空间直角坐标系在文科数学中的应用

蓝平

【摘 要】本文论述高中数学立体几何在文科生学习中存在的问题、建立空间直角坐标系的方法及技巧、用空间直角坐标系解立体几何的优势等，提出应在文科生数学教学中普及空间直角坐标系法，让文科生能灵活地运用空间直角坐标系解题，将复杂的集合问题代数化、简单化。

【关键词】空间直角坐标系 方法与技巧 立体几何

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）30-0081-03

空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，通过类比之后推广而建立的，从而可以将坐标法推广到空间去解决有关幾何体的问题。空间直角坐标系是在空间中任意取一点O，过点O找或作三条两两互相垂直的直线OX、OY、OZ，使它们都以O为原点具有相同的单位长度，其中OX叫横轴，OY叫纵轴，OZ叫竖轴，这三条坐标轴统称为空间直角坐标系的数轴。

一、文科生学习高中数学立体几何时存在的问题

对文科生而言，立体几何几乎是一座难以翻越的大山，因为文科生的空间想象能力相对较弱，而空间直角坐标系要求较强的理科思维。文科生在开始接触建立空间直角坐标系时，会觉得它无比迷惑，是一个未知的领域。所以，当教师对文科生提出通过建立空间直角坐标系解决立体几何方面的问题时，大部分学生的态度是保持沉默、无法理解甚至表现出抗拒情绪。文科生遇到立体几何的问题时仍习惯用几何法来解决。几何法解决立体几何的有关证明问题，对定理中的条件要求是很严格的，可以说是缺一不可。文科生在学习立体几何中主要存在以下几个方面的问题。

（一）直线和平面平行的判定定理

学生在运用这个判定定理的时候，常常会忘记“直线在平面外”这个条件，所得到的结论出现两种可能：直线与平面平行、直线在平面内。

（二）直线和平面垂直的判定定理

学生在运用这个判定定理的时候，常常会忘记“两条直线相交”这个条件，所得到的结论出现三种可能：线面垂直、线面相交但不垂直、线在面内。

（三）平面和平面平行的判定定理

学生在运用这个判定定理的时候，常常会忘记“两条相交直线”这个条件，所得到的结论出现两种可能：两个平面平行、两个平面相交。

（四）平面和平面垂直的性质定理

这个性质定理包含四个条件：一是两个平面互相垂直，二是两个平面有交线，三是在其中一个平面上的直线，四是在平面上的直线垂直于交线。而学生在使用的时候往往会忽略掉“垂直于交线的这条直线一定要求在其中一个平面上”这个条件，所得到的结论有两种可能：直线和平面斜交、直线和平面垂直。

（五）利用几何法求三种空间角时的主要问题

1.求线面角

求解的步骤是：第一步，先找出或作出平面的垂线;第二步，连接斜足和垂足，指出连线是斜线在平面上的射影;第三步，交代线面角，并放在三角形中，结合三角形的边角关系求角。学生在求解这一类问题时，往往会忽略掉重要的第一步和第二步，而直接跳到第三步求出结果，这样就会丢掉很多过程分而只得结果分。

2.求异面直线所成的角

求解的步骤是：第一步，平行移动两条异面直线使它们相交;第二步，交代角（或其补角）为所求;第三步，构造三角形，在三角形中用正、余弦定理求角。由于异面直线所成的角“如果求得角的余弦值为负值，那么求出来的角就不在异面直线所成角的范围中”，而学生在求异面直线所成的角时，往往会忽略掉“或其补角”这个条件，结果就错了。而且，在步骤中常常没有交代好细节，过程也丢了分，整个题目得到的分就没有多少了。

3.求二面角的余弦值

求解的步骤是：第一步，在两个平面相交的棱上选一点，过该点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线;第二步，交代两条相交的射线所成的角为所求;第三步，把该角当成三角形的一个内角，在三角形中用正、余弦定理求角。学生在用几何法求二面角时，遇到的问题通常是很难找到同时垂直于棱的两条射线，一般是在棱上选好了点，过该点在其中一个半平面上作垂直于棱的射线，同样过该点在另一个半平面上作一条线，然后证明这条线也垂直于棱。有时为了证明线垂直于线，需要先证明线垂直于面，才能得出线垂直于面上的任何一条直线。部分学生往往就在证明线线垂直这一步时因条件太难找、证据不足而不得不放弃对题目的解答，那么这一题目的分数（6分或者7分）就基本都得不到了。

（六）求三棱锥体积时的主要问题

解题时，关键是要说明锥体的高，所以要有线面垂直这个条件，必要的时候还得证明直线和平面垂直。或者有时候原锥体的高不好找，就需要交换锥体的顶点和底面，目的是在锥体体积不变下方便找锥体的高。用等体积法拆了又拆、算了又算，过程非常繁杂，结果却不尽如人意。学生在运用的时候，往往会忽略掉“线面垂直”这个条件，过程又被扣分。还有一个是用几何法求点到面的距离，求解的步骤是过平面外的点作面的垂线，然后求垂线的长度。普遍的做法是作一条直线垂直于另一条直线，再结合题中的已知条件找到作出来的这条直线垂直于面上的另外一条相交直线的证据，才证得线面垂直。或者用平面和平面垂直的性质定理来证明直线和平面垂直，但这个性质定理包含着四个条件，少任何一个条件都有可能得不出准确的结论，导致步骤分容易被扣掉一部分。丢分的主要原因是，这些学生没能坚持算到最后，中间过程的运算又出了问题。以上种种迹象表明，文科生用几何法解决立体几何问题时，可能会因为对定理、概念中的细节问题记不牢固而导致被扣过程分的情况。所以，有必要指导文科生学习空间直角坐标系的方法和技巧了。

二、建立空间直角坐标系的方法与技巧

（一）利用共点的两两垂直的三条棱构建直角坐标系

总之，教师要先引导学生从中规中矩的图形开始，抓住建立空间直角坐标系的要领和技巧，即相交于一点的三条射线要求两两垂直。如果是长方体、正四棱柱、正方体，则从任一顶点出发的长、宽、高可以作为横轴、纵轴、竖轴;如果是侧棱垂直底面的棱柱，则竖轴平行或重合于其中一条侧棱;如果底面是正方形，则要找正方形的邻边垂直，或者找其对角线互相垂直而且平分;如果底面是菱形，则抓住菱形的对角线互相垂直而且平分;如果是等腰三角形（等边三角形），则抓住该三角形的三线合一（即等腰三角形底边上的中线、高、角平分线重合）;如果是正棱锥，其特点是顶点在底面的射影落在底面的中心（即顶点和中心的连线为锥底的高），则抓住竖轴平行或者重合于锥底的高;如果题目中有面面垂直的条件，应紧紧抓住面面垂直的性质定理（即如果两个平面互相垂直，垂直于平面的这条直线要同时满足两个条件：一是这条直线垂直于两个面的交线，二是这条直线一定在其中一个平面上），得出线面垂直的结论。如果空间直角坐标系的其中一条轴平行或重合于该线，还需要在面上再找到两条互相垂直的直线，把它们平行移动到同一个顶点，这样，空间直角坐标系就建立起来了。

三、利用空间直角坐标系解立体几何的优势

每次进行立体几何测试后，教师都会按解题方法将学生分成两类：一类是用空间直角坐标系来解决问题的，另一类是用几何法来解决问题的。并分别统计了这两类学生的得分情况，发现用建立空间直角坐标系法解题的學生得分明显高于用几何法解题的学生。教师表扬建立空间直角坐标系的学生。分数是最有说服力的，在得分而且得高分的事实面前，当初对此方法保持“静观其变，敬而远之”的学生转变了态度，有点跃跃欲试了，而当初表示“坚定地使用几何通法”的学生也有点动摇了。当这些学生打算对空间直角坐标系这个神秘的领域一探究竟时，教师要趁热打铁，开始传授建立空间直角坐标系来解决几何问题的方法。

利用空间直角坐标系解决立体几何问题时，只有根据几何图形的特点，建立适当的空间直角坐标系，才能准确地找出问题中所涉及的点的坐标。如果有些线段长度题目中未告知，则需要根据这些点所处的位置合理地假设参量，目标是使点的坐标没有分式。然后根据问题进行分析，在众多的公式中寻找最合适的，并记住它的标准形式，代入相应的数据，这样就自然而然地得出了结果。

从开始让学生学习建立直角坐标系，到学生遇到立体几何问题时首先想到建系，然后想办法建系，最后思考建系的要领，这是一个“要我学”到“我要学”的循序渐进的过程。学生学会轻松建系，计算步骤逐渐变得流畅后，他们会惊喜地发现，相较于几何法，用空间直角坐标系的方法省去了许多步骤而且过程变得十分简洁明了。

此外，学生还发现，在立体几何考试时，教师一般都会设置一道12分的大题，大题的第二问多为用换顶点法求锥体的体积，偶尔会出现求点到面的距离。如果图形较为复杂，涉及多条辅助线或者题目有意在图形上设置视觉陷阱时，他们往往会因受空间想象力的限制而对题目望而却步。他们学习空间直角坐标系一段时间后，发现空间直角坐标系正如迷途中的灯塔，带领他们走出了迷茫。他们总结出用空间直角坐标系解题的三点好处。其一，秒杀线线角、面面角小题。该类型的几何法多为作辅助线后结合大量证明运算，此时一旦建立空间直角坐标系，便有“坐标系一建，烦恼都不见”的感觉。简单的坐标运算之后，正确结果便得以呈现。其二，省去了烦琐的过程和空间想象。几何法为确保步骤完整，通常需做大量说明以致答题篇幅过长而浪费时间，而作辅助线又需要一定的空间想象力，容易导致考生心态发生变化;若用空间直角坐标系法则只需几个公式即可求解，减少了解题过程。其三，提高了学生的得分率。由于空间直角坐标系法的关键步骤较少，一旦结果正确、公式正确，便会得到12分的满分。

由此看来，学习空间直角坐标系不仅能锻炼文科生的空间想象能力和分析能力，更是他们在关键时刻制胜的法宝，往后解立体几何题时，又多了一个提高得分的方法。因此，知系、懂系、用好系，在文科数学中应成为重要的部分。

【作者简介】蓝 平（1979— ），女，瑶族，广西马山人，大学本科学历，一级教师，现就职于广西民族高中，主要研究方向为高中数学教育教学。

（责编 唐玉萍）