如何有效运用函数与方程的思想解答高中数学题

张海婷

摘要：函數和方程是高中数学中的重要组成部分，其中富含大量的数学思想，是帮助学生培养逻辑思维的重要工具。但是在高中数学学习的过程中，学生会遇到非常多的、难以找到解题思路的问题。这种时候就可以运用数学中的函数与方程思想，可以帮助学生快速找到解题思路，提高解题效率。所以在高中数学的教学过程中，教师需要对学生渗透函数与方程思想。

关键词：高中函数;高中方程;函数与方程思想

一、函数与方程的思想

（一）高中数学函数思想

数学这一学科是对于实际存在的一种客观表述。函数则是数学中的一种模型，主要是描述现实生活中存在的部分变化规律。函数可以通过对某一件事的变化规律，从而推断出另一件事的变化规律[1]。所谓函数思想，就是对函数概念的理解和认知。在实际解决问题过程中，可以运用函数思想将已知的较难的问题进行相应的转化，从而降低解题难度，对问题进行解答。在高中数学的解题过程中，通过函数思想解决问题，实际上就是对数学中“数形结合”理念进行特殊应用。所谓数形结合就是先把数量关系通过函数关系式的方式表现出在，再将其通过函数图形的方式显现，这样有利于学生更清晰、系统的把握解题过程中的有用信息，简化解题过程，这对于学生的思考以及问题的解答有莫大助益。

（二）高中数学方程思想

我们把含有未知数的等式称之为方程。通过解方程我们可以得出方程中未知量的结果，这与之前学习过的“反证法”有异曲同工之处，思考的过程都是运用逆向思维。所以运用方程的知识以及理念对高中数学问题的进行分析解答被称为方程思想。学生若是想通过方程思想解决数学问题，就需要对所有已知的条件进行分析，再根据要求解的问题进行合理假设，将假设条件带入已知条件中，通过逆向思维推导出一个含有未知数的方程。通过对方程的构造可以促使学生对已知量和问题之间形成科学的认知，再对问题进行解答，学生的解题思路清晰明了，不需要做过多的思考，就可以借助方程的等量关系式得出答案。

（三）函数思想与方程思想的联系

函数与方程看上去二者各自独立，然而在高中数学的学习过程中，二者有着密不可分的联系。在实际学习过程中，不仅可以将函数问题转化为方程问题。还可以将方程问题转化为函数问题。也可以通过独立的思想或是结合的思想解决出函数以及方程之外的其他问题，就比如集合问题，数列问题和几何问题等等。函数和方程之间的转化，可以将问题变得更直观，使解决问题的过程变得更加简单便捷，为学生的解题的过程降低时间，提高效率。

二、高中数学题函数与方程的有效运用

（一）函数思想的运用

通过对函数思想的研究过程中，可以发现，函数拥有一定的方程特征，有些时候，求函数的定义域或值域，就是一个解方程的过程[2]。所以在函数题目中，除了运用函数思想进行解答，还可以通过合理借鉴方程思维进行解决。首先要把函数中的x值看作方程中的已知量，其次把函数关系式看作方程等式，最后将函数中已知的x值视为方程的已知量，将函数关系式转变为方程等式，再把要求解的函数问题看作方程的未知量。这样，在已知x值的条件下，把函数关系式进行转化，使之更加简便易于理解，再通过解方程的形式，计算转化后等式中的未知量，函数问题就迎刃而解了。当出现多个函数时，可以寻找它们的定义域或者值域之间存在的关系，并通过在函数之间的加减整合，将其创建为一个新的函数关系式。通过这种方式，将新的函数关系式中，所有已知的信息进行整合，使函数更加简单，学生可以清楚明了的进行之后的解题步骤，提高学生解题效率。必要时还可以直接在平面直角坐标系中绘制多个函数的图像，在图像中通过图像交点等位置寻找解题信息，在这种直观的图形，寻找解题思路，可以加强对函数的应用。

（二）方程思想的运用

把方程思想运用到高中数学题目中，其本质就是建立一种相等关系，再把相等关系之中已知条件之外的可以使之相等的条件。也就是说，要是想运用方程思想，首先要做的就是找到相等关系。所以在实际解题过程中，学生需要对题目中的所有已知信息和未知信息进行整理，再根据题目中问题的逻辑关系寻找等量态度从，进而建立等式结构。在解题过程中运用方程思想，可以极大程度提高学生的解题效率。以几何问题为例，在解决几何问题中将一直曲线看作函数关系式，在其交点坐标，斜率等已知情况下，建立方程，再将方程以及函数关系式放在一起进行解答。在这个过程中，各个变量之间的关系都被清晰的呈现。

结论：

在高中数学的学习过程中，通常使用函数和方程思想对问题进行解答，可以说函数和方程思想贯穿整个高中数学的学习重要基础。在实际解决问题的过程中，合理运用函数和方程思想，可以降低问题的难度，但是函数和方程的思想所涉及到的知识内容和变化较多，这就需要学生充分理解，进而完善函数和方程的思想理念，以便于解决问题。这就需要高中数学教师在教学过程中，不断完善教学方式，培养学生函数和方程思想的应用。

参考文献：

[1]王强.浅谈如何运用函数与方程的思想解答高中数学题[J].天天爱科学（教学研究），2021（03）：181-182.

[2]程勇.浅析构造函数在高考解题中的应用[J].中华少年，2019（26）：251.

[3]王景杰.如何用函数与方程的思想解高考题[J].新课程教学（电子版），2019（04）：28+30.