运用分球入盒模型巧解随机取数问题

高珊

运用分球入盒模型巧解随机取数问题

高珊

（阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

分球入盒和随机取数是概率论中2个重要的古典概型，随机取数模型往往可以转化为分球入盒模型．通过举例说明分球入盒模型在随机取数问题中的妙用之处．该方法形象直观，便于学生理解，有利于提高教学效果，激发学生学习兴趣．

分球入盒；随机取数；概率问题

分球入盒模型和随机取数模型[1-6]是概率论古典概型中2种常见的模型．教师在概率统计的教学中要不断地融入数学建模的思想[7]．到目前为止，许多专家学者从不同角度对分球入盒模型和随机取数模型进行了大量的研究[8-10]．很多场合下，随机取数问题都可以转化为分球入盒模型进行求解，如果能够巧妙地将随机取数问题转化为分球入盒问题，那么复杂难求的随机取数问题就会迎刃而解．在教学过程中，如果教师可以引导学生巧妙利用转化和类比的思想，不仅可以加深对原问题的理解，而且可以发散学生思维，激发学生兴趣．本文结合具体实例展开关于妙用分球入盒模型，巧解随机取数问题的探析．

1 随机取数模型及其转化的分球入盒模型

表1 随机取数模型

对于分球入盒模型可得到表2．

表2　分球入盒模型

为分析问题的需要，给出关于分球入盒的古典概率问题相关结论．

2 妙用分球入盒巧解随机取数问题举例

例1 从1，2，3，4这4个数字中有放回随机逐个取数：

例１可以不用转化为分球入盒问题，但相对分析较复杂[2]40．

例2通过将事件“总和为20”的样本点个数转化为分球入盒问题而得到巧妙解决，显示出转化思想的重要性．文献[2]利用母函数的方法给出求解．对于大学生或中学生来讲，本题解法更加巧妙．

3　结束语

本文介绍了古典概型中的2大常用模型——随机取数模型和分球入盒模型．通过把随机取数模型转化为分球入盒模型，使得较为复杂的有关随机取数问题得到了巧妙的解决．本方法在概率统计教学中非常值得推荐，利用归类和类比的方法把看似不同的问题转化为同一问题，能够让学生体会概率论学科的美妙之处，并能激发学生的学习兴趣，增强其学习满足感．

[1] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2011

[2] 孙荣恒．趣味随机问题[M]．北京：科学出版社，2015

[3] 威廉费勒．概率论及其应用[M]．胡迪鹤，译．北京：人民邮电出版社，2006

[4] 曹振华，赵平，胡跃清．概率论与数理统计[M]．南京：东南大学出版社，2002

[5] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2010

[6] 盛骤，谢式钱，潘承毅．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2018

[7] 李晓毅，徐兆棣．概率统计教学与数学建模思想的融入[J]．沈阳师范大学学报：自然科学版，2008，26（2）：245-247

[8] 马永梅．一道摸球问题的猜想证明及延伸[J]．廊坊师范学院学报，2012，12（3）： 5-7，14

[9] 周国平．一种“分球”概率的计算方法[J]．杭州师范学院学报，2003，2（4）：23-25

[10] 李永红．古典概率中的一个问题[J]．云南民族学院学报，2002，11（1）：536，539

Skillfully solving the problem of random sampling numbers by using the model of placing balls into cells

GAO Shan

（School of Mathematics and Statistics，Fuyang Normal University，Fuyang 236037，China）

The models of placing balls into cells and random sampling numbers are two important classical models in probability theory，the model of random sampling numbers can be changed into the model of placing balls into cells．The magic effect of placing balls into cells in solving the problems of random sampling numbers was explained by giving some examples．This method is visual，easy for students to understand，conducive to improve the teaching effect and stimulate students′ interest in learning.

placing balls into cells；random sampling number；probability problem

O211.1∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.019

1007-9831（2020）11-0098-03

2020-03-11

安徽省高等学校省级质量工程项目（2018kfk067）——精品线下开放课程：概率论与数理统计；阜阳师范大学品牌专业建设项目（2019PPZY01）；阜阳师范大学基础教育研究成果培育项目（2017JCJY13）

高珊（1975-），女，山东汶上人，教授，博士，从事排队论及可靠性研究．E-mail：sgao_09@yeah.net