素养立意下数学高考难点突破

■天津市滨海新区教师发展中心 王祥芬

高考评价体系确立了高考中学科素养的考查目标，标志着高考从能力考查到素养立意的转变，素养立意更强调知识的组合和迁移。数与形是高中数学的两大基石，解析几何兼有两者的双重特征，它是高中数学的主干知识，也是历年高考的难点内容，是提升直观想象和数学运算素养的良好载体。解析几何高考考查的难点在于要求学生具有较强的运算求解能力，分析问题和解决问题的能力；善于结合题目中的几何特征寻找与设计合理的运算途径；挖掘试题中数与形的潜在信息和价值，找准元素关系；理清解题思路，进行有效转化和化归，深刻领悟问题本真。如何突破教学中解析几何难点，笔者通过分析近几年高考解析几何试题中难点的成因，提出复习中突破难点的策略，素养导向的教学中通过落实基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验达到突破难点的效果。

一、分析成因，认清难点

（一）知识交汇，要素复杂

近几年高考数学全国卷和各省自主命题中的解析几何试题，常与平面几何、向量、三角函数、函数、导数、不等式等知识进行交汇，有较高的灵活性和较强的综合性。解析几何研究的要素多而复杂，研究的图形有点、直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线；研究的特征量有距离、斜率、半径、长轴、短轴、实轴、虚轴、焦距、离心率、焦半径；研究的位置关系有平行、垂直、相交、相切，还有长度，角度，面积等。

（二）考点分散，难点众多

直线、圆、圆锥曲线是解析几何的核心内容，考点有：直线与圆的方程及位置关系，圆锥曲线的定义，标准方程和几何特征，直线与圆锥曲线的位置关系的判定。难点有：弦长问题，中点弦，焦点弦，定点，定值，范围，最值，探索性问题等。

（三）方法多样，思想蕴含

解析几何是以代数方法研究几何问题，研究对象是几何图形，用代数方法进行推理、论证和求解，所以坐标法是它的核心也是通性通法。教学中还会用到定义法，消元法，点差法，待定系数法等方法。蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想，考查学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等素养。

二、策略复习，突破难点

（一）理解知识是关键：理解概念，理解基本量

从高考解析几何试题考查的知识点来看，对圆锥曲线的定义和性质进行基本考查，需要学生理解概念，分清基本量，在应用中才能得心应手。强化对基本量a，b，c，e，p的认识和理解，基本量既有其各自的几何意义，又有其代数间的联系。所以研究与这些基本量相关的运算问题，最能体现数形结合的作用。以离心率e为例，我们知道无论是椭圆还是双曲线，求解离心率的问题，只需要建立一个有关a，b，c的等量关系或不等关系，进一步转化为只含有a，c（或a，b）的关系。而这种等量关系或不等关系的建立，既需要研究图形中基本量间的几何关系，又需要运用它们之间的代数关系。

（二）明晰算理是主线：指导思维，简化计算

解析几何的核心是有效的运算，但是根据运算目标拟定运算程序，实现有效快速的运算对学生来说是困难的。学生在复习中暴露出来的计算问题表面看是知识本身的问题造成的，如所学的定理或公式记不住，不会运用所学的知识解决数学问题等，但是从数学学科的特点去分析的话，不难看出问题产生的根源在于学生思维能力不足，算理逻辑不清。因此在解析几何教学中，教师要注重对学生数学运算核心素养的培养，关注学生数与式的运算，教会学生算理，强化思维，合理计算，鼓励学生迎难而上。教会学生明晰算理的关键，明晰目标需要算什么，整合条件清楚怎么计算，耐心细致敢于算出结果，勤于反思善于优化计算。例如2020 年全国一卷理科第11题，根据圆的知识得出四点共圆，先将所求解的问题转化为四边形的面积，再进一步简化为直角三角形的面积，最后回归到定点到直线的距离。通过思维的层层深入，抽丝剥茧得到问题的本质，既明晰了算理，又简化了计算。

（三）数形结合是核心：分析图形，诱思导悟

解析几何的精髓在于通过数形结合动态地处理问题，挖掘几何图形特征，灵活运用图形知识，形中有数，数中藏形，数形相生，揭示解析几何本质规律，培养学生直观想象和逻辑推理等核心素养。因此解析几何教学中数形结合是核心，通过分析题目，诱思导悟，探索数形几何式。如方程形式上很复杂，分析本质发现形式中藏有很浓的几何特征，可理解为动点到两定点的距离之和为一常数，并且这一常数大于两定点间的距离，所以轨迹是一个椭圆。通过理解方程，数形结合，大大降低了运算量，提高了解题效率。又如2020年全国三卷理科第5题设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ），根据题中所给的条件OD⊥OE，结合抛物线图形的性质可知从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，利用数形结合问题迎刃而解。

（四）变换视角是突破：多重路径，把握本真

高考数学在解析几何部分经常设置变换视角多重选路径的试题，主要考查学生的数学运算核心素养。这种变换与通常的一题多解相比较，更注重数学学科内知识间的联系和综合，让学生能从不同的视角认识问题，在分析中选择运算路径，增强解题效率的预判意识，避免盲目僵化地实施运算。解析几何综合题中经常会出现一题多表的形式，同一个数学问题，采用不同的方式呈现给学生，学生的心理感受是不一样的。复习过程中，要有意识地设计形异质同的问题，让学生从多种视角认识一个问题，培养学生转化与化归的思维，深刻理解问题的本真。例如：已知一条直线l过椭圆E:右焦点F，交椭圆E于A，B两点，P为椭圆的左顶点，PA，PB与直线x=2 交于点M，N。（1）则M，N两点纵坐标之积是否为定值？（2）试判断是否为定值？（3）则以线段MN为直径的圆是否过定点？

以上三个问题本质上是一样的，是一个问题的三种表述，从三种视角考查同一个问题，引领学生审视问题的潜在本质，思考问题的设问方式和方法，破除题海战术，达到事半功倍的效果。

三、素养导向，落实难点

（一）构建基础知识的联系与整体

数学是一个充满联系的整体，数学教学应强化知识的整体性与联系性。通过对解析几何知识之间逻辑关系的思考，引导学生从整体上把握数学知识，建立起知识的逻辑关系。基于知识逻辑的复习，既要让学生对每个知识点或知识块有准确的理解，又要让学生明确不同的知识点或知识块在整个知识系统中的地位以及它们之间的逻辑关系。

（二）强化基本技能的意识与训练

重视圆锥曲线常见基本题型的专项总结，积累常见几何条件的恰当翻译方法，几何特征所蕴含的信息挖掘全面，积累优化的解题方法，注意解析几何与向量、不等式、函数知识的交汇问题，及时对错误进行整理和反思。例如高考中经常出现有关定点和定值问题，教学中针对这些比较集中的类型，可进行专项训练，找到学生熟悉的解题方式来计算。

（三）提升思想方法的灵活与熟练

把握解析几何坐标法的核心思想，提高坐标法的灵活与熟练，要提高学生的画图、识图能力，培养文字语言与图形语言互相转化的能力。平时教学中教师可尽量少给图，多让学生自己根据题目已知去画图、识图、分析图。先让学生理清题目蕴含的几何特征，将几何特征逐条拆解，然后再将几何问题代数化，将几何条件逐条翻译成代数条件，代数化的过程中要注意转化必须是等价的，不重不漏，还要注意方法的灵活选择。再根据题目条件建立等量关系求解等。

（四）注重活动经验的积累与激活

教学中应该给学生独立探索的学习经历，让学生获得自主发现的体验，促进经验的积累。汇集并分享各种数学学习经验，交流激活经验的直觉意识，提升对问题本质的分析能力。解析几何中积累同一个几何特征的不同的翻译方式，积累方法的灵活选择。对几何特征的不同角度的挖掘，转化后的代数问题会不同，解决问题的难易程度也不同，积累常见条件的转化方法等。

高考数学复习应该积极转型，从知识立意到素养立意转变，课堂教学不仅要传授知识，更要提升学生素养。解析几何的教学要优化学生的思维品质，想得越透，算得越少，在解析几何复习的过程中坚持思维有逻辑，理解更深刻。