巧用二次函数解决电功率问题

数学是物理学习的语言和工具，将数学“工具”渗透到物理学习中，借助数学知识和方法解决物理问题是物理命题的永恒主题。很多物理解答题都是物理思维和数学思维高度融合的产物，需要借助数学方法才能顺利解决。利用数学计算工具来完成物理公式变形后的最后解题步骤，同学们都不陌生，但将中学数学中代数的函数模型与物理问题高度融合，学生则普遍感觉困难较大。下面选取一道二次函数与物理电学融合的典型题目来说明应用数学知识求解复杂物理问题的技巧。

例题在实践活动中，同学们设计了一种物品自动筛选器，可将质量小于一定标准的物体自动剔除，其原理如图1所示。放在水平轻质传送带上的物品经过装有压敏电阻R的检测区时，使R的阻值发生变化，其阻值随压力F变化的关系如图2所示。已知：电源电压为12 V，R0 =20 Ω，当电路中电压表的示数小于2.4 V时，机械装置启动，将质量不达标的小水果推出传送带，实现自动筛选功能（取g=10 N/kg）。则当压敏电阻电功率最大时，电路中的电流为多少？

分析：用公式P=U2/R分析，只考虑R变化，忽略了当R变小时，U也变小，不能根据该公式确定电功率在R阻值最小时取最大值。

正解：通过之前的分析可以看出，电功率和电流之间成非线性关系。想要求解此题，需要找到压敏电阻电功率和电流的关系式，才能拨云见日。题中条件是电功率和电流两个物理量，所以可以选择公式P=UI或者P=I2R推导。

比较两种方法的推导过程可以发现，第一种方法用P=UI公式推导较简单些。两种方法都要求最后推导至关系式中只有P和I两个未知量，才能借助数学二次函数分析压敏电阻电功率和电流的关系。

从推导出的关系式可以看出，P和I的关系是数学上的二次函数关系，非线性关系决定了电功率最大时，既不是R最大时，也不是最小时，压敏电阻电功率与电流关系的二次函数图像开口朝下（如图3所示）。求解二次函数的最值可采用两种方法。