速度的合成与分解问题分析

速度的合成与分解是高中物理的一个重要知识点，既可以单独考查对运动关系的理解，也可以和能量与动量综合在一起进行考查，在这两类问题中速度关系通常都会作为一个易错点出现，导致很多考生出错。如果学生能够将速度合成与分解的典型模型弄清楚，那么在遇到与速度关联的问题时，就能够触类旁通，举一反三，顺利求解。

一、典型模型

如图1所示，人在岸边通过绳子跨过定滑轮牵引湖中的小船，若人以速度v向左匀速运动，当绳子与水面呈θ角时，船靠岸的速度为多大？（设绳子一直是拉紧的）

常见错误分析：很多学生会由于受到书本上飞机起飞模型的误导，而认为这两个模型是一样的，直接将绳子连接船的速度分解到水平和竖直方向上，如图2所示。如图2所示的分解方式错误的原因在于分速度vy的出现与实际严重不符。这样的分解方式意味着船将会慢慢地飞到空中，成为“飞船”，这与实际观察到的船一直在水面上运动且逐渐靠近河岸相矛盾。出现这种错误的根源在于没有分清楚哪个是合运动，哪个是分运动。

合运动：物体相对于选定的参考系真实运动的速度。

分运动：物体同时参与的几个相互独立的运动。

显然，依据合运动的定义可知，我们直接看到的运动应该是合运动，即船靠岸的速度u是合速度，因此我们应该分解船的速度，而不是绳子的速度。

正确分析：根据合运动的定义找出合运动后，再找出两个分运动的方向，这样对合速度的分解就可以唯一地确定了。要找到两个分运动的方向，我们要从合运动的效果上来确定。因为船靠岸，导致拉船的绳子缩短，所以一定有一个沿绳方向的分速度来缩短绳子;同时因为随着船的靠岸，绳子与水面间的夹角θ会逐渐变大，相当于绳子在绕定滑轮转动，所以船一定还有一个垂直于绳子的转动线速度。正确的分解如图3所示。因为船沿绳子方向的分速度等于人拉动绳子的速度v（绳子不可伸长），所以船前进的速度u=cosθ°

二、补充解法

解法一：微元法。

考虑在一极短时间t内，将绳的运动和船的运动在图4甲中标出来，OA是绳子的初始位置，OB是绳子的末位置，小船从A点运动到B点，在OA上取一点C满足OB—OC，并连接BC。显然AB是船在时间t内的位移，AC是绳子在时间t内缩短的长度。因为时间极短，等腰三角形OBC的顶角∠O→O，所以底角∠OCB→90°，即∠ACB趋于直角三角形。将此图放大为图4乙，则可以得出S1 =S2 COSθ。

因为时间极短，绳子的运动和船的运动都可以认为是匀速运动，所以有S1= v△t，s2=u△t，解得u=V/COSθ°

评析：绳拉船模型的解法有很多种，思想各异。能量分析法在学生学习了功率之后作为补充练习，既让学生巩固了功率的基础知识，又拓展了学生对合成与分解的视野。导数分析法在学生学习了导数之后作为补充拓展，既让学生熟悉了导数的应用，又可以让学生感受到物理和数学的紧密联系。

三、拓展应用

例1 如图7所示，一长度为L的轻杆一端固定小球A，另一端通过转轴固定在O点，一高为^的木块B夹在水平面和细杆之间，当细杆与水平面成θ角时，木块向右的速度为υB，小球A此时的速度υA为多大？

分析：小球A只能绕o点做圆周运动，小球A的速度为线速度，因此只要找到细杆转动的角速度即可。细杆与木块的联系是接触点C，C点的速度与木块的速度相等。木块B的右移带来的效果是接触点C沿细杆外移，有沿杆方向的分速度，同时木块B的右移有让细杆绕o点转动的效果。

例2 如图9所示，两根轻绳跨过定滑轮与物块A相连，两根轻绳另一端分别连接两个物块B、C。当两轻绳间的夹角为2θ时，物块B、C以速度υ下降，求物块A上升的速度υA。

错误分析：如图10所示，直接按照速度的合成得到物块A的速度。错误的原因是这个解法认为物块A分别有沿两绳方向的分速度，这样的话物块A最终将会分裂成两份，这显然是不符合实际的。出现这种错误的根源在于没有按照合运动和分运动的关系来分析问题，而是想当然地和之前所学的力的合成与分解相类比导致出错。

正确分析：我们实际看到的是物块A竖直上升，带来的效果是绳子缩短和角度θ的变大，因此应该将物块A的速度分解到沿绳和垂直与绳子的方向，如图ll所示，则υ1=υAcosθ=υ，解得υA=υ/cosθ

小结：速度的合成与分解问题在很多地方必须按照运动的实际效果来处理，因此抓住合运动和分运动的特点是解决这一问题的突破口，正确的理解模型是解决深层次问题的关键。

作者单位：湖北省十堰市东风高级中学