如何求解几何体的表面积与体积

解决几何体的表面积、体积、三视图与球体体积问题是每年必考的热点问题，主观题与客观题都有，大多数是以三视图知识为铺垫，通过三视图揭示几何体的结构特征计算几何体的表面积、体积。下面具体分析。

一、以几何体与球的内接或外切关系为背景确定几何体的表面积与体积

例1 如图1所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC ≌ △ABC，∠PAC=∠ACB=90°，PA=2，AC=2√2，则三棱锥P-ABC外接球的体积为（

）。

A.32π/3

B.38π/3

C.14π

D.l6π

分析：求解几何体的表面积、体积的问题主要集中于棱柱、棱锥与球，因此，解决好这类问题首要的任务是准确熟记公式。重点题型为球与几何体的内接与外切问题。

点评：求几何体的表面积与体积的思路如下。（1）求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的出发点。（2）对于不规则几何体求表面积，一般是把所给的几何体分割成柱、锥、台体，然后再求这些柱、锥、台体的表面积，最后通过求和或作差获得几何体的表面积。

二、以三视图为背景求解几何体的表面积与体积

例2如图3所示，是某几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图，则该几何体的体积为（ ）。

A.18+20π

B.24+16π

C.32+12π

D.6+20π/3

分析：解答这类

图3问题的思路一般是先识别三视图，确定三视图所对应的几何体;再求解该几何体的表面积或体积。

解：由三视图可知，该组合体为如图4所示的几何体，其中后半部为一个半圆柱，前半部为一个放倒的四棱锥。由图中所给数据可得圆柱底面的半径为2，放倒的四棱锥的底面积为4×6=24，高为4，故该组

合体的体积为v= v半圆柱+v四棱锥=1/2×6×π×2²+1/3×4×24=32+12π。答案为c。

点评：（l）根据三视图确定几何体时，应当通过三视图明确几何体的整体关系，但是又要注意确定特定的线与面，即要把局部与整体综合起来。（2）解答三视图与几何体的体积、面积的交汇题型时，首先要通过三视图明确几何体的直观图，再利用题设条件求解几何体的体积、面积。同时又要注意通过三视图还原的几何体的直观图的准确性。

作者单位：山东省巨野县第一中学