DFT谱分析中分辨率与采样点数的关系

何立功

摘要：根据DFT变换的理论，探讨了DFT对连续信号进行谱分析时存在的问题，以及工程上的解决办法。得出提高谱分辨率需要增加采样点数的结论。最后通过仿真验证，仿真结果与结论一致。

关键词：DFT;谱分析;分辨率;仿真

1. 引言

通常所说的信号谱分析，其实就是计算信号的傅里叶变换。但是对于连续信号进行傅里叶计算，只能是单纯的数学上计算，无法直接在工程上实现，即无法直接借助计算机计算。而离散傅里叶变换（DFT）是一种时域与频域均离散化的变换，很适合计算机对离散信号进行计算。本文将针对使用DFT进行谱分析时，如何提高谱的分辨率进行探讨，对DFT在工程上应用具有一定的指导意义。

2. DFT谱分析

为了使用DFT对连续信号xa（t）进行谱分析，必须先进行时域离散采样，得到离散信号x（n），然后再对x（n）进行DFT，得到的X（k）是x（n）的傅里叶变换x（ejω）在频率区间[0，2π]上的N点等间隔采样。但是，根据傅里叶变换理论可知，时域有限长，频谱有限宽的信号实际上不存在。所以，根据采样定理采样时，时域采样必然都是无限长的，是不满足DFT的变换条件的。

在工程上，对频谱很宽的信号，在采样之前增加一级预滤波器，滤除高频成分，达到保留主要信息的同时还可以防止采样后产生频率混叠的效果。而对于时域较长的信号，可以进行合理的截断。由此可见，使用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率以及截取长度有关。

假设xa（t）的截取长度为Tp，最高频率为fc，采样周期为T，Fs=1/T为采样频率，采样点数为N。已知xa（t）的傅里叶变换为Xa（jΩ），x（n）的傅里叶变换为 （2-1）将ω=ΩT带如上式，可得x（n）的傅里叶变换与xa（t）的傅里叶变换之间的关系：

又根据X（k）与x（ejω）的关系：

得x（n）的N点DFT与xa（t）的傅里叶变换之间的关系。对比（2-2）可以看到，x（n）经DFT以后的频谱是在原连续信号的频谱上采样得到的，即实现了频谱采样。其中F便是频谱采样间隔，称为频谱分辨率。

由此可得

根据（2-4）可知，要想提高频谱的分辨率，可以降低时域采样频率Fs，或者增加时域采样点数N。但是降低时域采样频率Fs可能会导致不满足奈奎斯特采样定理。所以只能在保证Fs不变的前提下，增加采样点数N。

3. 仿真验证

通过MATLAB仿真，仿真信号是由99Hz和101Hz的两个信号叠加而成，采样频率为1000Hz。对不同的采样点数都是进行2048点DFT，为了使谱线比较光滑，采样点数不足2048时，进行补零处理。最终仿真结果如图3.1所示。

（a）中取样点数为2048;（b）为对应的频谱图，可以很明显的看到99Hz和101Hz这两个频率。（c）中取样点数为100个;（d）为对应的频谱图，可以看到此时在100Hz处只有一个频率，但是这并不被原信号所支持，因为原信号有两个频率。（e）中取样点数为400个;（f）为对应的频谱图，此时稍微能看出有两个频率在100Hz两边，但是分的不够开，或者说不能完全确认就是两个。（g）中取样点数为900个;（h）为对应的频域图，此时基本上可以分辨出有两个频谱。由此验证了（2-4）的结论，相信随着取样点数的增加，频谱的分辨率越来越高，即可以使两个频率分的更开，越来越接近（b）的频谱。

4. 总结

本文先是提出DFT谱分析面临的问题，然后说明了工程上的解决方法，并进行了基本的理论推导。最后通过仿真验证了解决方法的正确性，仿真结果与理论推导一致。

参考文献：

[1]高西全. 数字信号处理（第四版）[M]. 西安电子科技大学出版社， 2016.

[2]Williamson D . Discrete-Time Signal Processing[M]. IET， 1999.

[3]Vinay K Ingle. Digital Signal Processing using MATLAB[M]. XI’AN Jiao Tong University Press， 2018.

項目基金：2021年1月至2023年1月，项目单位：百色学院，项目名称：本科专业核心课程-数字信号处理，项目编号：2016HXKC24