研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识。试题多是相对灵活的中档问题,解题的关键是确定想象出球与多面体的位置关系,以及找出外接球的球心。
一、重视文字语言、图形语言和符号语言的理解,提升直观想象核心素养
例1 如图1所示,在三棱锥V-ABC 中, ∠VAC =∠VBC= 90°,VC=6,求三棱锥的外接球的体积。
解析:依题意可知△VAC与△VBC是有公共斜边的直角三角形,据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OA=OV= OC=OB。则球心为vc的中点O,外接球的半径为3。所以V=4/3πR 3=4/3π.33=36π。
评注:空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系。解题时并不需要我们画出球,而应想象出球与三棱锥的位置关系。
二、重视与平面图形知识的联系,突出化归的数学思想
例2 在平行四边形ABCD中,∠CBA =120°,AD =4,对角线BD=2√3,将其沿对角线BD折起使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一球面上,则该球的体积为多少?
解析:如图2所示,由已知∠A=60°,AD=4,BD=2√3,由余弦定理可解得AB=2,故AB⊥BD。由平面ABD⊥平面BCD,可得AB上平面BCD,则AB⊥BC,AB⊥CD。所以CD⊥面ABD,则△ABC与△ACD是以AC为直角边的直角三角形。所以AC即为球的直径,则R=√5。所以V球=4/3π(√5)3=20√5 /3 π。
评注:折叠类问题对于同学们而言是个难点,故应认真分析折叠前后哪些量变、哪些量不变,平面图形的性质要会用。题中有线面垂直,所以可从线面垂直中抽象出线线垂直,从而转化为四个顶点分布在有一公共斜边的两直角三角形问题,即球心为斜边的中点。
三、形成良好的数学思维习惯,提升直观想象核心素养
例3有一个三棱锥的六条棱分别是两两为2,√3,1,求这个三棱锥的表面积。
解析:观察长度2,√3,1为三棱锥的棱长,故有两个直角三角形。本题三棱锥图形的放置很关键,应该尽量找到垂直底面的侧棱。
如图3所示,AB=CD=√3, AC=AD=2,BC= BD—1,则AB⊥面BCD,△BCD是等腰三 角形,底面圆的半径为1,球心到底面圆心的距离为√3/2。R2=1+3/4=7/4,则s表=4 πR2=4π.7/4=7π。
评注:本题图形位置的摆放很重要。对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志。以形辅数,可以让同学们借助恰当的图形去思考并解题。在几何直观视域下培养同学们的推理与解题能力,需理解图形的特征,把握图形的本质,画好示意图,把握问题的本质。
作者单位:福建省潼平第一中学