从直观的“数”走向抽象的“量”——例谈单“1”的渗透

■南京师范大学附属中学江宁分校 胡曦茜

分数的产生是数的概念的一次扩展，更是学生在“数的认识”领域的一次认知飞跃。对于分数的理解，需要突破对“整体与部分”相对性的理解，即一个量在某些情境中是整体，而换一个情境就是部分。因此，在分数意义建构过程中的“整体认知”教学，需要引领学生的数学认知从“数”到“量”的思维转变。

一、问题的提出：错误的本质在哪里

《分数的意义》这一节概念课一直是小学概念教学的难点，这一节课上完，学生往往能流畅地模仿着书本上的定义，流畅地说出的意义，而对具体情境中分数的意义却产生模糊的理解。例如：一节数学课是小时，如果问学生“的意义是什么？”学生能回答：把单位1 平均分成3 份，表示其中的2 份。那么究竟是把谁平均分成了3份？谁占其中的两份？学生往往会误以为把一节数学课平均分成3份。这样的错误本质上有两个：1.没有理清整体与部分的关系。想要在具体情境中理解单位“1”的意义，首先要理清谁是整体，谁是部分。整体与部分对应着这节课里两个最核心的概念：单位“1”与分数单位，如果再细一些，铺垫几个问题，教师提问：“这句话中把谁看作一个整体，要把谁平均分？分完以后每一部分是谁？”学生就能更准确地找到答案。2.没有理解平均分的本质。分数的概念与平均分密不可分，为何要分？学生对于平均分还停留对具体物体平均分这样浅层直观的平均分上，而“一节数学课是小时”这句话中没有明确直观地提到“分”这个动作，它是抽象地分，因此学生不能主动想到要将谁“平均分”，所以也找不到被“分”的主人，就是单位“1”。

二、突出矛盾，找准概念理解的切入点

对于概念的引入，教师应该充分考虑学生的认知起点，特别是对于单位“1”的概念。在学生之前的学习中，虽然没有引入“单位1”这个名称，但学生对其意义已经有初步的体会。向前看一个概念，追溯学生已有的知识经验有哪些，理解的困难在哪里；向后看这个概念，思索它的数学意义是什么，和其他概念之间的联系，这样我们的教学才能从学生的实际需要出发，找到意义建构的切入点和衔接点。

教学设计如下：1.回顾：通过分一块蛋糕和一盘桃子回忆：一个物体和一个整体都可以被平均分。2.今天我们又要来认识分数了，还能研究些什么呢？我们一起来看一下教材。出示单位“1”的定义。3.引发学生思考：这句话里有2 个1，第一个是自然数1，第二个加了一个双引号，还在前面加了两个字：单位。单位“1”又是什么意思呢？这就是我们今天的研究重点，想要研究他，还是要从1开始。

这一段教学设计，先从学生已有的知识基础引入，分一个蛋糕和一些桃，都可以得到分数，平均分的主体对象，可以是一个物体，也可以是一个整体。再将概念中两个“1”的不同直观地呈现给学生，引发学生认知冲突。孤立的数学概念是不存在的，产生认知冲突是学生主动建构概念的必要条件。

三、对比提升，创设概念理解的数学活动

单位“1”量的属性是理解上的难点，从简单的活动入手，能更直观地让学生感受到“量”和“数”的区别。数数的原理是只有确定了谁是1个，才有第二个，他们合在一起就是2个。“1”一直存在，那它和自然数1有什么不同？所以，我先带着学生理解了数数的本质，在数数中，让学生发现单位“1”的内涵比自然数1更为丰富。

教学设计如下：

从数字1到认识单位“1”

1.出示一个月饼，它可以用“1”表示，那么2个月饼是几？明确：2个“1”是2，因为“1”是一块月饼，所以两块月饼就是2个“1”。2.出示一个计量单位：一米长的线段可以看作“1”吗？那么一根2米长的线段表示几？明确：如果1米长的线段是“1”，那么2米长的线段就是“2”。因为2个“1”是“2”。3.出示一个整体，（6个圆形）它可以看作1吗？学生会认为应该看作6，引导学生，如果1个圆是“1”，那么6个圆是“6”，可如果我用一个圈把这6个圆圈起来，看作一个整体呢？它就可以看作1.出示12个圆，提问：“这是几？”如果把4个圆形看作“1”呢？12个圆形是几？怎么数的？4.总结：刚刚我们从1数到了2还数到了3，我们一起来回顾一下：这里的一个月饼，他是一个物体，一根一米长的线段，他是计量单位，一堆圆形，他是一个整体，他们都可以用“1”表示，这里的1和我们说的1个月饼的1一样吗？5、出示概念：无论是一个物体也好，一个计量单位也好，一个整体也好，只要把他们看作“1”，我就能数出“2”“3”，那这里的一个物体、一个计量单位、一个整体相当于一个度量标准，在数学上，度量标准也叫度量单位，今天我们给他起一个新的名字，就叫：单位“1”。

从数数的过程中，学生首先应该体会：1 不同，2也不同，能数到2,3,4……取决于谁是“1”，所以这里的1不是自然数1，而是一个物体、一个整体、一个图形、一个计量单位等。他们有的形象可以看见，有的抽象，需要自己去想象。单位“1”概念的由来是从学生熟知的数数的过程中产生的，学生产生了“需要有一个度量标准”这样心理需求，单位“1”这个概念的出现就水到渠成、顺理成章了。像这样，从个例推广到一类数学现象或规律，学生才能真正把握“数”的整体意义和“量”的平均分含义，不会因为具体“数”而影响对“量”的整体认知的建立，从而有效促进分数知识结构的自然形成和概念意义的深度理解。

四、图形表征，感受概念理解的抽象化过程

数学概念的建构是一个复杂的过程，学生只有对学习材料进行观察、思考、分析、对比，才能从中抽象出概念的本质属性。在单位“1”概念的学习中，学生理解了单位“1”是一个度量标准后，整数的产生就是这样一直数下去，而分数的产生，就是把单位“1”平均分。分数的意义凸显了整体和部分的联系，平均分是将单位“1”分成了许多部分，没有部分，何来整体？因此，单位“1”的概念的完善，需借助图形表征，体验平均分的过程。理解了分数表示的部分与整体的关系，学生对单位“1”意义的构建将更加完善。

教学设计如下：出示3 幅图，分别有3 个桃子、6个桃子和12 个桃子。你能在每个图里涂色表示出吗？（1）交流：第一步都是做什么，怎么表示出平均分成了3份（等分线）？（2）那这三幅图，总数不同，涂色的桃子的个数也不同，为什么都能表示呢？（3）小组讨论：你觉得在一个分数中，分子和分母分别表示什么？

不同的数量，却可以用同一个分数表示，这样的操作经验下，学生明白今天所研究的分数并不表示一个具体量，它只表示一个部分占整体的几分之几，这个整体也就是单位“1”。单位“1”变了，同样一个分数，它所对应的具体量就发生了改变。对分数意义内涵和外延的理解和把握，需要在学生已有认知经验和知识水平基础上，以整体的眼光进行思考，以整体的思维进行数学认知，才能在建构分数意义的过程中，促进学生已有知识经验的重建和从“数”到“量”的整体认知的思维转变，实现数学核心知识的“再创造”和数学核心素养的“再发展”。