[J]. 应用数学，2020，33（4）：826-835.