单位思想视角下小学数学内容本质与结构

刘加霞 孙海燕

刘加霞

北京教育学院初等教育学院院长，教育心理学博士，教授，教育部国培专家库成员;提出“把握数学本质是一切教学法的根”“实证研究学生是有效教学的根本”“培训实质是改变与创新”等观点，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《课程·教材·教法》《中国教育学刊》《中小学管理》《人民教育》《小学数学教师》《小学教学》等期刊发表论文百余篇，著作有《小学数学有效教学》《小学数学有效学习评价》《小学数学课堂教学设计》等。

单位贯穿小学数学学习内容的始终，计数、计算、测量以及各类数量关系等内容中都蕴含着单位思想，它是小学数学知识体系的“骨架”。以此为抓手有利于教师把握数学本质与整体结构，帮助学生整体化、结构化地学习。

一、单位及单位思想的内涵与操作方式

单位不只是常见的计数、计量单位，更是一种思想，即单位思想或单位化思想。

通常，人们为了规范、统一地计数、度量、比较某一类或几类对象，需要约定统一的“标准”，以便于表达、交流与运用，这个“标准”被称之为单位。例如，常见的计数单位：一、十、百、千、十分之一等;常见的计量单位：米、平方米、千克等。需要指出的是，这些单位的前面应该有“1”这个数量，但习惯上，人们常将其省略（度量的本质是“比”，是乘法结构，乘法运算中“1”是单位元，可以省略），比如，我们说长度单位是米、厘米等，严格地说，应该是长度单位是1米、1厘米等，米、厘米只是长度单位的名称。

数学上也把“单位”定义为不是“1”但被看成是“1”的数或集合，这时的单位是人类通过抽象创造出来的，称之为复合单位。例如，每行有5朵花，有这样的6行，其中“5朵”就是复合单位。又如，小明有3个苹果，小红有6个苹果，小红的苹果数量是小明的2倍，就是把“3个”作为单位。如果说小明与小红的苹果数量之比是3∶6，则“1个”是单位;如果说两者之比是1∶2，则“3个”是单位。两个数量比较的过程中，“单位”不同，但倍比关系不变，可能会导致学生难以真正理解比和分数的基本性质。复合单位与小学数学中的“单位1”本质相同但含义略有不同，“单位1”用来辅助学生思考并解决问题，而复合单位更注重的是学生头脑中所操作的单位。

在比较或度量事物时，往往设定一个或多个标准量作为度量单元（单位或单位体系），有意识地定义单位并操作单位来量化研究对象，可使问题解决的思维简化与结构化。定义与操作单位的过程称之为“单位化”，它是产生新概念并运用概念解决问题的思维策略，故称之为单位化思想或单位思想。

小学数学中单位化的对象从实物逐渐发展为自然数计数单位、群组、测量单位和分数与小数计数单位等。学生单位化思想的发展从简单形象过渡到复杂抽象，无论其单位化的对象是什么，最终都能将其看作“1”，并对其进行计数、度量、比较等思维操作。

东北师范大学丁锐、美国科罗拉多大学丹佛分校Tzur将单位的“操作”方式总结为两类：单位的组合与分解、单位协同。前者是学生发展加法思维的基本操作;后者是发展乘法思维的基本操作，指学生可以同时关注和操作不同的单位，具体包括：迭代（累加）、分割（平均分）、分配（搭配问题）、分割与迭代的混合（例如已知線段长15cm，画出长度是6cm的线段）。前述这些单位的操作方式具体体现在数概念、测量、计算、倍比关系以及较复杂的问题解决中。因此，单位思想贯穿小学数学内容的始终。

二、计数单位统领下的数概念实质与结构

史宁中认为，就度量单位的形成过程而言，单位大体可分为两类：一是通过抽象得到的，是思维的结果;二是借助工具得到的，是实践的结果。前者指计数单位，后者指度量单位。计数、度量及加减法计算的本质就是对标准单位个数的操作。

1.用自然数刻画离散量的多少

获知事物数量多少的本源方法是“数数”，最为朴素的方法是“一个一个地数”。数手指、结绳与刻痕计数等都以1为单位，用1可以计数出离散量的个数。当数目较大时，这样计数太麻烦，因此人们创造性地将10个“一”作为1个“十”，生成第二个计数单位，然后类似地产生无数个自然数计数单位，如百、千、万等，这些计数单位及其个数累加就形成自然数，所以我们用自然数衡量离散量的多少。此过程中，十进制思想自然地产生，正如亚里士多德所言，“十进制不过是由人有十根手指这一生理解剖学的事实决定”，同样，我们也可以创造二进制、五进制等。

自然数有最小的计数单位1，没有最大的计数单位。为了简便、清晰地记录自然数，古印度人创造了现在通用的数码：0～9，并用数码所在“位置”表示数码的计数单位，即位值制思想。在位值制体系下，0具有重要的“占位”作用。这种表示方法经由阿拉伯传入欧洲，所以习惯上将这种计数体系称为阿拉伯十进位值制记数法，严谨的名称应该是印度—阿拉伯十进位值制记数法。我国汉语读数是乘法分群记数法，读数不同于写数，约定了特殊读数规则，例如中间、末尾有0时的读数方法。无论是数的认识还是四则运算，怎么读数不重要，理解每个“数字”的含义，或者说数的展开式表示，例如“223=2×100+2×10+3×1”，更为重要。

2.用分数（有限小数）刻画连续量的大小

测量连续量，用1作单位“太大”，需将1进一步平均分，产生更小的单位。将1平均分成两份，产生第一个分数单位1/2，同理也能产生其他更小的分数单位。因此，分数产生于度量。从这个角度看，我们应该用分数表示连续量的大小，但由于分数的符号表示，既不是十进制的，也不是位值制的，不利于和自然数建立联系而形成统一结构，所以17世纪时人们创造出结构与自然数相通的小数，其中，0.1的计数单位是1/10、0.01的计数单位是1/100……分数、小数有最大计数单位，没有最小计数单位。用自然数或有限小数表示连续量的大小，便于比较和计算。

3.数概念的本质与结构

小学阶段，数字“1”具有“中心地位”。任何一个数都是计数单位及其个数的累加，这是数概念的本质。如下图所示，在书写自然数与小数时，确定了“1”所在的位置即个位后，向左依次是十位、百位等;紧靠个位右下角的是小数点，小数点的重要作用是“标识”出个位，向右依次是十分位、百分位等。以1为中心，自然数其他计数单位与小数的计数单位所在位置呈“对称关系”，相邻的计数单位之间都是十进制的。分数则不同，它的分母是几就是几进制，例如[78]可以看成八进制。每一个分数都有无数个计数单位，其相应个数也有无数种情况，所以分数的结构最为复杂。

数是对量的抽象。度量的发展史也是度量单位的发展史。人们为了更精准地刻画现实中的连续量，如长度，需要将“米”平均分成十份、百份、千份等并进一步进行测量，于是产生了小数的计数单位。用有限小数能准确、方便地表达连续量的大小。

三、广义度量中的单位及单位化思想

小学阶段，广义的度量主要包括连续量的度量和倍比（比例）关系。

1.连续量的单位及单位化思想

如果事物具有可以量度的属性，并且有量度的需要时，就要先“定义单位”，度量对象如果没有单位，就无法进行量度和比较。

长度单位的产生与发展过程（单位化过程）极其复杂且意义重大，有必要让学生经历“了解为什么要定义单位、怎样定义单位、有哪些标准单位以及单位体系，体验定义单位的过程，提炼其中蕴含的思想方法”的学习过程。正如史宁中所言，对“个数多少、距离长短”的感知和认识是量感建立的基础，各类几何量中对长度及长度单位的认识是本源。其他连续量，如面积、体积，则是在长度基础上来定义单位的。

另一个需要经历单位化的量是角度。任何一个角都可以用“单位角（小角）”去度量另一个角，但这样不便于表达和交流，于是人们规定将圆过圆心、沿半径平均分成360份，每份角的大小为1°。而时间、质量等量的学习，不需要经历单位化的过程，只需要知道其單位及进率关系。

2.倍数（比例）关系中的单位化思想

计数与度量都是用单位的个数刻画绝对数量的多少与大小。刻画数量之间的相对大小也是度量，也须“定义单位”，进而产生两个或两个以上量之间的倍比关系。例如，现实中分数（百分数、倍、比）常用来表示部分与整体、一个量与另一个量之间的倍数（比例）关系，该表达过程中就有单位化思想。我们一般将“整体”或“另一个量”作为比较的标准，这个标准实际上也是单位，理解“谁”是比较的标准、确定被比较的量中含有多少个标准，这个过程就是单位化思想的体现。

现实生活中，基于倍数倍比关系产生了更复杂的数学问题，如“和倍问题”与“差倍问题”，时间—速度—路程、单价—数量—总价、工效—工时—工总等问题。这些复杂问题的解决都离不开单位化思想。

四、四则运算中的单位化思想

1.加减运算的本质是相同计数单位个数相加减

任何数的加减法计算算理都是相同计数单位个数相加减，笔者不做赘述。下文概要分析加法、乘法结构中的单位元概念。

在加法结构中，0是单位元，即任何一个数加或减0，不改变其大小。如果任意两个数相加的和是0，则称这两个数互为逆元，也叫互为相反数，例如+4与-4。“加上”和“去掉”是互逆的，即加上一个数再去掉这个数之后，结果是0，所以加法与减法是互逆运算。在乘法结构中，1是单位元，任何一个数乘或除以1不改变运算结果，所以乘1可以省略。乘积是1的两个数也互为逆元，在小学阶段称之为互为倒数，例如4与1/4。同样，乘法与除法互为逆运算。

2.乘除法运算中的复合单位化思想

求相同加数和的简便运算是乘法，也就是说，乘法是复合单位——乘数的迭代。乘法的算法算理较为复杂，乘法口诀是计算出结果的根本与基础，两位数乘两位数是学习乘法的关键，其他多位数相乘属于迁移，无须学习。分数乘法更为重要，其算理解释要紧扣分数的含义，尤其是分数乘分数。借助分数乘法理解小数乘法的含义及其算理，然后转化为自然数乘法计算，无须过多训练小数乘法的笔算内容。

单位化思想对于学习除法更有意义。学生认识除法时，先学习“包含除”，既符合除法产生的本源，也符合学生的认知经验。除法来源于“平均分”，平均分的结果——“每一份”就是单位。“每一份”既是平均分的结果，又可以作为平均分的标准，获得每一份的过程（等分除）以及将每一份作为标准进行平均分（包含除）都蕴含着单位化思想。分数除法、小数除法的计算过程都离不开单位化，尤其是分数除以分数，也可以从单位化角度理解算理，即转化为相同分数单位的个数做除法运算。

（孙海燕，北京市东城区教师研修中心）